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2014届高三数学(文)一轮总复习函数的单调性与最值




节 函数的单调性与最值

基础自主梳理

考向互动探究

最新考纲 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何 意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

1.(2012 年高考广东卷)下列函数中,在区间 (0,+∞)上为增函数的是( A (A)y=ln(x+2) (B)y=)

?1? (C)y= ? ? ?2?

x

x ?1 1 (D)y=x+ x

解析:y=ln(x+2),定义域为(-2,+≦),在(0,+≦)上递 增,y=-

x ? 1 ,定义域为[-1,+≦),在(0,+≦)上递
x

?1? 减,y= ? ? ?2?

1 ,定义域为 R,在(0,+≦)上递减,y=x+ , x

定义域为(-≦,0) ? (0,+≦),在(0,1)上递减,在 (1,+≦)上递增.故选 A.

2.函数 y=-x +2x-3(x<0)的单调增区间 是( C ) (B)(-∞,1] (D)(-∞,-1] (A)(0,+∞) (C)(-∞,0)

2

解析:二次函数 y=-x +2x-3 图象的对称 轴为 x=1,又因为二次项系数为负数,所 以抛物线 y=-x +2x-3 开口向下,因为 1>0,所以 y=-x +2x-3(x<0)的单调增区 间为(-≦,0).故选 C.
2 2

2

1 3.函数 f(x)= 在[2,3]上的最小 x ?1
为 ,最大值为 .

1 解析:函数 f(x)= 在[2,3]上单调递减, x ?1 1 ∴最大值是 f(2)=1,最小值是 f(3)= . 2 1 答案: 1 2

4.(2012 年高考安徽卷)若函数 f(x)=|2x+a|的 单调递增区间是[3,+∞),则 a= .

? a ? 解析:函数的图象是以 ? ? ,0 ? 为端点的 2 条 ? 2 ? a 射线组成,所以- =3,a=-6. 2
答案:-6

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 见附表

(2)单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调 性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间.

质疑探究 1:如果一个函数在定义域的几个区间 上都是增(减)函数,能不能说这个函数在定义 域上是增(减)函数?

1 提示:不能.如 f(x)= 及 f(x)=tan x

x.

质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间)有 多个时,能否用“ ? ”将函数的单调增区间(减 区间)连接起来? 提示:不能直接用 ? ” “ 将它们连接起来,例如: 函数 y=x -3x 的单调增区间有两个:(-≦,-1)和 (1,+≦),不能写成(-≦,-1)
3

?

(1,+≦).

2.函数的最值 见附表

确定函数的单调性或单调区间 【例 1】 (1)求函数 y=-x +2|x|+1 的单调区间;
2

x?2 (2)判断函数 y= 在(-1,+∞)上的单调性. x ?1

思维导引:(1)先将函数转化为分段函数,画出 函数的图象,然后结合图象求出单调区间; (2)利用单调函数的定义或导数或利用已知函 数的单调性进行判断.

解:(1)由于 y=

?? x ? 2 x ? 1( x ? 0), ? ? 2 ?? x ? 2 x ? 1( x ? 0), ?
2

?? ( x ? 1) ? 2( x ? 0), ? 即 y= ? 2 ?? ( x ? 1) ? 2( x ? 0). ?
2

画出函数图象如图所示,单调递增区间为 (-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0] 和[1,+∞).

(2)法一 任取 x1,x2 ? (-1,+∞),且 x1<x2,

x2 ? x1 则 y1-y2= x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? . x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
∵x1>-1,x2>-1,∴x1+1>0,x2+1>0, 又 x1<x2,∴x2-x1>0,

x2 ? x1 ∴ >0,即 y -y >0. ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
1 2

∴y1>y2,

x?2 所以函数 y= 在(-1,+∞)上是减函数. x ?1

法二

x?2 1 y= =1+ . x ?1 x ?1

∵y=x+1 在(-1,+∞)上是增函数,

1 ∴y= 在(-1,+∞)上是减函数, x ?1

1 ∴y=1+ 在(-1,+∞)上是减函数. x ?1 x?2 即函数 y= 在(-1,+∞)上是减函数. x ?1

思考探究:若将本例(1)中函数变为 f(x)=|-x +2x+1|,则结果如何? (提示:函数的单调增区间为(1(1+ (1,1+
2

2 ,1)和

2 ,+≦),单调减区间为(-≦,1- 2 )和
2 ))

确定函数单调性及单调区间的常用 方法及流程 (1)能画出图象的函数,用图象法,其思维 流程为: 作图象 看升降 归纳单调性(区间) (2)由基本初等函数通过加、减运算或复合运 算构成的函数,用转化法,其思维流程为:

(3)能求导的用导数法,其思维流程为: 求导 判断 f'(x)正、负 单调性(区间)

(4)能作差变形的用定义法,其思维流程为: 取值 作差 变形 定号 单调性(区间)

注意:求函数的单调区间,一定要注意定义域优先原则.

变式训练 1 1:函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区 间是( ) (A)[1,2] (B)[-1,0] (C)[0,2] (D)[2,+∞)

? x ? 2 x, x ? 2, ? 解析:由于 f(x)=|x-2|x= ? 2 ?? x ? 2 x, x ? 2, ?
2

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 故选 A.

变式训练 1-2:下列函数中既是偶函数又在区间 (0,1)上单调递增的是( )

1 (A)y= x
(C)y=2
x

(B)y=lg|x| (D)y=-x
2

1 解析:y= ,y=2 不是偶函数,排除选项 A、C;y=-x x
x

2

是偶函数,但在(0,1)上单调递减,y=lg|x|是偶函数, 根据图象,可判断在区间(0,1)上单调递增.故选 B.

函数单调性的应用 【例 2】 (2012 浙江绍兴模拟)已知减函数 f(x)的定义域 是实数集 R,m、n 都是实数.如果不等式 f(m)-f(n)> f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是( (A)m-n<0 (B)m-n>0 (C)m+n<0 (D)m+n>0 )

解析:设 F(x)=f(x)-f(-x), 由于 f(x)是 R 上的减函数, ∴f(-x)是 R 上的增函数,-f(-x)是 R 上的减函数, ∴F(x)为 R 上的减函数, ∴当 m<n 时,有 F(m)>F(n) 即 f(m)-f(-m)>f(n)-f(-n)成立, 因此当 f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式 m-n<0 一定成立,故选 A.

变式训练 2 1:(2012 郑州质检)已知定义在 R 上的 函数 f(x)是增函数,则满足 f(x)<f(2x-3)的 x 的 取值范围是 .

解析:依题意得,不等式 f(x)<f(2x-3)等价于 x<2x-3,由此解得 x>3,即满足 f(x)<f(2x-3)的 x 的取值范围是(3,+≦). 答案:(3,+≦)

函数的最值 【例 3】 (1)函数 y=x+2 与最小值 N 的和为

x 在区间[0,4]上的最大值 M
.

? x1 ? (2)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f ? ?x ? ? ? 2?
=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)>0.

①求 f(1)的值,并判断 f(x)的单调性; ②若 f(4)=2,求 f(x)在[5,16]上的最大值.

思维导引:(1)利用函数的单调性求最值. (2)①利用特殊值法求 f(1)的值,利用单调 性的定义及条件判断 f(x)的单调性.②利用 单调性求最值.

(1)解析:函数 y=x+2

x =( x +1) -1 在区间

2

[0,4]上是增函数,所以 x=0 时有最小值 N=0,x=4 时有最大值 M=8,M+N=8. 答案:8

(2)解:①令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0, 故 f(1)=0. 任取 x1,x2 ? (0,+∞),

x1 且 x >x ,则 x2
1 2

>1,

由于当 x>1 时, f(x)>0,

? x1 ? ? >0, 所以 f ? ?x ? ? 2?
即 f(x1)-f(x2)>0, 因此 f(x1)>f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递增函数.

②∵f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数, ∴f(x)在[5,16]上的最大值为 f(16).

? x1 ? ? =f(x )-f(x ), 由 f? ?x ? ? 2?
1 2

? 16 ? 得 f? ? =f(16)-f(4), ? 4?
而 f(4)=2,所以 f(16)=4. ∴f(x)在[5,16]上的最大值为 4.

(1)求函数值域与最值的常用方法: ①先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值. ②图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察 其最高、最低点,求出最值. ③配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函 数,可用配方法求解.

④换元法:对较复杂的函数可通过换元法转化为熟 悉的函数,再用相应的方法求值域或最值. ⑤基本不等式法:先对解析式变形,使之具备 “一正 二定三相等” 的条件后,再用基本不等式求出最值. ⑥导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最 后结合端点值,求出值域或最值.

(2)对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣 单调性的定义,结合题目所给性质和相应条件, 对任意 x1,x2 在所给区间上比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或

x1 时根据需要,需作适当的变形:如 x =x · x2
1 2

f ( x1 ) f ( x2 )

与 1 的大小(f(x)>0).有 或

x1=x2+x1-x2 等.

变式训练 3-1:(1)已知 f(x)=2 -1,g(x)=1-x ,规 定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当 |f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则 h(x)( (A)有最小值-1,最大值 1 (B)有最大值 1,无最小值 (C)有最小值-1,无最大值 (D)有最大值-1,无最小值 )

x

2

(2)若函数 g(x)=log3(ax +2x-1)有最大值 1,则 实数 a 的值为 . 解析:(1)画出 y=|f(x)|=|2 -1|与 y=g(x)=1-x 的图象,它们交于 A、B 两点(B 点在 A 点右侧). 由规定可知,在 A 点左侧、B 点右侧,|f(x)|≥ g(x),故 h(x)=|f(x)|;在 A、 间,|f(x)|<g(x), B 故 h(x)=-g(x).因此 h(x)有最小值-1,无最大 值.故选 C.
x 2

2

(2)令 h(x)=ax +2x-1,由于函数 y=log3x 是递增函 数,所以要使函数 g(x)=log3(ax +2x-1)有最大值 1,应使 h(x)=ax +2x-1 有最大值 3,
2 2

2

? a ? 0, ? 1 ? 因此有 ?? ? 4 ? 4a ? 0, 解得 a=- . 4 ? ? a ?1 ? 3, ? a ?

答案:(1)C

1 (2)4

x 【例 1】 已知 f(x)= x?a

(x≠a).

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的 取值范围.

(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)

x1 x2 2( x1 ? x2 ) = . ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.

(2)解:在区间(1,+∞)内任取 x1,x2 且设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

x1 x1 ? a

?

x2 x2 ? a

?

a( x 2 ? x1 ) ( x1 ? a)( x 2 ? a)

.

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立, ∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1.

【例 2】 函数 f(x)对任意的 m、n ? R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x) 在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a +a-5)<2.
2

(1)证明:设 x1<x2,∴x2-x1>0, 当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0 ? f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数.

(2)解:∵m,n ? R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 ? f(2)=2f(1)-1, f(3)=4 ? f(2+1)=4 ? f(2)+f(1)-1=4 ? 3f(1)-2=4, ∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1), ∵f(x)在 R 上为增函数, ∴a2+a-5<1 ? -3<a<2, 即 a ? (-3,2).

解决分段函数单调性问题时忽略端点值的大小致误 【典例】 (2012 西安模拟)已知函数 f(x)=

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1, 是(-∞,+∞)上的减函数, ? ?log a x, x ? 1
那么 a 的取值范围是( )

(A)(0,1)

? 1? (B) ? 0, ? ? 3?
(D)

?1 1 ? , ? (C) ?7 3 ? ?

?1 ? ,1? ?7 ? ?

正确解析:要使 f(x)在(-≦,+≦)上是减函数,则应

?3a ? 1 ? 0, 1 ? 有 ?0 ? a ? 1, 解得 7 ?3a ? 1 ? 4a ? 0, ?

1 ≤a< . 3

1 1 故 a 的取值范围是[ , ).选 C. 7 3

(1)解决本题易忽略对上、下两段函数 中的端点值的比较,而错选 B 致误,对于分段函数的 单调性在保证各段上同增(减)时,要注意上、 下段间 端点值的大小关系. (2)抓住对变量所在区间的讨论. (3)弄清最终结果取并集还是取交集.

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