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概率统计复习课1


概率论与数理统计复习课

第一章 随机事件及概率
一、事件的关系与运算

1. 包含关系 A ? B 2. 相等关系 A=B ? A?B且B?A 3.事件的并 A∪B=A+B 4.事件的交A∩B=AB 5.事件的差A-B 6. 互不相容 7. 对立事件 1、交换律 A+B=B+A,AB=BA 2、结合律 (A+B)+C=A+(B

+C),(AB)C=A(BC) 3、分配律 (A+B)C=AC+BC,AB+C=(A+C)(B+C) 4、 De Morgan对偶律

A ? B ? A ? B, AB ? A ? B

?A ??A , ?A ??A
k k k k k k k

k

.

例1 某人连续购买体育彩票,令事件A、B、C分别表 示其第一、二、三、次所买的彩票中奖,试用A, B,C及其运算表示下列事件: (1)第三次未中奖 (2)第三次才中奖 (3)恰有一次中奖 (4)至少有一次中奖 (5)不止一次中奖 (6)至多中奖二次

C

ABC

ABC ? ABC ? ABC

A? B?C
AB ? AC ? BC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC

ABC

二、概率的计算 1、古典概率 2、利用公式计算

P( A ) ? 1 ? P( A)
设A,B是两个事件,若A ? B,则有 P(B-A)=P(B)-P(A) 对于任意两事件A,B,有 P(A-B)=P(A)-P(AB) 对于任意两事件A,B,有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 上式称为概率的加法公式.

P ( AB ) P ( B | A) ? P ( A)
P(AB)=P(B|A)P(A) P(A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P (An|A1A2…An-1) P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A| B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)

P ( ABi ) P ( Bi ) P ( A | Bi ) P ( Bi | A) ? ? n P ( A) ? P( B j )P( A | B j )
j ?1

i ? 1,2,...,n

设A,B是两事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称A,B为相互独立的事件.
若事件 与B相互独立则事件 与B , 事件A 与 A , A B, 事件A 与B 相互独立 .

Pn (k ) ? C p q
k n k

n? k

, k ? 0,1,?, n

例1、P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.2 A与B独立求P(B)

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) P( B) ? 0.75

例2、甲袋中有2个红球,2个白球;乙袋中有2个红球, 2个白球,从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后再 从乙袋中任取一个球。求从乙袋中取出的这个球 是红球的概率。

设Ai ? 从甲袋中任取的2球含有i个红球, i ? 0,1, 2, B ? 从乙袋任取一球为红球
PB) ? P( A0 ) P( B A0 ) ? P( A1 ) P( B A1 ) 1 2 4 3 1 4 1 ? P( A2 ) P( B A2 ) ? ? ? ? ? ? ? 6 6 6 6 6 6 2

第二、三章 随机变量及其分布
定义 1.2 设 X 是一随机变量,x 是任意实数,函数
F ( x) ? P( X ? x)

称为 X 的分布函数.

离散型随机变量的概率分布 分布律具有以下性质

(1)

pk ? 0,  k ? 1, ? 2,

( 2)

?p
k ?1

?

k

?1

连续型随机变量的概率分布 密度函数的性质

1.
2.

f ( x) ? 0

?

??

??

f ( x )dx ? 1

3. P (a ? X ? b) ?

?

 b

 a

f ( x )dx

dF ( x ) F ?( x ) ? ? f ( x) dx

F ( x) ? P( X ? x) ?

?

 x

  ??

f ( t )dt

二维离散型随机变量 二维离散型随机变量联合分布律的性质

i , j ?1

?p

?

ij

?

?? p
i ? 1 j ?1

?

?

ij

?1

二维连续型随机变量 (X,Y)的联合密度函数f(x,y)具有性质

? P (( X , Y ) ? G ) ? ?? f ( u, v )dudv
?? ??
G

F (??,??) ? ?

??

??

f (u, v )dudv ? 1

? F ( x, y) f ( x, y ) ? ?x?y
2

F ( x, y ) ? ?

x

??

?

y

??

f (u, v )dudv

边缘分布 1. 离散型变量的边缘分布律

(1)

( X , Y )关于X的边缘分布率为 pi . ? P( X ? xi ) ?? ? pij ?
j ?1 ??

(2)

( X , Y )关于y的边缘分布率为 p. j ? P(Y ? y j ) ?? ? pij ?
i ?1 ??

2. 连续型变量的边缘密度函数

f X ( x) ? ?

?

??

f ( x , y )dy

fY ( y) ? ?

?

??

f ( x, y )dx

随机变量的独立性 (1)X与Y相互独立的充分必要条件是对任意的x,y,有

f ( x, y ) ? f X ( x ) f Y ( y )
(2)X与Y相互独立的充分必要条件是对(X,Y)的所 有可能取值(xi,yj),有

pij ? pi ? p? j (i , j ? 1,2,3,?)

例 1 设随机变量 X 具有分布律

P(X ? k) ? ak,
解 由分布律的性质,得

k ? 1, 2,3, 4,5

求常数 和概率P(1 / 2 ? X ? 5 / 2)与P(1 ? X ? 2). a

1 P (1 / 2 ? X ? 5 / 2) ? P ( X ? 1) ? P ( X ? 2) ? 5 1 P (1 ? X ? 2) ? P ( X ? 1) ? P( X ? 2) ? 5

5? 6 1 ? P(X ? k) ? ? ak ? a 2 ? 1, a ? 15 k ?1 k ?1
5 5

例 2 设随机变量 X 的密度函数为
1 ? cx,  x ? 0? ? 2 ? 1 ? f ( x) ? ?3c(1 ? x ),  ? x ? 1 2 ? ? 0,   其他 ? ?

求(1)常数 C (2)分布函数 F(x). (3) P(1/4<X<3/4)

解 (1)

因为? cxdx ? ?1 3c(1 ? x)dx ? 1
2

1 2 0

1

所以c ? 2

(2) 当x<0时

F ( x) ?

?

 x

  ??

0dt ? 0

  0  x 1 0 当 0 ? x ? 时, F ( x ) ? ? ? dt ? ?  2tdt ? x 2 ? 0 2

1 当 2 ? x ? 1 时, F ( x) ?

?

  0

  ??

0dt ? ?
  0

 2 1

  0

2tdt ? ? (6 ? 6t )dt ? 6 x ? 3 x 2 ? 2
 2 1

 x

当 x>1 时, F ( x) ? ? ?0dt ? ?  2tdt ? ?  2 (6 ? 6t )dt ? ?  0dt ? 1 ? 0 1 1
0,         ? 0 x ? 1 ? 2 0? ? x ,    x ? 2 ? F ( x) ? ? 1 2 ?6 x ? 3 x ? 2,  ? x ? 1 2 ? ? 1,         ? 1 x ?

 2 1

  1

 x

1 3 (3) P( ? X ? ) ? ? 2 xdx ? ? 6(1 ? x)dx 4 4 3 ? 4 例3、设( X , Y )的密度函数为:
? 2 1 ? x ? xy, 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 f ( x, y ) ? ? 3 ? 0 其他 ? 求( )边缘密度f X ( x), (2) P( X ? Y ? 1) 1

1 2 1 4

3 4 1 2

解( )f X ( x ) ? 1

?

??

??

f ( x, y ) dy

? 2 2 1 ? ? ( x ? xy) dy, 0 ? x ? 1 ?? 0 3 ? 0 其他 ? ? 2 2 ?2 x ? x 0 ? x ? 1 ? 3 ? 0 其他 ?

P ( X ? Y ? 1) ? ?

x ? y ?1

??

f ( x, y ) dxdy

?

1

0

dx?

x

0

1 7 ( x ? xy) dy ? 3 24
2

例4 令随机变量X表示在1,2,3,4中等可能地取一个 值, 令随机变量Y表示在1至 X中等可能地取一个值. 求(X,Y) 的联合分布律和X与Y的边缘分布律. 解 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=(1/4)(1/i),(i≥j), 于是(X,Y)的联合分布律和X与Y的边缘分布律为:

X 1 2 3 4

Y

1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48

2 0 1/8 1/12 1/16 13/48

3 0 0 1/12 1/16 7/48

4 0 0 0 1/16 3/48

P(X=i) 1/4 1/4 1/4 1/4 1

P(Y=j)

例5、同样条件下连做3次实验,事件A发生的概 1 率为 ,用X 表示在3次实验中事件A发生的次数, 2 用Y 表示在3次实验中事件A发生的次数与没发

生的次数之差的绝对值,求( X , Y )的联合分布律

X的可能取值为: , 3 0,2, 1 Y的可能取值为, 13 显然,P ( X ? 0, Y ? 1) ? 0 P ( X ? 3, Y ? 1) ? 0, P ( X ? 1, Y ? 3) ? 0 P ( X ? 2, Y ? 3) ? 0 P( X P( X P( X P( X 1 3 1 ? 0, Y ? 3) ? ( ) ? 2 8 1 2 3 1 1 ? 1, Y ? 1) ? C3 ( ) ? 2 2 8 3 2 1 2 1 ? 2, Y ? 1) ? C3 ( ) ? 2 2 8 1 3 1 ? 3, Y ? 3) ? ( ) ? 2 8

例6 设 X ~ U (2,5) 现对 X进行三次独立观测, 试求至少有两次观测值大于3的概率。
?1 ? 2? x?5 解:由题意得: X ~ f ( x ) ? ? 3 ? 0 其它 ?

记A={X>3}, 则P(A)=P{X>3}=?3
Y ~ B(3,2 3)

5

1 dx ? 2/3 3

设Y表示三次独立观测中A出现的次数, 则

故所求为:
P{Y≥2}= P{Y=2}+P{Y=3}

2 2 1 3 2 3 1 0 ? C ( ) ( ) ? C3 ( ) ( ) 3 3 3 3 =20/27
2 3

例7、设随机变量 的概率密度为 X ?2 x, f ( x) ? ? ? 0 0 ? x ?1 其他

现对X进行n次独立重复观测, 用Vn 表示观测值不大于 .1 0 的次数, 求随机变量 n的概率分布 V .

解P ( X ? 0.1) ? ?
k n

0.1

??

f ( x)dx ? ? 2 xdx ? 0.01
0 k n?k

0.1

Vn的可能取值为: ,? n 0,2 1 P (Vn ? k ) ? C (0.01) (0.99) , (k ? 0,1,2? n)

第四章 随机变量的数字特征 一、随机变量的数学期望 离散型随机变量X的数学期望为

E( X ) ?

?x
k

k

pk

连续型随机变量X的数学期望

E( X ) ? ?

??

??

xf ( x)dx

随机变量函数的数学期望

E (Y ) ? E[ g( X )] ? ? g( x k ) pk
k ?1

?

E (Y ) ? E[ g( X )] ?

?

??

??

g( x ) f ( x )dx

二、随机变量的方差 D(X)= Var(X)= E([X-E(X)]2)

D( X ) ? E( X 2 ) ? ( E( X ))2
随机变量方差的性质 (1) 设C是常数, 则 D(C)=0 (2) 设C是常数, X是随机变量, 则有 D(CX)=C2D(X) (3) 设X,Y是两个相互独立的随机变量, 则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)

常见分布的期望和方差表
分布名称 两点分布 二项分布 记号 (a-b) B(n,p) 期望 aq+bp np 方差 (a-b)2pq npq

泊松分布
均匀分布 指数分布 正态分布

P(λ)
U(a,b) e(λ) N(μ,σ2)

λ
(a+b)/2 1/λ μ

λ
(a-b)2/12 1/λ2 σ2

三、协方差与相关系数 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)

? XY

? Cov( X , Y ) , ? ? ? D( X ) D(Y ) ? 0, ?

D( X ) D(Y ) ? 0 其它

协方差的性质
1. 2. D( X ) ? Cov( X , X ) Cov( X , Y ) ? Cov(Y , X )

3. 4.

Cov(aX , bY ) ? abCov( X ,Y ), a, b为常数 . Cov( X 1 ? X 2 , Y ) ? Cov( X 1 ,Y ) ? Cov( X 2 ,Y ) Cov( X , Y1 ? Y2 ) ? Cov( X ,Y1 ) ? Cov( X ,Y2 )

例1 设X~N ( 2,9),Y ~ U (0,6),X与Y 独立, 求E(3 X ? 2Y )2 解 由题意
E( X ) ? 2, D( X ) ? 9, E( X 2 ) ? D( X ) ? ( E( X ))2 ? 13 E(Y ) ? 3, D(Y ) ? 3, E(Y 2 ) ? D(Y ) ? ( E(Y ))2 ? 12

于是
E(3 X ? 2Y ) 2 ? E(9 X 2 ? 12XY ? 4Y 2 ) ? 9E( X 2 ) ? 12E( X ) E(Y ) ? 4E(Y 2 ) ? 9 ? 13 ? 12 ? 2 ? 3 ? 4 ? 12 ? 93

例2 二维随机向量(X,Y) 的分布律如下表 Y
0

X

-1
0.07

0
0.18

1
0.15

1

0.08

0.32

0.20

求Cov (X,Y) 和ρXY 解 X与Y的分布律分别为 X
p

-1
0.15

0
0.5

1
0.35

Y p

0 0.4

1 0.6

E ( X ) ? (?1) ? 0.15 ? 1 ? 0.35 ? 0.20 E (Y ) ? 1 ? 0.6 ? 0.60

E ( XY ) ? (?1) ? 1 ? 0.08 ? 1 ? 1 ? 0.20 ? 0.12

于是
Cov( X , Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) ? E (Y ) ? 0.12 ? 0.20 ? 0.60 ? 0

? XY ?

Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )

?0

例3 设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数是
?1, 0 ? x ? 1, | y |? x f ( x, y ) ? ? 其它 ?0,

求 D(X) X的边缘密度函数是 解



f X ( x) ? ?

??

??

?2 x , 0 ? x ? 1 f ( x, y )dy ? ? 其它 ? 0,
1 0

E ( X ) ? ? xf X ( x )dx ? ? x ? 2 xdx ? 2 / 3
??

??

E ( X ) ? ? x f X ( x )dx ? ? x 2 ? 2 xdx ? 1 / 2
2 2 1 ?? 0

??

D( X ) ? E( X 2 ) ? ( E( X ))2 ? (1 / 2) ? (4 / 9) ? 1 / 18

第五章 大数定理与中心极限定理
(切比晓夫不等式) 设随机变量X具有数学期望 E(X)=μ,方差D(X)=σ2 , 则对于任意正数ε, 有

P?| X ? ? |? ? ? ? (? / ? )

2

? P? X ? ? ? ? ? ? 1 ? (? / ? )

2

例1 将一颗骰子连掷100次,则点数之和不少于500 的概率是多少?



设Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100, 则

X1,…,X100 独立同分布. 7 1 6 2 49 35 E ( X 1 ) ? , D( X 1 ) ? ? k ? ? 2 6 i ?1 4 12 由中心极限定理 ? 7? ? 500 ? 100? ? 100 2? P (? X i ? 500) ? 1 ? ? ? ? ?
i ?1

? 1 ? ? (8.78) ? 0

? ?

35 10 12

? ?

数理统计
一、简单随机样本具有以下两条重要性质: (1) X1,X2,…,Xn间相互独立; (2) X1,X2,…,Xn与总体具有相同分布.
二、 统计量 设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本, g(X1,X2,…,Xn)是关于X1,X2,…,Xn的一个连续函数 而且g (X1,X2,…,Xn)中不含有任何未知参数, 则称 g (X1,X2,…,Xn)是样本(X1,X2,…,Xn)的一个统计量

三、常用的统计量
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本, 则
样 本 均 值:
样 本 方 差:
样本标准差 :

1 n X ? ? Xi n i ?1 1 n S2 ? ( X i ? X )2 ? n ? 1 i ?1
S? 1 n ( X i ? X )2 ? n ? 1 i ?1

1 n k 样 本k阶 原 点 矩: Ak ? ? X i , k ? 1,2,... n i ?1 1 n 样 本k阶中 心矩: Bk ? ? ( X i ? X ) k , k ? 1,2,... n i ?1

四、数理统计中的某些常用分布 1、 ?2分布 设(X1,X2,…,Xn)相互独立且都服从N(0,1), 则称随机

变量

?2 ?

?
i ?1

n

X i2

所服从的分布为自由度为n的?2分布,记为?2~ ?2(n).

2、t分布
Y ~ ? 2 (n) ,且 X 与 Y 相互独立,则 设 X~N(0,1),

称随机变量

T?

X Y /n

所服从的分布为自由度为 n 的 t 分布,记做 T~t(n).

3、F分布 X ~ ? 2 (n),Y ~ ? 2 (m) ,且 X 与 Y 相互独立,则 设
称随机变量

X /n F ? Y /m

所服从的分布为第一自由度为 n, 第二自由度为 m 的 F 分布,记做 F~F(n,m).

例 1 设 X 1 , X 2 ,?, X 9 和 Y1 ,Y2 ,?,Y9 是 来 自 同 一 总 体 N(0,9)的两个独立的样本,统计量:
Z ? (? X i )
i ?1 9

?Y
i ?1

9

2 i

试确定Z的分布. 解 由样本的同分布性知:
X i ~ N (0,9),Yi ~ N (0,9), i ? 1,2,?,9
9 Yi 2 1 ? Yi ? ? X i ~ N (0,1), ? ? 3 ? ? ? 9 ~ ? 2 (9) 9 i ?1 ? i ?1 ? i ?1
9

9

2

由此得

由t分布的定义知

1 9 ? Xi 9 i ?1 Yi ?9 i ?1
9 2

? 9

?X
i ?1

9

i

?Y
i ?1

9

? Z ~ t ( 9)
2

i

五、正态总体统计量的分布
定理3.1
设总体 X ~ N ( ? , ? 2 ), X 1 , X 2 , ? , X n 为其样 本, 则样本均值X与样本方差 S 2 独立, 而且

(1)
( 2)

X ??

?/ n
1
n

~ N (0,1);

?2

( X i ? ? ) 2 ~ ? 2 ( n); ?
i ?1

(3) ( 4)

(n ? 1) S 2

?2
X ?? S/ n

?

1

?

( X i ? X )2 ~ ? 2 (n ? 1); 2 ?
i ?1

n

~ t ( n ? 1);

例1 解

设总体X ~ N ( 3, ? 2 ), 有n ? 10个样本, 样本

方差S 2 ? 4, 求 P ( 2.1253 ? X ? 3.8747 ) 之值.

X ?? X ?3 因 T? ? ~ t (9), 则 S n 2 / 10

? P ?? 1.3830? T ? 1.3830? ? 1 ? 2 P ?T ? 1.3830? 由分布表得 t 0.1 (9) ? 1.3830

P(2.1253? X ? 3.8747 ) ? 2.1253? 3 X ? 3 3.8747? 3 ? ? ? P? ? ? ? 2 10 2 10 2 10 ? ? ?

P(2.1253? X ? 3.8747 ? 1 ? 2 ? 0.1 ? 0.8 )

六、参数估计 1、估计量的评选标准 2、矩估计法与极大似然估计法 求极大似然估计的一般步骤归纳如下
(1)求似然函数 L(? ) ;

(2)求出 ln L(? ) 及方程

d ln L(? ) ? 0 d?



(3)解上述方程得到极大似然估计值
?? ? ?? ( x 1 , x 2 , ? , x n ) .

(4)解上述方程得到极大似然估计量
?? ? ?? ( X 1 , X 2 , ? , X n ) .

? ? ? 且? 1较? 2 , ? 3都有效 .
证明

例1、 设(X1,X2, X3)是来自总体X的一个样本,试证下 面的三个估计量都是总体均值E(X)的无偏估计量. 1 1 1 ? ? ? ?1 ? X ; ? 2 ? X 1 ? X 2 ? X 3 ; ? 3 ? X 1 2 3 6

? ? ? 显然有 E( ? 1 ) ? E( ? 2 ) ? E( ? 3 )

? 且 D( ? 1 ) ? D( X ) ? D( X ) / 3

? D( ? 2 ) ? D( X 1 / 2 ? X 2 / 3 ? X 3 / 6) ? 14D( X ) / 36
? D( ? 3 ) ? D( X 1 ) ? D( X )

? ? ? ? ? ? 故有D( ? 1 ) ? D( ? 2 ) ? D( ? 3 ),所以? 1较? 2 , ? 3有效.

例 2、设总体 X 服从参数为λ的指数分布,其中λ未
( ( 知, X 1 , X 2 ,?, X n ) 为从总体抽取一个样本, x1 , x2 ,?, xn )

为其样本观测值,试求参数λ的极大似然估计值和估 计量.



总体X服从参数为λ的指数分布,则有
? ?e ? ?x , x ? 0 f (? ; x ) ? ? x?0 ?0,

所以似然函数为

L(? ) ? ? n e

??

? xi
i ?1

n

取对数

ln L(? ) ? n ln? ? ? ? x i
i ?1

n



d n n ln L(? ) ? ? ? x i ? 0 d? ? i ?1

解得λ的极大似然估计值为

? ??
极大似然估计量为
? ?? n

n

?x
i ?1

n

1 ? x
i

?X
i ?1

n

1 ? X
i


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