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6 平面向量的基本定理与坐标表示方法


高一数学秋季班讲义

平面向量的基本定理与坐标表示
【知识要点】
1.定理 平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量 e1 、 e 2 ,那么对于这一平面内的
?
?

??

?? ?

任一向量 a ,有且仅有一对实数 ? 1 、 ? 2 ,使 a

? ? 1 e1 ? ? 2 e 2 . 2.向量的坐标运算
? ? ? ? ? ?

??

?? ?

若 a ? ( x 1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )
? ??? ? ? a ? ( ? x1 , ? y 1 ) , A B ? ( x B ? A , y B ? A )

3.共线向量
? ?

?

?

设 a ? ( x 1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ∥ b ? 4.向量的模
?
?

x1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0

设 a ? ( x , y ) ,则 a ?

x ? y
2

2

【典型例题】
例 1 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A (3,1) , B ( ? 1, 3 ) .若点 C 满足
???? ??? ? ??? ? OC ? ? OA ? ? OB

,其中 ? 、 ? ? R,且.则 C 点的轨迹为(
2

).
2

A. 3 x ? 2 y ? 1 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 0

B. ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 5 D. x ? 2 y ? 5 ? 0

例 2 如图所示, 已知 ? ABC 中 A ( 7 , 8 ) 、B (3, 5 ) 、C ( 4 , 3 ) , M 、 N 分别是 A B 、 A C 的中点,
???? D 是 B C 的中点, M N 与 A D 交于 F ,求 D F .

1

高一数学秋季班讲义
例 3 已知点 A ( ? 1, 2 ) , B ( 2 , 8 ) 以及 A C ? 坐标.
????
???? ? ??? ? ? 1 ??? 1 ??? A B , D A ? ? B A ,求点 C , D 的坐标和 C D 的 3 3

?

?

?

?

?

?

例 4 已知 a ? (1, 2 ) , b ? ( ? 3, 2 ) ,当 k 为何值时, k a ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同 向还是反向?

例 5 如图所示,已知 A (1,1) , B ( ? 2 , ? 5 ) , C ( 2 , ? 1) , 点 E、 F 分 别 在 A B A C , 且 A E ? 上 、
??? ? 1 ???? B F ? F C ,求 A F 与 C E 的交点 D 的坐标. 3 ? ? ?? 1 2 ? ? ?? , E B

2

高一数学秋季班讲义 【课堂练习】
? ?

?

?

1.已知向量 a ? (1, 2 ) , b ? ( x , 4 ) ,若向量 a ∥ b ,则 x =( A. 1 B. 2 C. 3

). D. 4
???? ????

2.在 ? ABC 中,已知 A ( 2 , 3 ) , B (8 , ? 4 ) ,点 G ( 2 , ? 1) 在中线 A D 上,且 A G ? 2 G D ,则 点 C 的坐标是( A. ( ? 6 , ? 2 )
? ?

). B. ( ? 4 , ? 4 )
? ?

C. ( ? 4 , ? 2 )

D. ( ? 2 , ? 2 ) ).

3.设向量 a ? ( m ,1) , b ? (1, m ) ,如果 a 与 b 共线且方向相反,则 m 的值为( A. ? 1
? ?

B. 1

C. ? 2
? ? ? ?

D. 2

4.设向量 a ? (1, ? 3 ) , b ? ( 2 , 4 ) ,若表示向量 4 a 、3 b ? 2 a 、 c 的有向线段首尾相接能够
?

成三角形,则向量 c =( A. ( 4 , 6 )

). B. ( ? 4 , ? 6 ) C. ( 4 , ? 6 )
1 a ? 1 b

D. ( ? 4 , 6 ) 的值等于( D.
1 4
?

5.若三点 A ( 2 , 2 ) 、 B ( a , 0 ) 、 C ( 0 , b ) ( a b ? 0 )共线,则 A. 1 B.
1 2

).

C.

1 3

6. ? ABC 的 三 个 内 角 ? A , ? B , ? C 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b , c , 若 p ? ( a ? c, b) 与
?

q ? ( b ? a , c ? a ) 是共线向量,则 ? C =(

). C. 3 0 ? D. 4 5 ? (其中 O 为原点, .

A. 1 2 0 ?

B. 6 0 ?

7.已知在平面直角坐标系中,

???? ? ??? ? ??? ? A ( ? 2 , 0 ) , B (1, 3 ) , O M ? ? O A ? ? O B

实数 ? 、 ? 满足 ? ? ? ? 1 ) ,若 N (1, 0 ) ,则 M N 的最小值为
?

???? ?

?

?

?

?

?

8.已知向量 a ? ( ? 3, 4 ) ,向量 b 满足 a ∥ b ,且 b ? 1 ,则 b =
?

.
?

?

9.已知向量 a ? (3,1) , b ? ( ? 2 , ) ,直线 l 过点 A (1, 2 ) ,且 a ? 2 b 是其方向向量,则直线
2

1

?

l 的一般式方程为

.
?

10. ? ABC 的三个内角 ? A , ? B , ? C 的对边分别为 a , b , c , 已知 s in B ? 1 , 向量 p ? ( a , b ) ,
?

q ? (1, 2 ) ,则 ? C =
??? ?

.

2 11.已知 O 是坐标原点,且 O P ? ( 0 , ? 2 ) ,抛物线 C : y ? x 上的两点 M 、 N 满足

3

高一数学秋季班讲义
???? ? ???? ? 1 ???? MN ? M P ,则 M N = 2
?

13. ? ABC 中内角 ? A , ? B , ? C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? ( 2 s in B , ? 3 ) ,
?

n ? (c o s 2 B , 2 c o s

2

B 2

?

?

? 1) 且 m ∥ n .

(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 S ? A B C 的最大值.

14.已知点 G 是 ? A B O 的重心, M 是 A B 边上的中点. (1)求 G A ? G B ? G O ; (2)若 P Q 过 ? A B O 的重心 G ,且 O A ? a , O B ? b , O P ? m a , O Q ? n b ,求证:
1 m ? 1 n ? 3.
??? ? ??? ? ????

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

?

????

?

4

高一数学秋季班讲义 【课后作业】
1.以下选项中,不是单位向量的是(
?
?

).
? ?

x ?x ① a ? (c o s ? , s in ? ) ② b ? ( lg 2 , lg 5 ) ③ c ? ( 2 , 2 ) ④ d ? (1 ? x , x )

A.1 个
??? ?

B.2 个

C.3 个

D.4 个 ). D. ( 4 , 4 )

2.设向量 A B ? ( 2 , 3 ) ,且点 A 的坐标为 (1, 2 ) ,则点 B 的坐标为( A. (1,1)
?

B. ( ? 1, ? 1) ).

C. ( 3 , 5 )

3.与向量 a ? ( ? 5 , 4 ) 平行的向量是( A. ( ? 5 k , 4 k ) 4.以下命题错误的是( B. ( ?
5 k ,? 4 k )

C. ( ? 1 0 , 2 )

D. (5 k , 4 k )

).
? ? ? ?

A.如 i、 j 分别是与 x 轴、 y 轴同向的单位向量,则 i ? j ? i ? j

?

?

?

?

B.若 a ∥ b , a ? ( x 1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则必有

x1 y1

?

x2 y2

C.零向量的坐标表示为 ( 0 , 0 ) D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标
? ? ? ?

5.已知 a ? ( 2 , ? 4 ) , b ? (1, 2 ) , c ? (1, ? 2 ) , d ? ( ? 2 , ? 4 ) ,其中的共线向量有(
? ? ? ? ? ? ? ?

).

A. a 和 b ; c 和 d
? ? ? ?

B. a 和 d ; b 和 c D.以上都正确
???? ????

C. a 和 c ; b 和 d

6.已知 A ( 6 , ? 3 ) , B ( ? 3, 5 ) ,若 A C ? 2 B C ,则点 C 的坐标为( A. (1 2 , 1 3 ) B. ( ? 1 2 ,1 3 ) C. ( ? 1 2 , ? 1 3 )
??? ?
????

). D. (1 2 , ? 1 3 )
????

7.在平行四边形 A B C D 中, A C 为一条对角线,若 A B ? ( 2 , 4 ) , A C ? (1, 3 ) ,则 B D = ( ). B. ( ? 3, ? 5 ) C. ( 3 , 5 ) D. ( 2 , 4 )

A. ( ? 2 , 4 )

8.若已知作用在坐标原点的三个力 F1 ( 3 , 4 ) , F 2 ( 2 , ? 5 ) , F 3 ( 3 , 1) ,则这三个力的合力坐标是 .
? 2

9.若向量 a ? ( x ? 3, x ? 3 x ? 4 ) 与 A B 相等,其中 A (1, 2 ) , B (3, 2 ) ,则 x =

??? ?

.

5

高一数学秋季班讲义
? ?

?

?

?

?

10.已知 a ? (3, 2 ) , b ? ( ? 2 ,1) ,若 ? a ? b 与 a ? ? b ( ? ? R)平行,则 ? =
? ?

.

?

?

?

?

?

?

?

?

11.已知向量 a ? (1, 2 ) ,b ? ( x , 1) ,u ? a ? 3 b , v ? 3 a ? 2 b ,且 u ∥ v ,求实数 x 的值.

12.已知点 A ( 2 , 3)、 B (5, 4 )、 C ( 7 ,1 0 ) ,若 A P ? A B ? ? A C ( ? ? R) ,试求 ? 为何值时, 点 P 在第一、三象限的角平分线上?点 P 在第三象限内?

??? ?

??? ?

????

13.已知 A、 B 、 C 三点的坐标分别为 ( ? 1, 0 )、 ? 1)、 2 ) ,且 A E ? (3, (1,
???? E F ? 3 ,求实数 x 的值.

??? ?

? ???? 1 ???? ??? AC , BF ? x ? BC , 3

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