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江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试(9月)数学试卷


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苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试试卷


注意事项:


正 题

2013.09

1.本试卷共 4 页.满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域,在本试卷上答题无效. 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置. 参考公式: 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s 2 ?
1 n 1 n ? ( xi ? x )2 ,其中 x ? n ? xi . n i ?1 i ?1

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上. ....... 1.已知集合 A ? x | x≤ ? , B ? x | x ? 0? ,则 A ? B ? ___▲___. 1 2.设 x ?R,向量 a ? ( x,1), b ? (3, ?2) 且 a ? b ,则 x= ___▲___. 3.设复数 z 满足 zi ? 1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则 | z | =___▲___. 4.若 x ? 2 ,则 x ?

?

?

1 的最小值为 x?2





5.样本数据 18,16,15,16,20 的方差 s 2 =___▲___. 6.已知双曲线 x 2 ?
y2 ? 1 (m ? 0) 的离心率为 2,则 m 的值为 ___▲___. m

7.根据如图所示的伪代码,最后输出的 i 的值为___▲___.
n

T←1 i←3 While T <10 T←T +i i←i+2 End While Print i

8.已知函数 y ? x m ,其中 m, n 是取自集合 {1, 2,3} 的两个不同值,则该函数为偶函数的概率为___▲ ___.

? x ≥ 0, ? y ≥ 0, ? 9.已知实数 x,y 满足不等式组 ? ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? x ? 2 y≤6, ? 3x ? y≤12 ?
10.已知函数 f ( x) ? ?





x≤0, ? ? x, ,则满足 f ( x)?1 的 x 的取值范围是___▲___. 2 ? x ? 2 x, x ? 0
·1·

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11.如图,在直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中,点 E , F 分别在 AA1 , CC1 上, D1 1

C1 B1 F C B



AE ?

3 1 AA1 , CF ? CC1 ,点 A, C 到 BD 的距离之比为 3:2,则三棱 A1 4 3

锥 E ? BCD 和 F ? ABD 的体积比

VE ? BCD = ___▲___. VF ? ABD

E D

12.已知 P 是直线 l: kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: A

x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,切点分别为 A,B.若四边形 PACB 的最小面积为 2,则 k=
13.已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? 相同,则 g ( ) 的值是





?
6

)(? ? 0) 和 g ( x) ? 2cos(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的图象的对称轴完全

? 3





14. 已知各项均为正数的等比数列 {an } , 2a4 ? 3 ? 2 2 ? 1 ? 8 , 2a8 ? a7 的最小值为___▲___. 若 则 a a a 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案写在答题卡的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (cos A, ? sin A) , n ? (cos B,sin B) , m ? n ? cos 2C ,其中 A, B, C 为 ?ABC 的 内角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 AB ? 6 ,且 CA ? CB ? 18 ,求 AC , BC 的长.

??? ??? ? ?

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为矩形, AB ? 2 , BC ? 1 , E , F 分别是 AB, PC 的中点,

DE ? PA .
(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAD ;

P

F
(Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 PDE .

D
·2·

C B

A

E

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17. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N 满足 2Sn ? an (an ? 1) ,且 an ? 0 .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? ?

? an?1 , n为奇数, ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n . an?1 ?3 ? 2 ? 1, n为偶数

18. (本小题满分 16 分) 如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线 l1 排,在路南侧沿 直线 l2 排,现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l2 接通.已知 AB=60m,BC=80m,公路两侧排管 费用为每米 1 万元,穿过公路的 EF 部分的排管费用为每米 2 万元,设 EF 与 AB 所成的小于 90? 的 角为 ? . (Ⅰ)求矩形区域 ABCD 内的排管费用 W 关于 ? 的函数关系式; (Ⅱ)求排管的最小费用及相应的角 ? .
A E D

l1

公路

公路

·3·

B

F

C

l2

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19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的长轴两端点分别为 A,B, P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 是椭圆上的动点, a 2 b2

以 AB 为一边在 x 轴下方作矩形 ABCD,使 AD ? kb (k ? 0) ,PD 交 AB 于点 E,PC 交 AB 于点 F. (Ⅰ)如图(1) ,若 k=1,且 P 为椭圆上顶点时, ?PCD 的面积为 12,点 O 到直线 PD 的距离 为

6 ,求椭圆的方程; 5
(Ⅱ)如图(2) ,若 k=2,试证明:AE,EF,FB 成等比数列.

y P E A D
图(1)

y P

F O B C x

E A O

F B x

D

图(2)

C

20. (本小题满分 16 分) 对于函数 f ( x) ,若在定义域内存在实数 x,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x) 为“局部奇函数” . (Ⅰ)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 4a(a ?R) ,试判断 f ( x) 是否为“局部奇函数”?并说明 理由; (Ⅱ)若 f ( x) ? 2 ? m 是定义在区间 ? ?1,1? 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围;
x

(Ⅲ)若 f ( x) ? 4 ? m2
x

x ?1

,求实数 m 的取值范围. ? m2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”

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注意事项:


附加题

2013.09

1.本试卷共 2 页,满分 40 分,考试时间 30 分钟. 2.请将解题过程写在答题卡的规定区域,在本试卷上答题无效. 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若 ...... ............ 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 已知: 如图, A, B 在⊙O 上,?APB ? 90? , PC 平分 ?APB , 点 P, 交⊙O 于点 C.求证: ?ABC 为等腰直角三角形.
A O B P

B.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)

C

?2 0? ?1 ?1? ?1 已知矩阵 A = ? ? ,B = ? 2 5 ? ,求矩阵 A B . 0 1? ? ? ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)
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已知曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 25 , 曲线 C ? 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? . 试求曲线 C 和 C ? 的 直角坐标方程,并判断两曲线的位置关系.

D.选修 4—5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)
4 4 2 ( 2 设实数 a,b 满足 a ? b ,求证: a ? b ? ab a ? b ) .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 上任意一点到点 M (0, ) 的距离与到直线 y ? ? 离相等. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 A1 ( x1 ,0) , A2 ( x2 ,0) 是 x 轴上的两点 ( x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0) ,过点 A , A2 分别作 x 轴的 1 垂线, 与曲线 C 分别交于点 A1? , A2? , 直线 A1? A2? 与 x 轴交于点 A3 ( x3 ,0) , 这样就称 x1 , x2 确定了 x3 . 同 样,可由 x2 , x3 确定了 x4 .现已知 x1 ? 6, x2 ? 2 ,求 x4 的值.

1 2

1 的距 2

23. (本小题满分 10 分) 设 a,b 为实数,我们称(a,b)为有序实数对.类似地,设 A,B,C 为集合,我们称(A,B, C)为有序三元组.如果集合 A,B,C 满足 | A ? B |?| B ? C |?| C ? A | ? 1 ,且 A ? B ? C ? ? ,则 我们称有序三元组(A,B,C)为最小相交( | S | 表示集合 S 中的元素的个数) . (Ⅰ)请写出一个最小相交的有序三元组,并说明理由;
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(Ⅱ)由集合 {1, 2,3, 4,5,6} 的子集构成的所有有序三元组中,令 N 为最小相交的有序三元组的 个数,求 N 的值.

2014 届高三暑假自主学习测试试卷

数学参考答案及评分标准
正 题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. (0,1] 9. 2.

2013.09

2 3

3. 5

4.4 11.

5.3.2

6.3 13. ?2

7.9

8. 14.54

1 3

42 5

10. (?1,1 ? 2)

3 2

12.2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) m ? n ? cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? ? cos C ,
2 所以 ? cos C ? cos 2C ,即 2cos C ? cos C ? 1 ? 0 ,

??????? 2 分 ??????? 4 分

故 cos C ?

1 或 cos C ? ?1 (舍) , 2

又 0 ? C ? ? ,所以 C ?

?

(Ⅱ)因为 CA ? CB ? 18 ,所以 CA ? CB ? 36 . ① 由余弦定理 AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC ? cos60? ,
2 2 2

??? ??? ? ?

3



??????? 7 分 ??????? 9 分

及 AB ? 6 得, AC ? BC ? 12 . ② 由①②解得 AC ? 6, BC ? 6 . 16. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)取 PD 中点 G,连 AG, FG , 因为 F 、 G 分别为 PC 、 PD 的中点,所以 FG ∥ CD ,且 FG ? 又因为 E 为 AB 中点,所以 AE ∥ CD ,且 AE ?

???????12 分 ???????14 分

1 CD . ??? 2 分 2
??????? 3 分 ??????? 5 分

1 CD . 2

所以 AE ∥ FG , AE ? FG .故四边形 AEFG 为平行四边形. 所以 EF ∥ AG ,又 EF ? 平面 PAD , AG ? 平面 PAD ,
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故 EF ∥平面 PAD . (Ⅱ)设 AC ? DE ? H ,由 ?AEH ∽ ?CDH 及 E 为 AB 中点得

??????? 7 分

AG AE 1 ? ? , CG CD 2 1 3 又因为 AB ? 2 , BC ? 1 ,所以 AC ? 3 , AG ? AC ? . 3 3 AG AB 2 所以 ,又 ?BAC 为公共角,所以 ?GAE ∽ ?BAC . ? ? AE AC 3
所以 ?AGE ? ?ABC ? 90? ,即 DE ? AC . 又 DE ? PA , PA ? AC ? A , 所以 DE ? 平面 PAC . 又 DE ? 平面 PDE ,所以平面 PAC ? 平面 PDE . ?????? 12 分 ?????? 14 分 ?????? 10 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ 2Sn ? an (an ? 1) ,① ∴当 n ≥ 2 时, 2Sn?1 ? an?1 (an?1 ? 1) ,② 以上两式相减得 2an ? an 2 ? an?12 ? an ? an?1 , 即 an ? an?1 ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) , ∵ an ? 0 ,∴当 n ≥ 2 时,有 an ? an?1 ? 1 . 又当 n ? 1 时,由 2S1 ? a1 (a1 ? 1) 及 a1 ? 0 得 a1 ? 1 , 所以数列{ an }是等差数列,其通项公式为 an=n (n ?N ) .
*

??????? 2 分 ??????? 5 分

??????? 8 分 ??????? 9 分 ??????? 10 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 cn ? ?

n为奇数; ? n ? 1, . n ?1 ?3 ? 2 ? 1, n为偶数

所以 T2n ? (2 ? 4 ? ?? 2n) ? 3(21 ? 23 ? ?? 22n?1 ) ? n

2(1 ? 4n ) ?n 1? 4 ? 22n?1 ? n2 ? 2n ? 2 . ? n(n ? 1) ? 3 ?
18. (本小题满分 16 分)

??????? 14 分

解: (Ⅰ)如图,过 E 作 EM ? BC ,垂足为 M,由题意得 ?MEF ? ? (0≤tan ? ≤ ) ,

4 3

60 , AE ? FC ? 80 ? 60 tan ? .??????? 4 分 cos ? 60 ?2 ? 5 分 所以 W ? (80 ? 60 tan ? ) ?1 ? A E D cos ? l sin ? 1 ? 80 ? 60 ? 120 公路 公路 cos ? cos ? sin ? ? 2 ? 80 ? 60 . ???? 8 分 l2 B M F C cos ?
故有 MF ? 60 tan ? , EF ?
1

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(Ⅱ)设 f (? ) ?

sin ? ? 2 ? 4 (其中 0≤? ≤? 0 ? , tan ? 0 ? ) , cos ? 2 3 cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? ? 则 f ?(? ) ? . cos 2 ? cos 2 ? 1 ? 令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2sin ? ? 0 ,即 sin ? ? ,得 ? ? . 2 6
列表

??????? 10 分 ??????? 11 分

?
f ?(? ) f (? )
所以当 ? ?

(0, ) 6
+ 单调递增

?

? 6
0 极大值

( ,?0 ) 6
单调递减

?

?
6

时有 f (? )max ? ? 3 ,此时有 Wmin ? 80 ? 60 3 .??????? 15 分

答:排管的最小费用为 80 ? 60 3 万元,相应的角 ? ? 19. (本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ)如图,当 k=1 时,CD 过点(0,-b) ,CD=2a,

?
6



??????? 16 分

∵ ?PCD 的面积为 12,∴ ? 2a ? 2b ? 12 ,即 ab ? 6 .① 此时 D(-a,-b) ,∴直线 PD 方程为 2bx ? ay ? ab ? 0 .

1 2

??????? 2 分

y P E A O F B C x

6 ∴点 O 到 PD 的距离 d ? = . ② ?? 4 分 2 2 5 4b ? a
ab
由①②解得 a ? 3, b ? 2 .
2 2

????? 6 分

x y ? ? 1 . ???? 7 分 D 9 4 (Ⅱ)如图,当 k=2 时, C (a, ?2b), D( ?a, ?2b) ,设 E ( x1 ,0), F ( x2 ,0) , ??? ? ??? ? 由 D,E,P 三点共线,及 DE ? ( x1 ? a,2b) , DP ? ( x0 ? a, y0 ? 2b) (说明:也可通过求直线方程做) 得 ( x1 ? a)( y0 ? 2b) ? 2b ? ( x0 ? a) , 2b ? ( x0 ? a) 2b ? ( x0 ? a) ∴ x1 ? a ? ,即 AE ? .?? 9 分 y0 ? 2b y0 ? 2b A ??? ? 由 C,F,P 三点共线,及 CF ? ( x2 ? a,2b) , ??? ? CP ? ( x0 ? a, y0 ? 2b) 得 ( x2 ? a)( y0 ? 2b) ? 2b ? ( x0 ? a) , 2b ? (a ? x0 ) 2b ? (a ? x0 ) ∴ a ? x2 ? ,即 FB ? .?? 11 分 D y0 ? 2b y0 ? 2b
∴所求椭圆方程为 又

y P E O F B x

C
??????? 13 分

x0 2 y0 2 4b 2 ? (a 2 ? x0 2 ) 4a 2 y0 2 ? 2 ? 1 ,∴ AE ? FB ? ? . a2 b ( y0 ? 2b)2 ( y0 ? 2b) 2

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而 EF ? 2a ? AE ? FB ? 2a ?

2b ? ( x0 ? a) 2b ? (a ? x0 ) 2ay0 4ab ? ? 2a ? ? .?? 15 分 y0 ? 2b y0 ? 2b y0 ? 2b y0 ? 2b
??????? 16 分

∴ EF 2 ? AE ? FB ,即有 AE,EF,FB 成等比数列. 20. (本小题满分 16 分) 解: f ( x) 为“局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f ( x) ? f (? x) ? 0 有解. (Ⅰ)当 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 4a(a ?R) 时, 方程 f ( x) ? f (? x) ? 0 即 2a( x2 ? 4) ? 0 有解 x ? ?2 , 所以 f ( x) 为“局部奇函数” . (Ⅱ)当 f ( x) ? 2x ? m 时, f ( x) ? f (? x) ? 0 可化为 2 ? 2
x ?x

?????? 3 分

? 2m ? 0 ,

x ?x 因为 f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,所以方程 2 ? 2 ? 2m ? 0 在 ? ?1,1? 上有解.???? 5 分

1 1 2 t 1 1 t 2 ?1 ?(t ) ? 1 ? 2 ? 2 , 设 g (t ) ? t ? ,则 g t t t 当 t ? (0,1) 时, g ?(t ) ? 0 ,故 g (t ) 在 (0,1) 上为减函数, 当 t ? (1, ??) 时, g ?(t ) ? 0 ,故 g (t ) 在 (1, ??) 上为增函数. 1 5 所以 t ? [ , 2] 时, g (t ) ? [2, ] . 2 2 5 5 所以 ?2m ? [2, ] ,即 m ? [? , ?1] . 2 4
令 t ? 2 ? [ , 2] ,则 ?2m ? t ? .
x

??????? 7 分

??????? 9 分

(Ⅲ)当 f ( x) ? 4x ? m2x?1 ? m2 ? 3 时, f ( x) ? f (? x) ? 0 可化为
? 4x ? 4 x ? 2 ( 2 m x? ?

2x? ) m22 ? 6. 0 ?

t ? 2x ? 2? x ?[2, ??) ,则 4 x ? 4? x ? t 2 ? 2 ,
2 2 从而 t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在 [2, ??) 有解即可保证 f ( x) 为“局部奇函数” .??? 11 分

令 F (t ) ? t ? 2mt ? 2m ? 8 ,
2 2

1° 当 F (2)≤0 , t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在 [2, ??) 有解,
2 2

由 F (2)≤0 ,即 2m ? 4m ? 4≤0 ,解得 1 ? 3≤m≤ ? 3 ; 1
2

?????? 13 分

2° 当 F (2) ? 0 时, t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在 [2, ??) 有解等价于
2 2

?? ? 4m2 ? 4(2m2 ? 8) ≥ 0, ? 解得 1 ? 3?m≤2 2 . ? m ? 2, ? F (2) ? 0, ?
·10·

??????? 15 分

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(说明:也可转化为大根大于等于 2 求解) 综上,所求实数 m 的取值范围为 1 ? 3≤m≤2 2 . ??????? 16 分

附加题
21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时应写出 ...... 文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:由 ?APB ? 90? 得 AB 为直径,所以 ?ACB ? 90? . 由 ? ? ? ,得 ?APC ? ?ABC ,同理 ?BPC ? ?BAC . AC AC 又因为 PC 平分 ?APB ,所以 ?CPA ? ?CPB . 所以 ?BAC ? ?ABC ,故 BC ? AC . 从而, ?ABC 为等腰直角三角形. B.选修 4—2:矩阵与变换 ?a b ? ?2 0? ?a 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ? ? ,则 ? 0 1 ? ? c ?c d ? ? ? ? ? 2a 2b ? ?1 0 ? 即? ? =? ?, ? c d ? ?0 1 ? ???????? 2 分 ???????? 4 分 ???????? 6 分 ???????? 8 分 ??????? 10 分

b ? ?1 0 ? = , d ? ?0 1 ? ? ? ?

??????? 1 分 ??????? 4 分

0? 1 ?1 故 a ? , b ? 0, c ? 0, d ? 1 ,从而 A 的逆矩阵为 A = ? 2 . ? ? 2 0 1 ? ?
? ?1 0 ? ?1 ?1? ? = 2 ? ?2 5 ? ? ? 2 1? ? ? C.选修 4—4:坐标系与参数方程 ?1 ?1 所以 A B = ? 2 ? ?0

?1

?

??????? 7 分

1? ? ? 2 . ? 5 ?

??????? 10 分

解:由 ? 2 ? 25 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 25 . 由 ? ? 4cos ? 得曲线 C ? 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .

??????? 2 分 ??????? 5 分

曲线 C 表示以 ? 0,0 ? 为圆心,5 为半径的圆;曲线 C ? 表示以 ? 2,0 ? 为圆心,2 为半径的圆. 因为两圆心间距离 2 小于两半径的差 5-2=3, 所以圆 C 和圆 C ? 的位置关系是内含. D.选修 4—5:不等式选讲 证明:作差得 a ? b -ab(a ? b ) ? a (a ? b) ? b (b ? a)
4 4 2 2 3 3

??????? 8 分 ??????? 10 分

???????? 1 分

·11·

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= (a ? b)(a3 ? b3 ) = (a ? b)2 (a2 ? ab ? b2 ) = (a ? b)2 [(a ? )2 ? b2 ] .

???????? 4 分 ???????? 6 分

b 2

3 4

因为 a ? b ,所以 a,b 不同时为 0,故 (a ? )2 ? b2 ? 0 , (a ? b)2 ?0 ,

b 2

3 4

( 所以 (a ? b)2 [(a ? )2 ? b2 ] ? 0 ,即有 a ? b ? ab a ? b ) .
4 4 2 2

b 2

3 4

???????? 10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)因为曲线 C 上任意一点到点 M (0, ) 的距离与到直线 y ? ?

1 1 的距离相等, 2 2 1 1 根据抛物线定义知,曲线 C 是以点 M (0, ) 为焦点,直线 y ? ? 为准线的抛物线, 2 2 2 故其方程为 x ? 2 y . ?????? 4 分 1 2 ( x2 ? x12 ) 1 1 2 1 2 ? ( x2 ? x1 ) , (Ⅱ)由题意知, A1? ( x1 , x1 ) , A2? ( x2 , x2 ) ,则 k A ? A ? ? 2 1 2 2 2 x2 ? x1 2 1 2 1 故 l A ? A ? : y ? x2 ? ( x2 ? x1 )( x ? x2 ) . ?????? 6 分 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 令 y ? 0 ,得 ? ? ,即 ?????? 8 分 ? ? ? ? . x x1 x2 x3 x1 x2 6 2 1 1 1 1 1 1 7 同理, ?????? 9 分 ? ? ? ? ? ? , x4 x2 x3 2 6 2 6 6 于是 x4 ? . ?????? 10 分 7

23. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设 A ? {1, 2}, B ? {2,3} , C ? {1,3} ,则 A ? B ? {2} , B ? C ? {3} , C ? A ? {1} ,

A ? B ? C ? ? ,且 | A ? B |?| B ? C |?| C ? A |? 1 .
所以(A,B,C)是一个最小相交的有序三元组. ?????? 4 分

(Ⅱ)令 S ? {1,2,3,4,5,6} ,如果(A,B,C)是由 S 的子集构 成的最小相交的有序三元组,则存在两两不同的 x, y, z ? S ,使得

A x B y C z

A ? B ? {x} , B ? C ? { y} , C ? A ? {z}(如图) ,要确定 x, y, z 共
有 6 ? 5 ? 4 种方法;对 S 中剩下的 3 个元素,每个元素有 4 种分配方
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供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

式,即它属于集合 A,B,C 中的某一个或不属于任何一个,则有 4 种确定方法. 所以最小相交的有序三元组(A,B,C)的个数 N= 6 ? 5 ? 4 ? 4 ? 7680 .?????? 10 分
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