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福州高级中学2014级数学培优资料 第9讲 空间几何体的结构特征三视图与直观图


第 9 讲 空间几何体的结构特征三视图与直观图
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图与直观图,能识别上述的三 视图现直观图所表示的立体模型,会使用材料(如:纸板)制作模型. 【例 1】请描述下列几何体的结构特征,并说出它的名称. (1)由 7 个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其它面都是全等的矩形; (2)如右图,一个圆环面绕着过圆心的直线 l 旋转 180°. 解: (1)特征:具有棱柱的特征,且侧面都是全等的矩形,底面是正五边形. 几何体为正五棱柱. (2)由两个同心的大球和小球,大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体,即空心球. 【例 2】若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧棱长为 2,底面周长为 9,求棱锥的高. 解:底面正三角形中,边长为 3,高为 3 ? sin 60? ? 则棱锥的高为 22 ? ( 3) 2 ? 1 . 【例 3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为 1:16,截去的圆锥的母线长是 3cm,求圆台的母线长. 解:设圆台的母线为 l ,截得圆台的上、下底面半径分别为 r , 4r . 根据相似三角形的性质得,

3 3 3 3 2 ,中心到顶点距离为 ? ? 3, 2 2 3

3 r ,解得 l ? 9 . ? 3 ? l 4r

所以,圆台的母线长为 9cm. 点评:用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似) ,同时结 合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质,利用相似三角形中的相似比,构设相关几何变量的方 程组而解得. 【例 4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? ,求

cos2 ? ? cos2 ? ? cos 2 ? 与 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? 的值.
解:设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为 a、b、c,相应对角线长为 l,则 l ? a2 ? b2 ? c2 .

a b c cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? ( )2 ? ( )2 ? ( )2 ? 1 , ∴ cos2 ? ? cos2 ? ? cos 2 ? =1. l l l 2 2 2 2 b ?c a ?c a 2 ? b2 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? ? ? ? 2 ,∴ sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? =2. 2 2 2 l l l
点评:从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱,均位于直角三角形中,利用直角三角形中的边角关系 邻 对 “ cos ? ? ”“n ? ? 、 is ”而求. 关键在于找准直角三角形中的三边,斜边是长方体的对角线,角的邻边是 斜 斜 各棱长,角的对边是相应矩形面的对角线. 【例 1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ). A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解:在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,取四棱锥 A'? ABCD ,它的四个侧面都是直角三角形. 选 D. 【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r, R ,求球的半径. 解:圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得 梯形腰长为 R+r,梯形的高即球的直径为 (r ? R)2 ? ( R ? r )2 ? 2 rR , 所以,球的半径为 rR . 【例 3】圆锥底面半径为1cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长. 解:过圆锥的顶点 S 和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面,得圆 S 锥的轴截面 SEF,正方体对角面 CDD1C1,如图所示. 设正方体棱长为 x,则 CC1=x,C1D1 ? 2x 。 作 SO ? EF 于 O,则 SO ? 2 ,OE=1,

? ?ECC1 ~ ?EOS , ∴

CC1 EC1 x 1 ? ( 2 / 2) x ,即 . ? ? 1 SO EO 2

C

D

E

C1

O

D1

F

∴ x?

2 2 cm. (cm) , 即内接正方体棱长为 2 2 点评:此题也可以利用 ?SCD ~ ?SEF 而求. 两个几何体相接、相切的问题,关键在于发现一些截面之间的

图形关系. 常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似, 利用相似比列出方程而求. 注意截面图形 中各线段长度的计算. 【例 4】以正四棱台(底面为正方形,各个侧面均为全等的等腰梯形)为模型,验证棱台的平行于底面的 截面的性质: P 设棱台上底面面积为 S1,下底面面积为 S2,平行于底面的截面将棱台的高分成距 上、下两底的比为 m∶n,则截面面积 S 满足下列关系: S ? 当 m=n 时,则 S ?

m S2 ? n S1 m?n

.

S1 ? S2 2

(中截面面积公式).

D E A H G O

C F B

解:如图,ABCD 是正四棱台的相对侧面正中间的截面,延长两腰交于 P,平行 于底面的截面为 EF. 根据棱台上下底面与平行于底面的截面相似的性质,上底面、下底面、截面的相 似比为 S1 : S2 : S .

PH h h( m ? n ) , ? ? PG h ? x? m h(m ? n) ? mx S m?n S2 PO h?x (h ? x)(m ? n) . ? ? ? PG h ? x? m h(m ? n) ? mx S m?n n S1 m S2 nh(m ? n) m(h ? x)(m ? n) (hn ? hm ? mx)(m ? n) ? ? ? ? ? m? n, ∴ h(m ? n) ? mx h(m ? n) ? mx h(m ? n) ? mx S S
设 PH=h,OH=x,则

S1

?

. m?n m?n 2 点评:利用台体平行于底面的截面与底面的相似,把面积比转化为相似比,与对应高之比紧密联系,还要 求具有较强的字母代数运算能力. 关于棱台的平行于底面的截面性质这一结论, 也可推广到圆台. 我们应特别重 视中截面的性质,可以结合梯形的中位线对中截面公式进行理解. 【例 1】画出下列各几何体的三视图:

即 S ?

m S2 ? n S1

.

当 m=n 时,则 S ?

m S1 ? m S2

?

S1 ? S2

解:这两个几何体的三视图如下图所示.

【例 2】画出下列三视图所表示的几何体.

解:先画几何体的正面,再侧面,然后结合三个视图完成几何体的轮廓. 如下图所示.

【例 3】如图,图(1)是常见的六角螺帽,图(2)是一个机器零件(单

位:cm) ,所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图. 解:图(1)为圆柱和正六棱柱的组合体. 图(2)是由长方体切割出来的规则组合体. 从三个方向观察,得到三个平面图形,绘制的三视图如下图分别所示.

点评:画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚,确定一个正前方,从三个不同的角度进行观察. 在绘制 三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分用虚线表示出来. 绘制三视图,就是由客观存在 的几何物体,从观察的角度,得到反应出物体形象的几何学知识. 【例 4】某建筑由相同的若干个房间组成,该楼的三视图如右图所示,问: (1)该楼有几层?从前往后最多要走过几个房间? (2)最高一层的房间在什么位置?画出此楼的大致形状. 解: (1)由主视图与左视图可知,该楼有 3 层. 由俯视图可知,从前往后最多要经过 3 个房间. (2)由主视图与左视图可知,最高一层的房间在左侧的最后一排的房间. 楼房大致形状如右图所示. 点评: 根据三视图的特征, 结合所给的视图进行逆推, 考察我们的想象能力与逆向思维能力. 由 三视图得到相应几何体后,可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致. 依据三视图进行逆向分 析,就是用几何知识解决实际问题的一个方面. 在工厂中,工人师傅都是根据零件结构设计的三视图,对零件 进行加工制作. 【例 1】下列图形表示水平放置图形的直观图,画出它们原来的图形.

解:依据斜二测画法规则,逆向进行,如图所示. 【例 2】 (1)画水平放置的一个直角三角形的直观图; (2)画棱长为 4cm 的正方体的直观图. 解: (1)画法:如图,按如下步骤完成. 第一步,在已知的直角三角形 ABC 中取直角边 CB 所在的直线为 x 轴,与 BC 垂直的直线为 y 轴,画出对应的 x? 轴和 y ? 轴,使 ?x?O?y? ? 45? . 第二步,在 x? 轴上取 O ' C ' ? BC ,过 C ' 作 y ' 轴的平行线,取 C ' A ' ? 第三步,连接 A ' O ' ,即得到该直角三角形的直观图. (2)画法:如图,按如下步骤完成. 第 一 步 , 作 水 平 放 置 的 正 方 形 的 直 观 图 ABCD , 使 ? ?BAD ? 4 5 ,A B? 4 c m A D 2 . c m , ? 第二步,过 A 作 z ? 轴,使 ?BAz? ? 90? . 分别过点 B, C, D 作 z ? 轴 的 平 行 线 , 在 z? 轴 及 这 组 平 行 线 上 分 别 截 取 AA? ? BB? ? CC? ? DD? ? 4cm . 第三步,连接 A?B?, B?C?, C?D?, D?A? ,所得图形就是正方体的直观图. 点评:直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标 长度,然后运用“水平长不变,垂直长减半”的方法确定出点,最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成 虚线. 【 例 3 】 如 右 图 所 示 , 梯 形 A1 B1C1 D1 是 一 平 面 图 形 ABCD 的 直 观 图 . 若

1 CA . 2

2 A1 D1 // O1 y , A1 B1 // C1 D1 , A1 B1 ? C1 D1 ? 2 , A1 D1 ? O ' D1 ? 1 . 请画出原来的平面 3 几何图形的形状,并求原图形的面积. 解:如图,建立直角坐标系 xOy,在 x 轴上截取 OD ? O ' D1 ? 1 ; OC ? O ' C1 ? 2 .
在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA ? 2 D1 A1 ? 2 .

在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB ? A1 B1 ? 2 . 连接 BC,即得到了原图形. 由作法可知,原四边形 ABCD 是直角梯形,上、下底长度分别为 AB ? 2, CD ? 3 ,直角腰长度为 AD ? 2 , 所以面积为 S ?

2?3 ?2 ?5. 2

点评:给出直观图来研究原图形,逆向运用斜二测画法规则,更要求我们具有逆向思维的能力. 画法关键 之处同样是关键点的确定,逆向的规则为“水平长不变,垂直长增倍” ,注意平行于 y’轴的为垂直.

第三章

立体几何(空间几何)

本部分为《必修二》的第一章《空间几何体》 新 课 标 部 分 一、选择题
1. 【2008 年广东理】 5. (文科 7)将正三棱柱 图 1 所示 A B,C 分别是 △GHI 三边的 , 体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧 图)为 截去三个角 (如 中点) 得到几何 视图 (或称左视

2. 【2008 年 宁夏理】 12.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为 (A)2 2 (B)2 3 (C)4 (D)2 5

3. 【2008 年山东理】 6. (文科 6)如图(下图左)是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何 体的表面积是 A.9π B.10π C . 11π D.12π 20 20 正视图 10 10 20 俯视图 20 侧视图

4. 【2007 年海南、宁夏理】8. (文科 8)已知某个几何体的三视图如下(上页右) ,根据图中标出的尺寸 (单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm

3

D. 4000cm

3

5. 【2007 年海南、宁夏理】12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这 个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧 棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h ? A. 3 :1:1 B. 3 : 2 : 2 C. 3 : 2 : 2 D. 3 : 2 : 3

6. 【2007 年海南、宁夏文】 11.已知三棱锥 S ? ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上, 球心 O 在 AB 上, SO ? 底面 ABC , AC ?

2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是

A. π B. 2π C. 3π D. 4π 7. 【2007 年山东理】 (3) (文科 3)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

①正方体 (A)① ② (B)① ③

②圆锥 (C)① ④

③三棱台 (D)② ④

④正四棱锥

二、填空题
1. 【2008 年宁夏理】 15.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同 一个球面上,且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8



2. 【2008 年宁夏文】 14.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同 一个球面上, 且该六棱柱的高为 3 , 底面周长为 3, 这个球的体积为_________. 那 么

三、计算题
1. 【2008 年宁夏文】 18. (本小题满分 12 分) 如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角 多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单 cm) . 所 得 位 :

(Ⅰ)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (Ⅲ)在所给直观图中连结 BC ? ,证明: BC? ∥面 EFG . 【试题解析】 (Ⅰ)如图

(Ⅱ)所求多面体的体积 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? (Ⅲ)证明:如图,在长方体 ABCD ? A B C D 中,连接 AD ,则 AD ∥ BC
' ' ' '

1 ?1 3 ?2
'

? ?

284 ? cm3 ? 3

'

'

因为E,G分别为 AA , A D 中点,所以 AD ' ∥ EG ,

'

'

'

从 而 EG ∥

BC ' ,又 BC ' ? 平面EFG
所以 BC ∥平面EFG; 【高考考点】长方体的有关知识、体积计算及三视图的 相关知识 【易错点】 :对三视图的相关知识掌握不到位,求不出有关数据。 【学科网备考提示】 :三视图是新教材中的新内容,故应该是新高考的热点之一,要予以足够的重视。 2. 【2007广东文】17. (本小题满分12分) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一 个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一 个底边长为 6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S。 【解析】 本小题只要考查三视图、 几何体体积、 等腰三角形性质、 三角形面积 等基础知识,以及空间想象能力、运算求解能力 由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长为、宽分别为 8 和 6 的矩形,正侧面及其相 对侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为 8,高为 h2 的等腰三角形,如解 答图 1。 (1)几何体的体积为 V ?
'

1 1 S矩形 ? h ? ? 6 ? 8 ? 4 ? 64 。 3 3
4 2 ? 32 ? 5 。

(2)正侧面及相对侧面底边上的高为: h1 ?

左、右侧面的底边上的高为: h2 ?

42 ? 42 ? 4 2 。

故几何体的侧面面积为: S ? 2 ?( ? 8 ? 5 ?

1 2

1 ? 6 ? 4 2 )? 40 ? 24 2 . 2

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