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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 不等式疑难解析素材 北师大版必修5


不等式疑难解析
不等式性质定理的证明,是学生容易产生困惑的内容.成因有三:其一,初学不等式证 明,学生对证题过程、证题技巧感到陌生;其二,学生对实数理论与不等式性质之间的逻辑 关系了解得不够透彻;其三,对不等式性质定理的证明中,所采用的比较法、综合法、数学 归纳法、反证法的必要性,了解得不深不透.

a 2 ? b 2 ? ?a ? b? ? 既然有

?? ? ,那么在求最值时,下面两个平均值不等式 2 ? 2 ?
2

ab ?

a2 ? b2 ? ?a ? b? ? ? ?a ? b? ? , ab ? ? ? ,到底应该使用哪个?如果使用 ab ? ? ? 时,是否 2 ? 2 ? ? 2 ?
2 2 2

a2 ? b2 a2 ? b2 a 2 ? b 2 ? ?a ? b? ? 没有取到最大值 呢?原因是对不等式 , ?? ? , ab ? 2 2 2 ? 2 ?

a2 ? b2 ? a ? b ? ? ?a ? b? ? ab ? ? ?? ? 中,等号成立的条件的忽略.当 a = b 时, ? , 2 ? 2 ? ? 2 ?
2 2

ab ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ?a?b? ?a?b? ab ? , ab ? ? 均成立.因此,使用 与 ab ? ? ? ? 求a = 2 2 ? 2 ? ? 2 ?

2

2

b 的最大值均可.
使用比较法证明不等式的难点在于解不等式变形的形式不惟一. 有时变形为连乘积, 有 时变形为几个式子的完全平方和等应归结为一句,变形到容易讨论差数(或差式)是正还是 负的形式.

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