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衡水中学2015届高考数学(二轮复习)专题训练:《排列、组合与二项式定理》


【状元之路】2015 版高考数学二轮复习 排列、组合与二项式定 理专题训练(含解析)
一、选择题 1.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )

A.11 种 C.21 种 解析
3

B.20 种 D.12 种
2

使电路接通,左边两个开关的开闭方式有 2 -1=3(种),右边三

个开关的开闭方

式有 2 -1=7(种),故使电路接通的情况有 3×7=21(种). 答案 C 2.(2014·河南洛阳统考)设 n 为正整数,?x- 可能取值为( A.16 C.4 解析 4n-5r 2 ) B.10 D.2 设第 r + 1 项为常数项.由二项式定理可得 Tr + 1 = C 2n x
r
2n - r

? ?

x x?

1 ? 2n

? 展开式中存在常数项,则 n 的一个

?- 1 ? r r ? ? = C 2n ( - ? x x?

1) x

r

4n-5r .令 =0. 2

4 得 r= n,且 r∈N,结合选项,n 可能取 10.故选 B. 5 答案 B 3.从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lga-lgb 的不同值的个数是( A.9 C.18 ) B.10 D.20

解析 lga-lgb=lg ,问题转化为 的值的个数,所以共有 A5-2=20-2=18(个). 答案 C
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a b

a b

2

4.(2014·四川绵阳一模)某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名学生中选派四名学 生参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不 能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为( A.1 860 C.1 140 解析 ) B.1 320 D.1 020

依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,

甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为 C2·C6·A4=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同 的演讲顺序的种数为 C 2 ·C 6 ·A 2 ·A 3 = 180 ,因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为 C2·C6·A2·A3=180,因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为 960+180=1 140,选 C. 答案 C 5.(2014·浙江卷)在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0) +f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( A.45 C.120
6 6 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 4

m n

) B.60 D.210
r r
4

解析 ∵(1+x) 展开式的通项公式为 Tr+1=C6x , (1+y) 展开式的通项公式为 Th+1=C4y , ∴(1+x) (1+y) 展开式的通项可以为 C6C4x y , ∴f(m,n)=C6C4. ∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C6+C6C4+C6C4+C4=20+60+36+4=120.故选 C. 答案 C 6.若两条异面直线所成的角为 60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接 正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有( A.12 对 C.24 对 B.18 对 D.30 对 )
3 2 1 1 2 3 6 4

h h

r h r h

m n

解析 每条面对角线与 4 条与之异面的面对角线所成的角为 60°,每个面有 2 条面对角 线,共 6 个面,共有 48 对“黄金异面直线对”,因为每对无顺序,所以每对都重复一次,故 共有 24 对. 答案 C 二、填空题 7.(2014·课标全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y) 的展开式中 x y 的系数为________.(用数字填 写答案) 解析 (x+y) 的通项公式为 Tr+1=C8x
7 6 2 6 2 6 8 8 2 7

r 8-r r

7 y (r=0,1,?,8,r∈Z).当 r=7 时,T8=C7 8xy 8 2 7 7

=8xy ,当 r=6 时,T7=C8x y =28x y ,所以(x-y)(x+y) 的展开式中含 x y 的项为 x·8xy
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-y·28x y =-20x y ,故系数为-20. 答案 -20 8.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员 工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为________. 解析 先分组,再分配.共有两种分组情况:2,2,1 和 3,1,1.①若分成 2,2,1 三组,共 有 C3A3=18 种分法;②若分成 3,1,1 三组,共有 C3A3=18 种分法.由分类计数原理知,共有 18+18=36 种分法. 答案 36 9.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴全运会的四个不 同场馆服务,不同的分配方案有________种.(用数字作答) C6·C4 4 解析 先将 6 位志愿者分组, 共有 2 种方法; 再把各组分到不同场馆, 共有 A4种方法. 由 A2 C6C4 4 乘法原理知,不同的分配方案共有 2 ·A4=1 080. A2 答案 1 080 三、解答题
2 2 2 2 1 3 1 3

2 6

2 7

? x+ 1 ? ?n 10.若? 4 ? 展开式中前三项系数成等差数列.求: ? 2 x? ?
(1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中所有 x 的有理项. 解 由已知条件:

1 1 0 2 1 Cn+Cn· 2=2Cn· , 2 2 解得 n=8(n=1,不合题意,舍去).

? 1 ? 3 r r -r (1)Tr+1=C8( x) ? 4 ? =C8·2 ·x4- r, ?2 x? 4 ? ?
r
8-r

3 令 4- r=1,得 r=4, 4 35 4 -4 ∴x 的一次幂的项为 T4+1=C8·2 ·x= x. 8 3 (2)令 4- r∈N(r≤8), 4 则只有当 r=0,4,8 时,对应的项才是有理项,有理项分别为:

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T1=x4,T5= x,T9=
n

35 8

1 2. 256x

11.已知(1+3x) 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求: (1)展开式中二项式系数最大的项; (2)展开式中系数最大的项. 解 1 n-2 n-1 n 2 (1)由已知得 Cn +Cn +Cn=121,则 n(n-1)+n+1=121,即 n +n-240=0,解 2
7 7 8 8

得 n=15,所以,展开式中二项式系数最大的项是 T8=C15(3x) 和 T9=C15(3x) .
?C15 3 ≤C153 , ? (2)Tr+1=C15(3x) ,由题意得,设第 r+1 项系数最大,则? r+1 r+1 r r ?C15 3 ≤C153 . ?
r r r-1 r-1 r r

∴11≤r≤12. 所以展开式中系数最大的项对应的 r=11、12,即展开式中系数最大的项是 T12=C15(3x) 和 T13=C15(3x) . 12.某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中有 6 名女工 人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进 行技术考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (3)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率. 解 (1)由于甲组和乙组各有 10 名工人,所以按分层抽样抽取样本 4 人,甲、乙两组各
12 12 11 11

有 2 人被抽取. C4C6 8 (2)设 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则 P(A)= 2 = . C10 15 (3)Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2.
1 1

Bj 表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人,j=0,1,2. B 表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人. Ai 与 Bj 独立,i,j=0,1,2,且 B=A0·B2+A1·B1+A2·B0.
故 P(B)=P(A0·B2+A1·B1+A2·B0) =P(A0)·P(B2)+P(A1)·P(B1)+P(A2)·P(B0) = C4 C4 C4C6 C6C4 C6 C6 31 . 2 · 2 + 2 · 2 + 2 · 2 = C10 C10 C10 C10 C10 C10 75 B 级——能力提高组 1 .(2014·南昌市一模 ) 若 x (x + 3) = a0 + a1(x + 2) + a2(x + 2) +?+ a12(x + 2) ,则 log2(a1+a3+a5+?+a11)等于( )
4 8 2 12 2 2 1 1 1 1 2 2

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A.2 C.7

7

B.2 D.8
8

8

解析 令 x=-1,得 a0+a1+a2+?+a12=2



令 x=-3,得 a0-a1+a2-a3+?+a12=0 ② ①-②得 2(a1+a3+?+a11)=2 , ∴a1+a3+?+a11=2 , ∴log2(a1+a3+?+a11)=7. 答案 C 2.(2014·北京卷 )学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合 格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于 乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人 C.4 人 B.3 人 D.5 人 )
7 8

解析 利用反证法解决实际问题.假设满足条件的学生有 4 位及 4 位以上,设其中 4 位 同学分别为甲、乙、丙、丁,则 4 位同学中必有两个人语文成绩一样,且这两个人数学成绩 不一样,那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好,故满足条件的学生不能超过 3 人.当 有 3 位学生时,用 A,B,C 表示“优秀”“合格”“不合格”,则满足题意的有 AC,CA,BB, 所以最多有 3 人. 答案 B 3.(2014·福建卷)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理, 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球 和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式中可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个 无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取 法的是( )
2 3 4 5 5 5

A.(1+a+a +a +a +a )(1+b )(1+c)
5 2 3 4 5

B.(1+a )(1+b+b +b +b +b )(1+c)
5 2 3 4 5 5

5

C.(1+a) (1+b+b +b +b +b )(1+c ) D.(1+a )(1+b) (1+c+c +c +c +c ) 解析 运用加法原理与乘法原理的基本方法(穷举法)解决.由题意可知:5 个无区别的红 球取出若干球可表示为 1+a+a +a +a +a ; 5 个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为 1 +b ;5 个有区别的黑球取出若干球可表示为(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)=(1+c) .由
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5 5 2 3 4 5 5 5 2 3 4 5

乘法原理可得所有取法可表示为(1+a+a +a +a +a )(1+b )·(1+c) .故选 A.

2

3

4

5

5

5

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