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2013浙江高考数学理科试题及答案


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科)
乐享玲珑,为中国数学增光添彩! 免费,全开放的几何教学软件,功能强大,好用实用 一.选择题 1.已知 i 是虚数单位,则 (?1 ? i)( 2 ? i) ? A. ? 3 ? i B.

?1 ? 3i
2

C. ? 3 ? 3i

>D. ? 1 ? i

2.设集合 S ? {x | x ? ?2}, T ? {x | x ? 3x ? 4 ? 0} ,则 (CR S ) ? T ? A. (?2,1] B. (??,?4] C.

(??,1]

D. [1,??)

3.已知 x, y 为正实数,则 A. 2lg x?lg y ? 2lg x ? 2lg y C. 2lg x?lg y ? 2lg x ? 2lg y B. 2lg( x ? y ) ? 2lg x ? 2lg y D. 2lg( xy ) ? 2lg x ? 2lg y

4.已知函数 f ( x) ? A cos( ?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? R) ,则“ f ( x) 是奇函数”是 ? ? A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
2



5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 A. a ? 4
开始 S=1,k=1 是

B. a ? 5

C. a ? 6

9 ,则 5

D. a ? 7

k>a? 否 1 S=S+ k(k+1)

k=k+1

输出 S

结束 (第 5 题图)

6.已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ? A.

10 ,则 tan 2? ? 2
C. ?

4 3

B.

3 4

3 4

D. ?

4 3

7 . 设 ?ABC, P0 是 边 AB 上 一 定 点 , 满 足 P0 B ?

??? ? ??? ? ????? ????? PB ? PC ? P0 B ? P0C 。则
A.

1 AB , 且 对 于 边 AB 上 任 一 点 P , 恒 有 4

?ABC ? 90 0

B. ?BAC ? 90 0
x

C. AB ? AC
k

D. AC ? BC

8.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? (e ? 1)( x ? 1) (k ? 1,2) ,则 A.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 C.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 B.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 D.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值

9.如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C 2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C 2 在第二、四象限的 4

公共点。若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C 2 的离心率是
y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

A.

2

B.

3

C.

3 2

D.

6 2

10.在空间中,过点 A 作平面 ? 的垂线,垂足为 B ,记 B ? f? ( A) 。设 ? , ? 是两个不同的平面,对空间 任意一点 P , Q1 ? f ? [ f? ( P)], Q2 ? f? [ f ? ( P)] ,恒有 PQ1 ? PQ2 ,则 A.平面 ? 与平面 ? 垂直 C. 平面 ? 与平面 ? 平行 二、填空题 11.设二项式 ( x ? B. 平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 450 D.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 60 0

3

1 5 ) 的展开式中常数项为 A ,则 A ? ________。 x

12.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________ cm 2 。

4 3 2 正视图 3

3

侧视图

俯视图 (第 12 题图)

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则实数 k ? ________。 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
14.将 A, B, C, D, E, F 六个字母排成一排,且 A, B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数 字作答) 15. 设 F 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦点, 过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B , 点 Q 为线段 AB 的
2

中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________。

1 ,则 sin ?BAC ? ________。 3 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? | x| 17.设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 , e2 的夹角为 ,则 ? 的最大值等于 6 |b|
0 16. ?ABC 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

________。 三、解答题 18.在公差为 d 的等差数列 {a n } 中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列。 (1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an | .

19.设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分, 取出蓝球得 3 分。 (1)当 a ? 3, b ? 2, c ? 1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变 量 ? 为取出此 2 球所得分数之和,.求 ? 分布列; ( 2 )从该袋子中任取(且每球取到的机会均等) 1 个球,记随机变量 ? 为取出此球所得分数 . 若

5 5 E? ? , D? ? ,求 a : b : c. 3 9

20. 如图, 在四面体 A ? BCD 中,AD ? 平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC . (1)证明: PQ // 平面 BCD ; (2)若二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 0 ,求 ?BDC 的大小.
A

M P Q B C (第 20 题图) D

21.如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的 a 2 b2

直径. l1 , l 2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C 2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程;
y l1 D O P A (第 21 题图) l2 B x

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

22.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3ax ? 3a ? 3.
3 2

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 x ? [0,2] 时,求 | f ( x) | 的最大值。

参考答案
一、选择题 1.B【解析】原式 ? 2 . C 【

?2 ? i ? 2i ? i 2 ? ?2 ? 3i ? 1 ? ?1 ? 3i ,所以选 B;
解 析 】 如 图 1 所 示 , 由 已 知 得 到

T ? {x | ?4 ? x ? 1}, CR s ? {x | x ? ?2}? (CR s) ? T ? (??,1] 。所以选 C

3.D【解析】此题中,由 2

lg x

? 2lg y ? 2lg x ? lg y ? 2lg xy 。所以选 D;
?
2
所以不是充分条件; 反之当 ? ? (k ? Z ) ,

4. B 【解析】 当 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 为奇函数时, ? ? k? ? 时,函数 f ( x) ? A cos(? x ?

?
2

?
2

) ? ? A sin ? x 是奇函数,是必要条件,所以选 B。

【考点定位】充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点; 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ,若是奇函数,则 ? ? k? (k ? Z ) ;若是偶函数,则 ? ? k? ? 函数 y ? A cos(? x ? ? ) ,若是奇函数,则 ? ? k? ? 充分和必要条件判断的三种方法 (1)定义法(通用的方法) : ①若 p ? q, q ? p ,则 p 是 q 的充分不必要条件; ②若 p ? q, q ? p ,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③若 p ? q, q ? p ,则 p 是 q 的充分必要条件; ④若 p ? q, q ? p ,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件; (2)集合判断法:若已知条件给的是两个集合问题,可以利用此方法判断: 设条件 p 和 q 对应的集合分别是 A, B ①若 A ? B ,则 p 是 q 充分条件;若 A ? B ,则 p 是 q 的充分不必要条件; ②若 A ? B ,则 p 是 q 必要条件;若 A ? B ,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③若 A ? B ,则 p 是 q 的充分必要条件; ④若 A ? B, B ? A ,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件; (3)命题真假法:利用原命题和真命题的真假来判断:设若 p 则 q 为原命题, ①若原命题真,逆命题假,则 p 是 q 的充分不必要条件; ②若原命题假,逆命题真,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③若原命题真,逆命题真,则 p 是 q 的充分必要条件; ④若原命题假,逆命题假,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件;

?
2

(k ? Z ) ;

?
2

(k ? Z ) ;若是偶函数,则 ? ? k? (k ? Z ) ;

5.A【解析】由图可知

1 1 1 1 1 1 1 1 9 S ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 2? ? ? k ? 4 ,即程序 2 2 3 3 4 k k ?1 k ?1 5
执行到 k

? 4 ,当 k ? 5 时程序运行结束,即最后一次运行 k ? 4 ;所以选 A

6.C 解:由已知得到:

5 sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? 4 cos 2 ? 5 sin ? ? 4sin ? cos ? ? 4 cos ? ? ? ? 2 2 sin 2 ? ? cos 2 ?
2 2

?

tan 2 ? ? 4 tan ? ? 4 5 1 ? ? tan ? ? ? 或 tan ? ? 3 ,所以 2 2 3 tan ? ? 1

1 2 ? (? ) 3 ? ? 3 或 tan 2? ? 2 ? 3 ? ? 3 ,所以选 C; tan 2? ? 1 4 1? 9 4 1? 9 7.D 解:利用特殊值法可以解决,如 CP ? AB 或 PB ? PA 即可求出答案,所以选 D;
8. C 解: 当 k ? 2 时, f ( x) ? (e ? 1)( x ? 1) ? f ?( x) ? 2(e ? 1)( x ? 1) , 且 e ?1 ? 0 , 所以当 x ? 1时,
2 2 2

2

f ?( x) ? 0 ,函数递增;当 x ? 1时, f ?( x) ? 0 ,函数递减;所以当 x ? 1时函数取得极小值;所以选 C;
9.D 解:由已知得 F 1 (?

3,0), F2 ( 3,0) ,设双曲线实半轴为 a ,由椭圆及双曲线的定义和已知得

?| AF2 | ? | AF1 |? 4 c 3 6 ? 2 到: ?| AF2 | ? | AF ,所以双曲线的离心率为 ,所以选 D; ? ? | ? 2 a ? a ? 2 1 a 2 2 ? 2 2 ? AF1 | ? | AF2 | ? 12
10 . A 解:设 f? ( P) ? C , f ? ( P) ? D, 所以 Q1 ? f ? (C ), Q2 ? f? ( D) ,由已知得到: PC ? ? 于 C , 且 PQ1 ? PQ2 恒成立, 即 Q1 与 Q2 重合, 即当 ? ? ? PD ? ? 于 D ,CQ1 ? ? 于 Q1 ,DQ2 ? ? 于 Q2 ,

时满足;如图 2 所示:

11. ?10

解:由 Tr ?1 ?

5?r r C5 x 2

(? x

?

1 3 )r

? (?1)

r

5? r 1 ? r r C5 x 2 3

,由已知得到:

5?r r ? ? 0 ? r ? 3 ,所以 2 3

3 A ? (?1)3 C5 ? ?10 ,所以填-10;

12.24 解:由已知得此几何体的直观图是一个底面是直角三角形且两直角边分别是 3,4 高是 5 的直三棱 柱在上面截去一个三棱锥,三棱锥从一个顶点出发的三条棱两两垂直,底面边长分别是 3,4 高是 3,如图 3 所示,红色为截去的三棱锥,所以体积为 5 ?

1 1 1 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? ? 3 ? 4 ? 24 ; 2 3 2

13.2 解:此不等式表示的平面区域如下图 4 所示: y 当k

? ?kx ? z ,

? 0 时,直线 l0 : y ? ?kx 平移到 A 点时目标函数取最大值,即 4k ? 4 ? 12?k ? 2 ;当 k ? 0 时,
: y ? ?kx 平移到 A 或 B 点时目标函数取最大值,可知 k 取值是大于零,所以不满足,所以 k ? 2 ,

直线 l0

所以填 2;

14.480 解:对特殊元素 C 进行分类讨论即可,即 C 在第 1,2,3,4,5,6,位置上讨论,其中在第 1 和第 6 位置上,在第 2 和第 5 位置上,在第 3 和第 4 位置上结果是相同的,在第 1 位置上有 A5 种,在第 2 位置 上有 A3 A4 , 在第 3 位置上有 A2 A3 ? A3 A3 , 所以共有 2( A5 ? A3 A4 ? A2 A3 ? A3 A3 ) ? 480 , 所以填 480 ; 15 . ?1 解 : 由 已 知 得 到 : F (1,0) , 设 l : y?
1 4 2 3 2 3 5 1 4 2 3 2 3 5

k ( ? x 1, ) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由

? y ? k ( x ? 1) 2(2 ? k 2 ) 2 2 ? k 2 x 2? 2 x(k ? 2) ? k =0 ? x1 ? x2 ? ,所以 ? 2 k2 ? y ? 4x

x1 ? x2 2 ? k 2 x1 ? x2 2 2 ? k2 2 ? , k ( ? 1) ? ? Q ( , ) ,由已知得到 2 2 k k2 k2 k | QF |2 ? 4 ? (
6 3

2 ? k2 2 1 1 ? 1)2 ? ( )2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ? k ? ?1 ,所以答案是 ?1 2 k k k k
x 2 ? y 2 , AB ? 4 x 2 ? y 2 ,由已知

16.

解:如图 5 所示,设 CM ? MB ? x, AC ? y ? AM ?

得 到 cos ?BAM ? 1 ? sin ?BAM ?

2

2 2 , 在 ?A M B 中 , 由 余 弦 定 理 得 到 : 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x ? y ) ? ( 4x ? y ) ? x ? ? y 2 ? 2 x 2 ? sin ?BAC ? 2 2 2 2 3 2 x ? y 4x ? y

2x 4x2 ? y 2

?

6 6 ; 所以填 ; 3 3

17 . 2

解 : 由 已 知 得 到 :

?2 ? ?? ?? ? ? 3 b ?| b |2 ? ( xe1 ? ye2 ) 2 ?| b |2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? ? 2
的最大值

| x |2 x2 1 y 1 x2 2 ,设 ? t ? ? (t ? 3t ?1) min ? ? ? 2 ?2 ? 2 x 4 |b| x ? y 2 ? 3xy y2 3y b 1? 2 ? x x
为 4,所以答案是 2; 18.解: (Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ; ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? a ? 4 n ? 6 a ? 11 ? n ? n ? n
(Ⅱ)由(1)知,当 d ①当1 ? n ? 11时,

? 0 时, an ? 11 ? n ,
n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?? an ?
②当12 ? n 时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ? ?? a11 ? (a12 ? a13 ?? ? ?? an ) 11(21 ? 11) n(21 ? n) n 2 ? 21n ? 220 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ?? ? ?? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ?? ? ?? an ) ? 2 ? ? ? 2 2 2

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ; ? ?? | an |? ? 2 n ? 21 n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
3? 3 1 ? ;当两次摸 6?6 4 2 ? 2 3 ? 1 1? 3 5 到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ? ? 4 ,此时 P(? ? 4) ? ? ? ? ;当两次摸到的球 6 ? 6 6 ? 6 6 ? 6 18 3? 2 2 ? 3 1 分别是红黄, 黄红时 ? ? 3 , 此时 P(? ? 3) ? 当两次摸到的球分别是黄蓝, 蓝黄时 ? ? 5 , ? ? ; 6?6 6?6 3 1? 2 2 ?1 1 1? 1 1 此时 P(? ? 5) ? ; ? ? ;当两次摸到的球分别是蓝蓝时 ? ? 6 ,此时 P(? ? 6) ? ? 6?6 6?6 9 6 ? 6 36
19.解: (Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时 ? ? 2 ,此时 P(? ? 2) ? 所以 ? 的分布列是:

?
P

2

3

4

5

6

(Ⅱ)由已知得到:? 有三种取值即 1,2,3,所以? 的分布列是:

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

?

1

2

3

P

a a?b?c

b a?b?c

c a?b?c







5 a 2b 3c ? E? ? ? ? ? ? ? 3 a?b?c a?b?c a?b?c ? a 5 2b 5 3c ? D? ? 5 ? (1 ? 5 ) 2 ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? 9 3 a?b?c 3 a?b?c 3 a?b?c ?
3 ? c :a :b ? 。 c3 : 2 : 1







b ? 2 c, ? a

20.解: :证明(Ⅰ)方法一:如图 6,取 MD 的中点 F ,且 M 是 AD 中点,所以 AF ? 3FD 。因为 P 是

BM 中点,所以 PF / / BD ;又因为(Ⅰ) AQ ? 3QC 且 AF ? 3FD ,所以 QF / / BD ,所以面 PQF / /
面 BDC ,且 PQ ? 面 BDC ,所以 PQ / / 面 BDC ;

方法二:如图 7 所示,取 BD 中点 O ,且 P 是 BM 中点,所以 PO / /

1 MD ;取 CD 的三等分点 H ,使 2

且A Q ?Q 3 C DH ? 3CH , 所以 PQ / / 面 BDC ;

, 所以 QH / /

1 1 所以 PO / /QH ? PQ / /OH , 且O AD / / MD , H ? B C D 4 2



(Ⅱ)如图 8 所示,由已知得到面 ADB ? 面 BDC ,过 C 作 CG ? BD 于 G ,所以 CG ? BMD ,过 G 作

GH ? BM 于 H ,连接 CH ,所以 ?CHG 就是 C ? BM ? D 的二面角;由已知得到 BM ? 8 ? 1 ? 3 ,
设 ?BDC ? ? ,所以

CD CG CB ? cos ? ,sin ? ? ? ? CD ? 2 2 cos ? , CG ? 2 2 cos ? sin ? , BC ? 2 2 sin ? , , BD CD BD BG 2 在 RT ?BCG 中 , ?BCG ? ? ? s i ? n? ? BG ? 2 2 ?s , i n所 以 在 R T ? B H中 G, BC
1 2 2 sin 2 ? ? ? HG ? ,所以在 RT ?CHG 中 3 2 2 sin 2 ? 3 HG

tan ?CHG ? tan 60? ? 3 ?

CG 2 2 cos ? sin ? ? HG 2 2 sin 2 ? 3

? tan ? ? 3 ?? ? (0,90? ) ?? ? 60? ??BDC ? 60? ;
21.解: (Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

x2 ? y 2 ? 1; 4

( Ⅱ ) 因 为 直 线 l1 ? l2 , 且 都 过 点 P(0, ?1) , 所 以 设 直 线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直 线

1 l2 : y ? ? x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , 所 以 圆 心 (0, 0) 到 直 线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的 距 离 为 k
d? 1 1? k
2
2 2 ,所以直线 l1 被圆 x ? y ? 4 所截的弦 AB ? 2 4 ? d

2

?

2 3 ? 4k 2 1? k2



? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

xD ? xP ? ?

8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,所以 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

S ?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2

?

32 4k ? 3 4k ? 3
2

2

2

?

13 4k ? 3
13 4k 2 ? 3
2

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

当 4k ? 3 ?

? k2 ?

5 10 10 ?k?? 时等号成立,此时直线 l1 : y ? ? x ?1 2 2 2
2

22.解: (Ⅰ)由已知得: f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3a ? f ?(1) ? 3a ? 3 ,且 f (1) ? 1 ? 3 ? 3 a ? 3 ? 3 a ? 1 ,所 以所求切线方程为: y ? 1 ? (3a ? 3)( x ? 1) ,即为: 3(a ? 1) x ? y ? 4 ? 3a ? 0 ;

? a ] 其 中 ? ? 4 ? 4a , 当 x ? [ 0, 2] ( Ⅱ ) 由 已 知 得 到 : f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3a ? 3[x (x? 2 ) , 时,
2

, x( x ? 2)? 0 (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上递减,所以 | f ( x) |max ? max{|f (0)|,|f (2)|} ,因为

f (0) ? 3(1 ? a), f (2) ? 3a ? 1? f (2) ? 0 ? f (0) ?|f (2)|<f (0) ? | f ( x) |max ? f (0) ? 3 ? 3a ;
( 2 ) 当 ? ? 4 ?4a ? 0, 即

a ? 1 时 , f ?( x ) ? 0恒 成 立 , 所 以 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上 递 增 , 所 以

| f ( x) |max ? max{| f (0) |,| f (2) |} ,因为 f (0) ? 3(1 ? a), f (2) ? 3a ? 1? f (0) ? 0 ? f (2) ? | f (0) |? f (2) ? | f ( x) |max ? f (2) ? 3a ?1 ;
(3)当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,

f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3a ? 0 ? x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a

,且 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,即

x

0

(0, x1 )
+

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
递减

x2
0 极小值

( x2 , 2)
+ 递增

2

f ?( x)

f ( x)

3 ? 3a

递增

3a ? 1

所以 f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a , f ( x2 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ,且

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? 0, f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ? 4(1 ? a)3 ? 0, 所以 f ( x1 ) ?| f ( x2 ) | ,
所以 | f ( x) |max ? max{ f (0),|f (2)|, f ( x1 )} ;

由 f (0) ? f (2) ? 3 ? 3a ? 3a ? 1 ? 0 ? 0 ? a ? (ⅰ)当 0 ? a ?

2 ,所以 3

2 时, f (0) ? f (2) ,所以 x ? ( ??,1] ? [ a, ??) 时, y ? f ( x ) 递增, x ? (1, a) 时, 3

y ? f ( x) 递减,所以 | f ( x) |max ? max{ f (0), f ( x1 )} ,因为
f ( x1 ) ? f (0) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ? 3 ? 3a ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a) ?
因 为

a 2 (3 ? 4a) 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a)

,又

0?a?

2 3
f

, 所 以

2 ? a3?
1 ?

? 0 a , ?3
) 1

, 4 所 以 0

f ( 1 x? )

f? ( 0 , ) 所0 以

| f

( xm )? a |x

? x1 (

?)

a2 (? 1 a

( ⅱ ) 当

2 ) ? a ?1 时 , f ( 2? 3

f0 , ? ( 0, ) 所 0以 | f ( x) |max ? max{ f (2), f ( x1 )} , 因 为
a 2 (3 ? 4a) 2(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 2)
, 此时

f ( x1 ) ? f (2) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ? 3a ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 2) ?

3a ? 2 ? 0 ,当
2 3 3

2 ? a ? 1 时, 3 ? 4a 是大于零还是小于零不确定,所以 3
f (2) | , 所以此时 | f ( x) |max ? f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ; f (2) | ,所以此时 | f ( x) |max ? f (2) ? 3a ? 1

1 当 ? a ? 时, 所以 f ( x1 ) ?| 3 ? 4a ? 0 , ○ 3 4 2 当 ? a ? 1 时, 3 ? 4a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ?| ○ 4

? ?3 ? 3a, (a ? 0) ? 3 综上所述: | f ( x) |max ? ?1 ? 2(1 ? a ) 1 ? a , (0 ? a ? ) ; 4 ? 3 ?3a ? 1, (a ? ) ? 4


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