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数字图像几何变换


第3章
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆

图像变换

3.1 3.2 3.3 3.4

图像的几何变换 图像的离散傅立叶变换 图像变换的一般表示形式 图像的离散余弦变换

3.5
3.6

图像的离散沃尔什-哈达玛变换
K-L变换

3

.7

本章小结

概 述

图像和其它信号一样,既能在空间域(简称空域)处理,也能在频率域(简称 频域)处理。把图像信息从空域变换到频域,可以更好地分析、加工和处理。 图像信息的频域处理具有如下特点 : (1) (2) (3) (4) 能量守恒,但能量重新分配; 有利于提取图像的某些特征; 正交变换具有能量集中作用,可实现图像的高效压缩编码; 频域有快速算法,可大大减少运算量,提高处理效率。

本章除介绍图像的几何变换外,主要介绍可分离正交变换,包括离散傅立叶变 换、离散余弦变换、离散哈达玛-沃尔什变换等 。

图像是对三维实际景物的平面投影。为 了观测需要,常常需要进行各种不同的 几何变换。 注意一点,实际上几何变换不改变像素 值,而是改变像素所在的位置。

3.1

图像的几何变换

?图像的几何变换包括:

图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。

?图像几何变换的实质: 改变像素的空间位置,估算新空间位置上的像素值。

3.1

图像的几何变换

?图像几何变换的一般表达式 :

[u, v] ? [ X ( x, y ), Y ( x, y )]
[ x, y ]

其中, 为变换后图像像素的笛卡尔坐标, 为原始图像中像素的笛卡 尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。 如果 , 原图像的简单拷贝。 ,则有 , 即变换后图像仅仅是

[u , v]

X ( x, y ) ? x

Y ( x, y) ? y

[u , v ] ? [ x, y ]

3.1

图像的几何变换

?平移变换 : 若图像像素点

) ( x, y ) 平移到 ( x ? x0 , y ? y 0,则变换函数为 , u ? X ( x, y) ? x ? x0 v ? Y ( x, y ) ? y ? y0

写成矩阵表达式为:

?u ? ? x ? ? x 0 ? ?v ? ? ? y ? ? ? y ? ? ? ? ? ? 0?

其中, 和 x
0

y0分别为 x和 y 的坐标平移量。

图像的位置变换-镜像

3.1
?比例缩放 :

图像的几何变换
)倍,则变换函数为: sx , s y

若图像坐标

( x, y )

缩放到(

其中, 缩小。

?u ? ? sx 0 ? ? x ? ?v ? ? ? 0 s ? ? y? y?? ? ? 和 ? 分别为 ? 坐标的缩放因子,其大于1表示放大,小于1表示
sx , s y

x

y

最简单的是减小一半,这样只需取原图 的偶(奇)数行和偶(奇)数列构成新 的图像。

图像按任意比例缩小

计算采样间隔:计算选择的行列M×N的图像缩小为:
kM×kN(k<1)

采样间隔为:c=1/k

求出缩小的新图像
G(x’,y’)=F(int(c×x),int(c×y))

图像不按比例缩小
这种操作因为在x方向和y方向的缩小比例不同, 一定会带来图像的几何畸变。

方法:
M×N的图像缩小为:k1M×k2N,(k1<1, k2<1); 采样间隔:c1=1/k1,c2=1/k2 缩小的图像:G(x’,y’)=F(int(c1×x),int(c2×y))


图像的缩小操作中,是在现有的信息里如何挑 选所需要的有用信息。

图像的放大操作中,则需对尺寸放大 后所多出来的空格填入适当的值,这 是信息的估计问题,所以较图像的缩 小要难一些。

按比例放大图像
如果需要将原图像放大k倍,则将一个像素值添 在新图像的k*k的子块中。

图像的任意不成比例放大
这种操作由于x方向和y方向的放大倍数不同, 一定带来图像的几何畸变。

放大的方法是:
将原图像的一个像素添到新图像的一个 k1×k2的子块中去

3.1
?旋转变换 :

图像的几何变换
角度,则变换后图像坐标为:

将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转

?

?u ? ?cos? ? v ? ? ? sin? ? ? ?
图像旋 转变换 的示例 :

? sin? ? ? x ? cos? ? ? y ? ?? ?

(a) 原始图像

(b) 逆时针旋转30度后的图像

旋转
绕图像的原点,逆时针 或顺时针旋转一定的角 度。

注意事项
1、这个计算公式计算出的值为小 数,而坐标值为正整数。 2、这个计算公式计算的结果值所 在范围与原来的值所在的范围不同。 3、需要前期处理:扩大画布、取 整处理、平移处理

图像旋转计算
对于新图像中的每一点,计算其在原图像中的 对应点,把原图像中对应点的值赋给新图像中 的点。

原图像中找不到合适的对应点
原图中对应点坐标超出图像宽高范围,直接赋 255或0 原图中对应点坐标在图像宽高范围内,采用插 值的方法计算

3.1
?仿射变换 :

图像的几何变换

?x? 仿射变换的一般表达式为: ? u ? ? a2 a1 a0 ? ? ? ?v ? ? ?b b b ? ? y ? ? ? ? 2 1 0? 平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。 1 ? ? ? ?
仿射变换具有如下性质:

(1)仿射变换有6个自由度(对应变换中的6个系数),因此,仿射变换后 互相平行直线仍然为平行直线,三角形映射后仍是三角形。但却不能 保 证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。 (2)仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。 (3)仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。

3.1

图像的几何变换

上式可以表示成如下的线性表达式 :

?u ? ?a 2 a1 ? ? x ? ?a0 ? ? v ? ? ?b b ? ? y ? ? ?b ? 2 1 ?? ? ? 0 ? 设定加权因子 ? ? ? 的值,可以得到不同的变换。例如,当选定 和 a i ,i b , ,该情况是图像剪切的一种列剪
切。 b1 ? 1 a2 ?

b2 ? ?0.1

a1 ? a0 ? b0 ? 0

(a)原始图像

(b)仿射变换后图像

3.1
?透视变换 :

图像的几何变换

把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程,称为透视变换,也称为投影映射, 其表达式为:

? u ' ? ? a11 a12 a13 ? ? x ? ? v' ? ? ?a a 22 a 23 ? ? y ? ? ? ? 21 ?? ? 透视变换也是一种平面映射 a ? w'? ? ,并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后 ? ? ? 31 a32 a33 ? ? 1 ? ?? ? 仍然保持是直线。
透视变换具有9个自由度(其变换系数为9个),故可以实现平面四边形到四边形 的映射。

3.1
?灰度插值 :

图像的几何变换

(1) 最近邻插值法:也称作零阶插值,就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的输 入像素的灰度值。

特点:造成的空间偏移误差为 像素单位,计算简单。但当图像中的 像素灰度级有细微变化时,该方法会在图像中产生人工的痕迹。 1/ 2
(2)双线性插值: 也称作一阶插值,该方法通常是沿图像矩阵的每一列(行)进行插值, 然后对插值后所得到的矩阵再沿着行(列)方向进行线性插值。

特点:当对相邻四个像素点采用双线性插值时,所得表面在邻域处是吻 合的,但斜率不吻合。并且双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节 产生退化,这种现象在进行图像放大时尤其明显。

3.1
?灰度插值 :

图像的几何变换

(3)卷积插值法 :当图像放大时,图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现,即将 输入图像两行两列中间插零值,然后通过低通模板滤波。

输入图像邻域 一般低通模板有:

插零的邻域

? x11 ?x ? 21
棱锥形

x12 ? x22 ? ?

? x11 0 x12 ? ? 0 0 0 ? ? ? ? x21 0 x22 ? ? ?

柱形

?1 1? ?1 1? ? ?

?1 2 1 ? 1? 2 4 2? ? 4? ?1 2 1 ? ? ?

钟形 ?1 3 ? 1 ?3 9 16 ?3 9 ? ?1 3

3 1? 9 3? ? 9 3? ? 3 1?

4 6 4 ?1 三次B样条 1 ? ?4 16 24 16 4? ? 1 ? ?6 24 36 24 6? 64 ? ? ?4 16 24 16 4? ?1 4 6 4 1? ? ?

3.1
图像插值放大示例:

图像的几何变换

(a) 原始图像

(b)最近邻插值放大图像

(c)双线性插值放大图像

(d)三次B样条插值放大


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