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求通项方法(答案)


例 2. 设 a ?0,如图,已知直线 L:y= a x 及曲线 C:y=x ,C 上的点 Q1 的横坐标为
2

a 1(0? a 1? a ),从 C 上的点 Qn(n?1)作直线平行 X 轴,交直线 L 于点 Pn+1 ,再从点 Pn+1 作直线平行 Y 轴,交曲线 C 于点 Qn+1 ; 点 Q ( n n=1,2,3,…) y c 的横坐标

构成数列{ a n}, P1 (I) 试求 a n+1 与 a n 的关系,并求数列{ a n}的通项公式。 Q1 P2 (II) 、 (III)两题略(2003 年江苏高考 第 22 题) Q
2

l

分析:通过点 Qn 与 Pn+1 的纵坐标的关系、Pn+1 与 Qn+1
2 an 横坐标的关系,建立 a n+1 与 a n 的递推关系式: a n+1= , a

Q3

O

x

用配方法无法揭示规律,为降次,考虑两边取对数,从而可构造等比数列。 2 解:由点 Qn 在曲线 C 上,则 Qn( a n , a n ) ;而 Qn 与 Pn+1 纵坐标相同,且点 Pn+1 在直线 L 上,则 Pn+1(
2 an a2 , a n2) ,因 Qn+1 与 Pn+1 横坐标相同,所以 a n+1= n 。 a a

两边取对数得:lg a n+1 = 2lg a n –lg a ,则由待定常数法得:lg a n+1- lg a = 2 (lg a n –lg a ) ?数列{ lg a n –lg a }是以 lg a 1 –lg a 为首项,公比为 2 的等比数列 ? lg a n –lg a =(lg a 1 –lg a )2n-1 ? a n= a (
a1 2n ?1 ) a

例 5(2002 年天津高考)已知 ?an ? 是由非负整数组成的数列,满足 a1 ? 0 , a2 ? 3 ,

an?1 ? an ? ?an?1 ? 2? ? ?an?2 ? 2?, n ? 3,4,5, ?。(1)求 a3 ;
(2)证明 an ? an?2 ? 2, n ? 3,4,5, ? ;(3)求 ?an ?的通项公式及其前 n 项和 Sn 。 分 析 :( 1 ) a3 ? 2 ;( 2 ) 将

an?1 ? an ? ?an?1 ? 2?? ?an?2 ? 2?

变 形 为

a n?1 a ?2 an 1 ,令 bn ? (n ? 3) ,则 b3 ? b4 ? 1,且 bn ?1 ? ,两边取 ? n?2 bn ?1 a n?1 ? 2 an an?2 ? 2
对数可得 lg bn?1 ? ? lg bn?1 ,①当 n 为奇数时, lg bn ? ? lg bn?2 ? ? ? (?1) ② lg bn ? ? lg bn?2 ? ? ? (?1)
n?3 2 n ?3 2

? lg b3 ? 0 ,

? lg b4 ? 0 。所以对于任意的 n ? 3 均有 bn ? 0 ,则必有

(3)略。 an ? an?2 ? 2, n ? 3,4,5,? 。

7 +6, 求数列的通项公式 a n。 an ? an ? 1 分析:给出的递推关系式不能反映规律性,因此考虑去分母得: 2 2 2 2 变形为: 即 ( a n-3) a n- a n-1=7+6( a n- a n-1),为体现规律性, a n- a n-1-6 a n+6 a n-1=7, 2 2 -( a n-1-3) =7. 7 解:由 a n+ a n-1= +6(n?2)变形为: an ? an ? 1 2 2 2 2 a n- a n-1=7+6( a n- a n-1) 即( a n-3) -( a n-1-3) =7 (n?2)

设 a n?0, a 1=5,当 n?2 时, a n+ a n-1=

?数列{ (an ? 3) 2 }是以( a 1-3)2=4 为首项,公差为 7 的等差数列 ? (an ? 3) 2 =4+7(n-1)=7n-3,而 a n?0 ? a n= 7n ? 3 +3 说明:递推关系式中含有二次项、一次项时可考虑用配方法,揭示规律,构造 等差(比)数列。
08 广东卷理科 21 题
2 设 p, q 为实数, ?,? 是方程 x ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 {xn } 满足 x1 ? p ,

4, …) . (1)证明:? ? ? ? p ,?? ? q ; (2)求 x2 ? p2 ? q , xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3,
数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

解 析 :( 1 ) 由

?,? 是 方 程 x2 ? px ? q ? 0 的 两 个 实 根 , 则

x2 ? px ? q ? ( x ? ? )( x ? ? ) ? x2 ? (? ? ? ) x ? ?? ;故 ? ? ? ? p , ?? ? q
(2)设 xn ? sxn?1 ? t ( xn?1 ? sxn? 2 ) ,则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 ,由 xn ? pxn?1 ? qxn?2 得

?s ? t ? p , ? ? st ? q
消去 t , 得 s ?p s ? q ?
2

由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ? 0, ? s 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的根,

①当 ? ? ? 时,此时方程组 ?

? s1 ? ? ? s2 ? ? ?s ? t ? p 或? 的解记为 ? ? t1 ? ? ? t2 ? ? ? st ? q

? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ),
即 ?xn ? t1xn?1? 、 ?xn ? t2 xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列,

由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , 两式相减,得 (? ? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2

x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ? ?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2? n?2 ? ? n ?(? ? ? ) xn?1 ? ? n ? ? n ,即? xn?1 ?
② 当 ? ??

? n ?? n ? n?1 ? ? n?1 ,? xn ? ? ?? ? ??
? ?? ,

时 , 由 ① 可 知 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ,

? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n
即? xn ? ? xn?1 ? ? n ,等式两边同时除以 ? ,得
n

?

xn
n

?

?

xn ?1
n ?1

? 1 ,即


?

xn
n

?

? n ?1


xn ?1

?1
列 ,

?
?





{

?n

xn

}





1











?

xn
n

?

?

x1

? (n ? 1) ? 1 ?

2?

?

? n ? 1 ? n ? 1 ,? xn ? n? n ? ? n

? ? n?1 ? ? n?1 , (? ? ? ) ? 综上所述, xn ? ? ? ? ? ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
(3)把 p ? 1 , q ?

1 1 1 2 2 代入 x ? px ? q ? 0 ,得 x ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 4 2

1 1 ? xn ? n( ) n ? ( ) n 2 2

1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? 1 Sn ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ( ) ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? ... ? n( ) n ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2 1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? ... ? n( ) n ? 2 2 2 2 ? ? 2
1 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n 2 2 2 2

例 8、已知 ?an ?,
2

a1 ? a2 ? 1, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 n

解: (法一)由 x ? 2 x ? 1 ? 0 得 ? ? ? ? 1

? 令 bn ? an?1 ? an ? bn?1 ? bn ? 2 n
?bn?1 2 1 ? 2 n?1 ? ?2 ? ? 2n ? 2 1? 2 k ?1
n ?1 k

?

?

?bn ? an?1 ? an ? 2 n ? 2
n ?1

?b1 ? a2 ? a1 ? 0?

? a n ? 1 ? ? 2 k ? 2 ? 1 ? 2n ? 2 n
k ?1

?

?

(法二) an?2 ? an?1 ? 2 n?1 ? an?1 ? an ? 2 n

? an?1 ? an ? 2 n 是常数列 ?an?1 ? an ? 2 n ? 2
? a n ? 1 ? ? 2 k ? 2 ? 1 ? 2n ? 2 n
k ?1 n ?1

?

?

?

?


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