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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第5章 第35讲 向量的应用


1.已知O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共 ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 线的三点.若(OB ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0, 则? ABC的形状是以BC为底边的等腰三角形   .

??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 解析: ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA)

(OB ??? ??? ???? ? ? ??? ? 1 ??? ???? ? ? ? ? CB ? ( AB ? AC ) ? 2CB ? ? ( AB ? AC ) ? ?2 ? 设M 为CB的中点, ???? 1 ??? ???? ? ? 则有 AM ? ( AB ? AC ) 2 ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 所以(OB ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA) ??? ???? ? ? =2CB ? AM =0

??? ? ??? ? 2.已知坐标平面内OA ? ?1,5 ?, OB ? 7,1?, ? ???? ? OM ? ?1, 2 ?,P是直线OM 上一动点,当 ??? ??? ? ? ??? ? 2, 4 ? ? PA ? PB取最小值时, ?   OP   . ??? ? ???? ? 解析:设OP ? tOM ? ? t , 2t ?,t ? R, ??? ??? ? ? 则PA ? PB ? ?1 ? t ,5 ? 2t ? ? ? 7 ? t ,1 ? 2t ?

? 5t ? 20t ? 12. ??? ??? ? ? 当t ? 2时, ? PB有最小值 ? 8, PA ??? ? 所以OP ? ? 2, 4 ?.
2

3.已知 p ? 2, ? 3,p、 的夹角为45?,则 q q 以a ? 5 p ? 2q,b ? p ? 3 q 为邻边的平行四边 形过a、b起点的对角线长为

15  

  .

??? ? 解析:如图,设 AB ? a ? 5p ? 2q, ???? AD ? b ? p ? 3q, ???? ??? ???? ? 则 AC ? AB ? AD ? a ? b ? 6 p ? q. ???? 2 2 所以 | AC | ? ? 6p ? q ? ? 36 p 2 ? 12 p ? q ? q 2 ? 36 ? (2 2) 2 ? 12 ? 2 2 ? 3 ? cos45? ? 9 ???? 所以 | AC |? 15. ? 225,

4.? ABC三边长为a,b,c,对应角为A,B, ??? ??? ? ? 2 2 C,已知2CA ? CB ? c ? ? a ? b ? ,则C ?60?  
??? ??? ? ? 2 2 解析: 由2CA ? CB ? c ? ? a ? b ? 得, 2abcosC ? c ? ? a ? b ? ? a ? b ? 2abcosC
2 2 2 2

? ? a ? 2ab ? b ?,
2 2

1 ? cosC ? ,又C ? (0,? ),所以C ? . 2 3

5.一条河宽为400 m,一船从A出发航行垂 直到达河正对岸的B处,船速为20 km / h, 水速为12 km / h,则船到达B处所需时间

   为 1.5 min.

解析:船速与河水流速的合速度是船的实际航 行速度,如图. 则 | v1 |? 20,v2 |? 12. | 根据勾股定理, 得 | v |? 202 ? 122 ? 16 ? km / h ? 800 ? ? m / min ?. 3 800 所以t ? 400 ? ? 1.5 ? min ?. 3

平面向量与三角函数
【例 】 1 (2010·南京期末卷) 已知a=(sin?,,b= ? ,,? ? (0, ). 1) (cos 2) 4 ?1? 若a / / b,求tan?的值; 17 ? ? 2 ? 若a ? b= , 求sin(2?+ )的值. 8 4

?

1 【解析】1?因为a / / b,所以2sin?=cos?,则tan?= . ? 2 17 17 ? 2 ?因为a ? b= ,所以sin? cos?+2= , 8 8 1 ? sin2?= ,因为? ? (0, ), 4 4 ? 15 所以2? ? (0, ),cos2?= , 4 4 ? 2 2 所以sin(2?+ )= sin2?+ cos2? 4 2 2 2 1 2 15 2 ? 30 = ? + ? = 2 4 2 4 8

本题是以平面向量的知识为平 台,考查了三角函数的恒等变换及 相关运算,向量与三角函数的结合, 既符合在知识的“交汇处”命题, 又加强了对双基的考查.

【变式练习1】 已知A ? 3,0 ?,B ? 0,3?,C (cos?,sin? ),O为原点. ???? ??? ? ?1? 若OC / / AB,求tan?的值; ??? ???? ? ??? ? ? 2 ? 若 OA ? OC = 13,且? ? (0,? ),求OB与 ???? OC的夹角的大小.

???? 【解析】1? OC=(cos?,sin? ), ? ??? ? AB=? 0,3?-? 3, 0 ?=(-3,3). ???? ??? ? 因为OC / / AB, 所以3cos?+3sin?=0,所以tan?=-1. ??? ???? ? ? 2 ?因为OA+OC=(3+cos?,sin? ), 所以(3+cos? ) 2+sin 2?=13, 1 所以cos?= . 2

又? ? (0,? ),所以?= , 3 3 1 3 则sin?= , 所以C ( , ). 2 2 2 ??? ???? ? 所以OB、 的夹角为?, OC ??? ???? 3 3 ? OB ? OC 2 = 3. 则cos?= ??? ???? = ? 3 2 OB OC 又? ? [0,? ],所以?= . 6

?

?

平面向量在几何中 的应用
【例2】 如图,四边形ABCD是正方形,P是对角线 DB上的一点,四边形PECF是矩形.证明: (1)PA=EF;

(2)PA⊥EF.

【证明】以D为坐标原点,DC 所在的直线为x轴建立如图所 示的坐标系. ??? ? 设正方形的边长为1, =?, DP 2 2 2 2 则A ? 0,1?,P ( ?, ? ),E (1, ? ),F ( ?,, 0) 2 2 2 2 ??? ? 于是 PA ? 2 2 ??? 2 2 =(- ? ,1 ? ? ), ? ( ? ? 1,EF ? ). 2 2 2 2

??? ? 2 2 2 2 ?1?因为 PA = ?1 ? ? ? ? ?? ? ? = ? 2 ? 2? ? 1 2 2 ??? ? 2 2 2 2 EF = ? ? ? 1? ? ? ? ? ,= ? 2 ? 2? ? 1, 2 2 ??? ??? ? ? 所以 PA ? EF ,所以PA=EF . ??? ??? ? ? ? 2 ?因为PA ? EF 2 2 2 2 =(- ? ) ?? ? ? 1?+?1 ? ? ? ? (- ? ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ?- ? ?? ? ? 11 ? ? ? ? - ? ? 0=0, 2 2 2 2 ??? ??? ? ? 所以PA ? EF,所以PA ? EF .

向量是解决图形问题的有力工具, 而向量的坐标运算又是为图形问题转 化为代数问题创造了条件,实现了形

向数的转化.本题中,由于四边形
ABCD是正方形,因此可以用坐标法 解题.用平面向量证明平面几何问题 时,要根据题目的条件选择用基向量 法还是用坐标法.

【变式练习2】 已知△ABC中,∠C为直角,CA= CB,D是CB的中点,E是AB上的点, 且AE=2EB,求证:AD⊥CE.

【证明】设此等腰直角三角形的直角边为a, ???? ??? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? 则 AD ? CE=( AC ? CD )(CA ? AE ) ???? ??? ??? ??? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? AC ? CA ? CD ? CA ? AC ? AE ? CD ? AE 2 2 2 a 2 2 2 ? ?a +0+a ? a? ? ? a? 3 2 2 3 2 2a 2 a 2 2 =-a + ? =0. 3 3 所以,AD ? CE.
2

平面向量在物理中的 应用
【例3】 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊 在 水 平 杆 子 AB 上 , ∠ ACW = 150° , ∠BCW=120°,

求A和B处所受力的大
小(忽略绳子的重量).

?? ?? ? ? 【解析】设A、B处所受力分别为 f1、2, f ?? ?? ?? ?? ? ? 10 N的重力用 f 表示,则 f1+ f 2= f . ?? ?? ? ? 以重力作用点C为 f1、2的始点,作平 f 行四边形CFWE,使CW 为对角线, ??? ?? ??? ?? ???? ?? ? ? ? ? ? 则CF= f 2 , CE ? f1, = f . CW

因为?ECW=180?-150?=30?, ?FCW=180?-120?=60?,所以?FCE=90?. 所以平行四边形CFWE为矩形. ??? ???? ? ? 3 所以 CE ? CW cos30?=10 ? =5 3, 2 ??? ???? ? ? 1 CE ? CW cos60?=10 ? =5, 2 所以A处受力为5 3N,B处受力为5 N.

利用向量的理论和方法可以 有效地解决物理学中的合力、分

力、运动学等许多问题,也为数
学应用于实际开辟了新的途径.

【变式练习3】 平面上有两个向量e1=?1, 0 ? ,e2=? 0,1?.今 有动点P从P0 (- 2)开始沿着与向量e1+e2 1, 相同的方向作匀速直线运动,速度大小为 | e1+e2 | ;另一动点Q从Q0 (-2,- 出发, 1) 沿与向量3e1+2e2 相同的方向作匀速直线运 动,速度大小为 | 3e1+2e2 | .设P、Q在时刻t ??? ????? ? ? 0秒时,分别在P0、Q0处,则当PQ ? P0Q0 时,时间t为多少秒?

【解析】依题意,P0 (- 2),Q0 (-2,- , 1, 1) ????? 则P0Q0=-2,- -- 2)=-,- , ( 1) ( 1, ( 1 3) e1+e2=?1, 0 ? +? 0,1?=?1,1? ,所以| e1+e2 | = 2, 3e1+2e2= ?1, 0 ? +2 ? 0,1?=? 3, 2 ? ,3e1+2e2 | = 13. 3 | 所以在时刻t时, P点位置为(- 2)+t ?1,1?=-+t, t ), 1, ( 1 2+ Q点位置为(-2,- +t ? 3, 2 ?=-2+ t,-+2t ). 1) ( 3 1

??? ? 所以PQ=-2+ t,- +2t )-- +t , 2+t ) ( 3 1 ( 1 =- +2t,- +t ). ( 1 3 ??? ????? ? 又PQ ? P0Q0, 所以- +2t ) ? (- +- +t ) ? (- = ,解得t= ( 1 1) ( 3 3) 0 2.

??? ? ??? ? 1.已知OA ? 2, 2 ?, =( 2cos?,2sin? ),   = AB ??? ? [ 2, 2] 3 则 OB 的取值范围是_______________ ??? ? ??? ??? ? ? 【解析】OB ? OA ? AB
= (2 ? 2 cos ? ) 2 ? (2 ? 2 sin ? ) 2 = 10 ? 4 2(sin ? ? cos ? )= 10 ? 8sin(? ? ) 4 ??? ? 故 2 ?| OB |? 3 2.

?

2.? ABC的三个内角A、B、C成等差数列, ??? ???? ??? ? ? ( AB ? AC ) ? BC ? 0,则? ABC的形状一定 是  等边三角形   .

解析:A、B、C成等差数列,则2B ? A ? C, 又A ? B ? C ? 180?,所以B ? 60?. ??? ???? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ???? ? ( AB ? AC ) ? BC ? ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ???? 2 ??? 2 ? ???? ??? ? ?| AC ? AB | ? 0,即 | AC ? AB | , 所以? ABC的形状一定是等边三角形.

3.已知平面直角坐标系内有三个定点A (-2,-1),B ? 0,10 ?,C ? 8, 0 ?,若动点 ?? ??? ? ? ??? ???? ? P满足: ? OA ? t ( AB ? AC ),t ? R, OP
x-y+1=0 则点P的轨迹方程是______________ ??? ? 【解析】设OP=( x,y ),

则( x,y )=(-2,-1)+t ?12,12 ?, ? x ? ?2 ? 12t 所以 ? ,消去t得x-y+1=0. ? y ? ?1 ? 12t

4.已知△ABC的顶点的直角坐标分别

为A(3,4),B(0,0),C(c,0). (1)若c=5,求sin∠A的值; (2)若∠A是钝角,求c的取值范围.

??? ? ???? 【解析】1?因为 AB=(-3,-4), =(c-3,-4). AC ? ???? 当c=5时, =(2,-4). AC ???? ??? ? ?6 ? 16 1 cos ?A=cos AC , AB〉= 〈 ? , 5? 2 5 5 2 5 所以 sin ?A= 1 ? cos A= . 5 ? 2 ? 若A为钝角, ??? ???? ? 25 2 则 AB ? AC=-3(c-3)+(-4) ? 0,解得c ? . 3 显然,此时AB和AC不共线.
2

25 故当A为钝角时,c的取值范围为[ ,+?). 3

5.如图所示,在平面斜坐标系xOy 中,?xOy=60?.平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定 ??? ? 义的:若OP=xe1+ye2 (其中e1,e2 是分别与x轴、y 轴同方向的单位向量),则P 点的坐标为( x,y ). ???? ? ???? ? ?1? 若M ? 2,3?,N (-2,1),求 OM 与 MN ; 1为半径的圆在斜坐标系xOy ? 2 ? 求以O为圆心, 中的方程.

???? ? 【解析】1? 因为M ? 2,3? ,所以OM=2e1+ e2, 3 ? ???? 2 ? 2 2 2 所以 OM =(2e1+ e2 ) =4e1 + e1 ? e2+ e2 3 12 9 ???? ? ???? 所以 OM = 19.又ON=-2e1+e2, ???? ???? ???? ? ? 所以MN= ? OM=-2e1+e2-(2e1+ e2 ) ON 3 =-4e1-2e2, = + 13 12cos60?= , 19

???? 2 ? 2 故 MN =-4e1-2e2 ) =20+ e1 ? e2=28, ( 16 ???? ? 所以 MN =2 7.

??? ? 则OP=xe1+ye2 . ??? 2 ??? 2 ? ? 因为 OP = = xe1+ye2 ) 2 , OP ( 所以x +y +2xye1 ? e2= , 1
2 2

? 2 ? 设圆上任意一点的斜坐标为P( x,y ),

即x 2+y 2+xy- = 1 0. 故所求圆的方程为x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ? 0.

1.向量在几何中的应用

?1? 证明线段平行问题,包括相似问题,
常用向量平行(共线)的充要条件:a ? b ? a ? lb(l ? R,且l

? 2 ? 证明垂直问题,如证明四边形是矩
形、正方形等,常用向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0(或x1 x2 ? y1 y2 ? 0).

或x1 y2 ? x2 y1 ? .

? 3? 求夹角问题,往往利用向量的夹角
a ?b 公式〈a, b〉= | a |?| b |

? 4 ? 求线段的长度或证明线段相等,可
以用向量的模,向量的线性运算.

2.向量在物理中的应用 向量有着丰富的物理背景,如物理中 的重力、浮力、弹力、速度、加速度等都 是既有大小又有方向的量.力的做功是向

量数量积的物理背景.向量的加法运算、
平面向量的正交分解、平面向量的数量积 等与相应的物理问题建立联系;向量加法 的三角形法则和平行四边形法则与位移的 合成、力的合成、速度的合成相联系.向

量在解决相关物理问题中有重要作用.

注意两个方面的问题,一方面是如 何把物理问题转化成数学问题,也就是 将物理量之间的关系抽象成数学模型;

另一方面是如何利用建立起来的数学模
型解释和回答相关的物理现象.


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