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02与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题正文02


与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

02

师教民的答案(2014.4.19)
——给李学生先生的信附件 1

公元第 2009 年第 26 届全国中学生物理竞赛复赛三、 1.题为: 一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组成一体 系,置于光滑水平地面上,弹簧的另一端与固定墙面相连,小球 做一维

自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以速度 u 作匀速运 动的参考系里观察,此体系的机械能是否守恒,并说明理由. ?u 墙 F

m o x

v

小 车 ○ ○

u x

光滑水平地面

图1

弹簧振子体系机械能守恒情况

参考解答:否.原因是墙壁对于该体系而言是外界,墙壁对
弹簧有作用力,在运动参考系里此力的作用点有位移,因而要对 体系做功,从而会改变这一体系的机械能. 解:在地面参照系上观察(即以地面参照系为静止系 )时,以 弹簧未被压缩和拉伸时的小球所处位置(即弹簧平衡位置)为坐 标原点,以水平向右的直线为 x 轴建立直线坐标系如图 1 所示. 当 t?0 时刻,将小球向右拉至最大振幅并放手,则小球做简 谐振动且位移为 x?Acos(ωt),ω2?k/m,k?mω2.设小球的速度
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师教民的答案(2014.4.19)——给李学生先生的信附件 1

为 v,加速度为 a,所受的力为 f,动能为 Ek(t),势能为 Ep(t),则

v?

d2 x dx ??ωAsin(ωt),a? ??ω2Acos(ωt), (dt ) 2 dt

f?ma??mω2Acos(ωt)??kx. 1 1 1 1 Ek(t)? mv2? m[?ωAsin(ωt)] 2? mω2A2sin2(ωt)? kA2sin2(ωt). 2 2 2 2
1 ?1 ? dEp(t)??f dx?kxdx?d ? kx2 ? ,Ep(t)? kx2?C. 2 ?2 ?
因为在弹簧平衡位置即 Acos(ωt)?x?0 亦即 t?

π 时 Ep?0, 所以 2ω

? π ? 1 2 0 ? Ep ? ? ? k?0 ?C ??C,即 C?0. ? 2ω ? 2
所以

1 2 1 1 1 kx ?C? kx2?0? kx2? kA2cos2(ωt). 2 2 2 2 1 1 1 E(t)?Ep(t)?Ek(t)? kA2cos2(ωt)? kA2sin2(ωt)? kA2?常数. 2 2 2

Ep(t)?

所以, 在地面参照系上观察时小球即弹簧振子体系的机械能守恒.
设地面参照系(包括地球 、墙壁 、与墙壁相连的弹簧圈)和沿

弹簧长度方向以速度 u 作匀速运动的参照系(设为小车如图 1 所 示)刚开始相对运动时完全重合,开始相对运动后,在小车参照 系上观察(即以小车参照系为静止系) ,地面参照系以及弹簧振 子体系便以匀速度量值 u 相对于小车沿 x 轴负向运动, 在 t ?0 时 刻,将小球向右拉至最大振幅并放手,使之做简谐振动.
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与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

因为地面参照系(包括地球、墙壁 、与墙壁相连的弹簧圈)及

弹簧振子体系都以匀速度量值 u 相对于小车沿 x 轴负向运动,所 以在小车参照系上观察(即以小车参照系为静止系)时,小球即 弹簧振子体系的机械能为:

E1(t)?E(t)?

1 1 1 mu2? kA2? mu2?常数. 2 2 2

所以, 在小车参照系上观察时小球即弹簧振子体系的机械能守恒. 机械能 E1(t)的求法还可以为: 在小车参照系上观察(即以小车参照系为静止系)时,小球 的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能的微分分别为:

x1?x?ut?Acos(ωt)?ut,v1? a1?

dx1 ??ωAsin(ωt)?u, dt

d 2 x1 ??ω2Acos(ωt)?a,f1?ma1?ma??mω2Acos(ωt)??kx, (dt ) 2
E1k(t)?
1 1 m v12 ? m[?ωAsin(ωt)?u]2?? 2 2

1 m[ω2A2sin2(ωt)?2ωuAsin(ωt)?u2]?? 2 1 2 2 1 kA sin (ωt)?mωuAsin(ωt)? mu2, 2 2

dE1p(t)?? f1dx1?kxd(x?ut)?kxdx?kuAcos(ωt)dt??
?1 ? d ? kx2 ? mωuA sin(ωt )? . ?2 ?
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师教民的答案(2014.4.19)——给李学生先生的信附件 1

E1p(t)?
将初始条件

1 2 kx ?mωuAsin(ωt)?C. 2 1 2 2 1 kA cos (ω?0)? kA2 2 2

t?0 时 x1?x?A,E1p(0)?Ep(0)?
代入上式得:

1 2 1 kA ? E1p(0)? kA2?mωuAsin(ω?0)?C,C?0, 2 2

E1p(t)?

1 2 kx ?mωuAsin(ωt)?C?? 2

1 2 1 kx ?mωuAsin(ωt)?0? kx2?mωuAsin(ωt). 2 2

E1(t)?E1p(t)?E1k(t)??
1 2 1 1 kx ?mωuAsin(ωt)? kA2sin2(ωt)?mωuAsin(ωt)? mu2?? 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 kA cos (ωt)? kA2sin2(ωt)? mu2? kA2? mu2?常数. 2 2 2 2 2
所以,在小车参照系上观察时弹簧振子体系的机械能仍然守恒. 附注:参考解答答非所问.理由为:该题目问得是:在一沿 此弹簧长度方向以速度 u 作匀速运动的参考系(小车)里观察,此 体系的机械能是否守恒, 而参考解答回答的是: “改变这一体系的 机械能” ,因此没有回答是否守恒,所以这个答案应该是错误的.
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