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高一数学必修一第一次月考及答案[1]



兴义九中 2011-2012 学年度第一学期高一第一次月考
考生注意:1.本卷分试卷部分和答题卷部分,考试结束只交答题卷; 2.所有答案必须写在答题卷指定位置上,写在其他地方一律无效。

一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分) 1. 下列命题正确的是 A.很小的实数可以构成集合。 B.集合 ?y | y ? x ? 1? 与集合 ?? x , y ? | y ? x ? 1? 是同一个集合。
2
2





C.自然数集 N 中最小的数是 1 。 D.空集是任何集合的子集。 2. 函数 f ( x ) ?
1

3x

2

1? x

?

2 3x ? 1
1

的定义域是
1 1 1





A. [ ? ,1]
3

B. ( ? ,1)
3

C. ( ? , )
3 3

D. ( ? ? , ? )
3

3. 已知 M ? ? x | y ? x 2 ? 1? , N ? ? y | y ? x 2 ? 1? , M ? N 等于( ) A. N B. M C. R D. ? ( )

4. 下列给出函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的各组中,是同一个关于 x 的函数的是
x
2

A. f ( x ) ? x ? 1, g ( x ) ?

?1

B. f ( x ) ? 2 x ? 1, g ( x ) ? 2 x ? 1

x

C. f ( x ) ? x 2 , g ( x ) ?

3

x

6

D. f ( x ) ? 1, g ( x ) ? x

0

5 3 5. 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? 3 , f ? ? 3 ? ? 7 ,则 f ? 3 ? 的值为

(

)

A. 13
2

B. ? 1 3

C.7

D. ? 7 )

6. 若函数 y ? x ? (2 a ? 1) x ? 1 在区间(-∞,2 ] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. [ - ,+∞)
2 3

B. (-∞,-

3 2

]

C. [

3 2

,+∞)

D. (-∞,

3 2

]

? x ? 2, x ? ? 1 ? 7. 在函数 y ? ? x 2 , ? 1 ? x ? 2 中,若 f ( x ) ? 1 ,则 x 的值是 ? 2 x, x ? 2 ?





A. 1 8. 已知函数 f ( x ) ?

B. 1或
2

3 2

C. ? 1

D. 3 ( )

mx ? mx ? 1 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是
1

A.0<m≤4

B.0≤m≤1

C.m≥4

D.0≤m≤4

9.函数 y= 1 ? x ?
2

9 1? x

是(

) C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶数

A.奇函数 B.偶函数 10.下列四个命题

(1)f(x)= x ? 2 ? 1 ? x 有意义; (2)函数是其定义域到值域的映射; (3)函数 y=2x(x ? N )的图象是一直线; (4)函数 y= ? A.1
? 2 ?x , x ? 0 ?? x 2 , x ? 0 ?

的图象是抛物线,其中正确的命题个数是 C.3 D.4





B.2

11. 已知函数 f ( x ) 是 R 上的增函数, A (0, ? 2) ,B (3, 2) 是其图象上的两点, 那么 | f ( x ? 1) |? 2 的解集是 A. (1,4) B. (-1,2) C. ( ?? ,1) ? [ 4 , ?? ) ( ) D. ( ?? , ? 1) ? [ 2 , ?? )
x

12. 若函数 f ( x ), g ( x ) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x ) ? g ( x ) ? 2 ,则有( A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3) B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)



二、填空题(每小题 4 分,共计 20 分) 13. 用集合表示图中阴影部分:
U
A B C

U
A B

U
A B

14. 若集合 M ? ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0? , N ? ? x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,则实数 a 的值为 _________________
2 15. 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时,f ? x ? ? x -2x , 则 f ? x ? 在 x ? 0 时的解析 当

式是 _______________ 16.设集合 A={ x ? 3 ? x ? 2 },B={x 2 k ? 1 ? x ? 2 k ? 1 },且 A ? B,则实数 k 的取值范围
2



.

三、解答题:解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤. (合计 70 分)

17、 (满分 10 分)设 A={x∈Z| ? 6 ? x ? 6} , B ? ?1, 2, 3? , C ? ? 3, 4, 5, 6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; (2) A ? C A ( B ? C )

18. 已知 f(x)=x2-ax+b(a、 b∈R), A={x∈R|f(x)-x=0}, B={x∈R|f(x)-ax=0}, 若 A={1,-3},试用列举法表示集合 B.
19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? b ,且对任意的实数 x 都有 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) 成立.
2

(1)求实数 a 的值; (2)利用单调性的定义证明函数 f ( x ) 在区间 [1, ?? ) 上是增函数.
? ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ? f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ? 2 ? x ? m x ( x ? 0)

20、 (满分 12 分)已知奇函数

(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y ? f ( x ) 的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

3

21. (本题满分 12 分) 是否存在实数 a 使 f ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? a 的定义域为 [ ? 1,1] ,值域为 [ ? 2, 2] ? 若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

22、 (满分 12 分)某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的 利润与投资成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比, 其关系如图 2(注:利润与投资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样 分配这 10 万元投资, 才能是企业 获得最大利润,其最大利润约为 多少万元。 (精确到 1 万元) 。

4

兴义九中 2011-2012 学年度第一学期高一第一次月考
答题卡 一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(每小题 4 分,共计 20 分)

13.

14. ________________

15. _______________

16.

.

三、解答题:解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤. (合计 70 分)

17、 (满分 10 分)设 A={x∈Z| ? 6 ? x ? 6} , B ? ?1, 2, 3? , C ? ? 3, 4, 5, 6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; (2) A ? C A ( B ? C )

5

18. 已知 f(x)=x2-ax+b(a、 b∈R), A={x∈R|f(x)-x=0}, B={x∈R|f(x)-ax=0}, 若 A={1,-3},试用列举法表示集合 B.

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? b ,且对任意的实数 x 都有 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) 成立.
2

(1)求实数 a 的值; (2)利用单调性的定义证明函数 f ( x ) 在区间 [1, ?? ) 上是增函数.

6

20、 (满分 12 分)已知奇函数

? ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ? f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ? 2 ? x ? m x ( x ? 0)

(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y ? f ( x ) 的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 是否存在实数 a 使 f ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? a 的定义域为 [ ? 1,1] ,值域为 [ ? 2, 2] ? 若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

7

22、 (满分 12 分)某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的 利润与投资成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比, 其关系如图 2(注:利润与投资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样 分配这 10 万元投资, 才能是企业 获得最大利润,其最大利润约为 多少万元。 (精确到 1 万元) 。

8

兴义九中 2011-2012 学年度第一学期第一次月考
参考答案:
一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分
题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D 9 B 10 A 11 B 12 D

二、填空题(每小题 4 分,共计 20 分) 13. ( A ? B ) ? C , C U ( A ? B ), 15. f ( x ) ? ? x ? 2 x
2

14.

1 2

或?

1 3

或 0
1 2

16.{ k ? 1 ? k ?

};

三、解答题:解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤. (合计 70 分)

17、 (满分 10 分) 解:? A ? ? ? 6, ? 5, ? 4, ? 3, ? 2, ? 1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6? ……………2 分 (1)又? B ? C ? ? 3?
? A ? ( B ? C ) ? ? ? 6, ? 5, ? 4, ? 3, ? 2, ? 1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 ? ……6 分

(2)又? B ? C ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6? 得 C A ( B ? C ) ? ? ? 6, ? 5, ? 4, ? 3, ? 2, ? 1, 0?
? A ? C A ( B ? C ) ? ? ? 6, ? 5, ? 4, ? 3, ? 2, ? 1, 0 ?

……………12 分

18.(本题满分 12 分)
解:f(x)-x=0,即 x -(a+1)x+b=0. ∵A={1,-3}, ? ?1+(-3)=a+1, ∴由韦达定理,得? ?1×(-3)=b. ?
? ?a=-3, 2 ∴? ∴f(x)=x +3x-3. ? ?b=-3. 2 f(x)-ax=0,亦即 x +6x-3=0. 2 ∴B={x|x +6x-3=0}={-3-2 3,-3+2 3}.
2

19. (本题满分 12 分) 解析: (1)由 f (1+x)=f (1-x)得, 2 2 (1+x) +a(1+x)+b=(1-x) +a(1-x)+b,
9

整理得:(a+2)x=0, 由于对任意的 x 都成立,∴ a=-2.
2

………………………6 分

(2)根据(1)可知 f ( x )=x -2x+b,下面证明函数 f(x)在区间[1,+∞ ) 上是增函数. 设 x1 ? x 2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) =( x1 ? 2 x1 ? b )-( x 2 ? 2 x 2 ? b )
2 2

=( x1 ? x 2 )-2( x1 ? x 2 )
2 2

=( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 -2) ( ∵ x1 ? x 2 ? 1 ,则 x1 ? x 2 >0,且 x1 ? x 2 -2>2-2=0, ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 故函数 f(x)在区间[1,+∞ ) 上是增函数. ………………………………… 12 分

20 解 (1) x<0 时, 当 -x>0,f ( ? x ) ? ? ( x ) 2 ? 2( ? x ) ? ? x 2 ? 2 x 又 f(x)为奇函数,∴ f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? ? x 2 ? 2 x , ∴ f(x)=x2+2x,∴m=2 y=f(x)的图象如右所示 (2)由(1)知
?? x2 ? 2 x ? f(x)= ? 0 ? 2 ?x ? 2x

……………4 分 ……………6 分
( x ? 0) ( x ? 0) ( x ? 0)

,…8 分

由图象可知, f ( x ) 在[-1,1]上单调递增,要使 f ( x ) 在[-1,|a|-2]上单调递 增,只需 ?
?| a | ? 2 ? ? 1 ?| a | ? 2 ? 1

……………10 分 ……………12 分

解之得 ? 3 ? a ? ? 1或1 ? a ? 3

21 解: f ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? a ? ( x ? a ) ? a ? a 2 ,对称轴 x ? a (1)当 a ? 1 时,由题意得 f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上是减函数 ? f ( x ) 的值域为 [1 ? a ,1 ? 3 a ] 则有 ?
?1 ? a ? ? 2 ?1 ? 3 a ? 2

满足条件的 a 不存在。

(2)当 0 ? a ? 1 时,由定义域为 [ ? 1,1] 知 f ( x ) 的最大值为 f ( ? 1) ? 1 ? 3 a 。
10

f ( x ) 的最小值为 f ( a ) ? a ? a

2

1 ? ?1 ? 3 a ? 2 ?a ? ? ? ?? 3 2 ?a ? a ? ?2 ? a ? 2或 a ? ? 1 ?

a不 存 在

(3)当 ? 1 ? a ? 0 时,则 f ( x ) 的最大值为 f (1) ? 1 ? a , f ( x ) 的最小值为 f ( a ) ? a ? a 2
?1 ? a ? 2 ?? 得 a ? ? 1 满足条件 2 ?a ? a ? ?2

(4)当 a ? ? 1 时,由题意得 f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上是增函数 ? f ( x ) 的值域为 [1 ? 3 a ,1 ? a ] ,则有
?1 ? 3 a ? ? 2 ? ?1 ? a ? 2

满足条件的 a 不存在。

综上所述,存在 a ? ? 1 满足条件。

22、 (1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f ( x ) 万元,B 产品的利润为 g ( x ) 万元, 由题设 f ( x ) = k 1 ? x , g ( x ) = k 2 ? 由图知 f (1) ?
1 1 4 4

x ,.
5 2

? k1 ?

1 4

,又 g ( 4 ) ?
5 4 x

? k2 ?

5 4

从而 f ( x ) = x , ( x ? 0 ) , g ( x ) =

, ( x ? 0)

……………6 分

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10- x 万元,设企业的利润为 y 万元 Y= f ( x ) + g (10 ? x ) = ?
4 x 5 4
2

10 ? x

0 1 , 0?x? (

) ,
25 16 , (0 ? t ?

令 10 ? x ? t , 则 y ? 当t ?
5 2

10 ? t 4

?

5 4

t??

1 4

(t ?

5 2

) ?
2

10 ),

, y m ax ? 4 ,此时 x ? 1 0 ?

25 4

=3.75 ……………12 分

? 当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,

企业获得最大利润约为 4 万元。

11


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