当前位置:首页 >> 数学 >> 高一函数大题(附答案)

高一函数大题(附答案)


函数大题练习
1、对定义在 [0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x) 称为 G 函数。 ① 对任意的 x ? [0, 1] ,总有 f ( x) ? 0 ; ② 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。
2 x 已知函数 g (

x) ? x 与 h( x) ? a ? 2 ?1 是定义在 [0, 1] 上的函数。

(1)试问函数 g ( x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h( x) 是 G 函数,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下 ,讨论方程 g (2 ?1) ? h( x) ? m (m ? R) 解的个数情况。
x

解: (1)当 x ??0,1? 时,总有 g( x ) ? x ? 0 ,满足①,
2

当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时, g( x1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 ? 2x1x 2 ? x1 ? x 2 ? g(x1 ) ? g(x 2 ) ,满足②
2 2 2 2

(2)若 a ? 1 时, h(0) ? a ? 1 ? 0

不满足①,所以不是 G 函数;
x1 ? x 2

若 a ? 1 时, h( x ) 在 x ? [0,1] 上是增函数,则 h( x ) ? 0 ,满足① 由 h( x1 ? x 2 ) ? h( x1 ) ? h( x 2 ) ,得 a ? 2 即 a[1 ? (2 1 ?1)(2 2 ?1)] ? 1 ,
x x

? 1 ? a ? 2x1 ? 1 ? a ? 2x2 ? 1 ,

因为 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 所以 0 ? 2 1 ? 1 ? 1 0 ? 2
x x2

? 1 ? 1 x1 与 x 2 不同时等于 1

?0 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1

?a ?

1 1 ? ( 2 ? 1)( 2x1 ? 1)
x1

当 x1 ? x 2 ? 0 时, (

1 )min ? 1 1 ? (2 ? 1)(2x1 ? 1)
x1

?a ? 1 ,

综合上述: a ? {1} ,a=1 (3)根据(2)知: a=1,方程为 4 ? 2 ? m ,
x x

由?

?0 ? 2 x ? 1 ? 1 得 ?0 ? x ? 1

x ? [0,1]
2

x 令 2 ? t ?[1, 2] ,则 m ? t ? t ? ( t ? ) ?
2

由图形可知:当 m ?[0, 2] 时,有一解; 当 m ? (??, 0) ? ( 2, ??) 时,方程无解。

1 2

1 4

-1-

? 1 ? 1 ? , x ? 0; 2、设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数.若当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ?0, x ? 0. ? (1)求 f ( x) 在 (??, 0) 上的解析式.
(2)请你作出函数 f ( x) 的大致图像. (3)当 0 ? a ? b 时,若 f (a) ? f (b) ,求 ab 的取值范围. (4)若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,求 b, c 满足的条件.

[解](1)当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? f (? x) ? 1 ? (2) f ( x) 的大致图像如下:.
4

1 1 ? 1? . ?x x

3

2

1

-4

-2

2

4

6

-1

(3)因为 0 ? a ? b ,所以 f (a) ? f (b)

1 1 1 1 ? 1? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 , a b a b ? a? ? b? ? a ? b ? 2ab ? 2 ab (1, ??) . 解得 ab 的取值范围是
(4)由(2) ,对于方程

2

2

时,方程有 2 个根;当 a ? 0 时,方程无解.…15 分

f ( x) ? a ,当 a ? 0 时,方程有 3 个根;当 0 ? a ? 1 时,方程有 4 个根,当 a ? 1

2 f ( x) 的方程 所以,要使关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,关于

f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有一个在区间 (0,1) 的正实数根和一个等于零的根。
所以

c ? 0, f ( x) ? ?b ? (0,1) ,即 ?1 ? b ? 0, c ? 0 .

-2-

3、对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称点 ( x0 , x0 ) 为函数的不动点。 (1)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 有不动点(1,1)和(-3,-3)求 a 与 b 的值; (2)若对于任意实数 b ,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 总有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)若定义在实数集 R 上的奇函数 g ( x) 存在(有限的) n 个不动点,求证: n 必为奇数。

解: (1)由不动点的定义: f ( x) ? x ? 0 ,∴ ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 0 代入 x ? 1 知 a ? 1 ,又由 x ? ?3 及 a ? 1 知 b ? 3 。 ∴a ? 1,b ? 3 。 ( 2 ) 对 任 意 实 数 b , f ( x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 总 有两 个 相 异 的 不 动 点 ,即是 对 任 意 的 实 数 b , 方 程

f ( x) ? x ? 0 总有两个相异的实数根。
∴ ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 0 中 ? ? (b ? 1) 2 ? 4ab ? 0 , 即 b 2 ? (4a ? 2)b ? 1 ? 0 恒成立。故 ?1 ? (4a ? 2) 2 ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? a ? 1 。 故当 0 ? a ? 1 时,对任意的实数 b ,方程 f ( x) 总有两个相异的不动点。 ………...................1’

(3) g ( x) 是 R 上的奇函数,则 g (0) ? 0 ,∴(0,0)是函数 g ( x) 的不动点。 若 g ( x) 有异于(0,0)的不动点 ( x0 , x0 ) ,则 g ( x0 ) ? x0 。 又 g (? x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? x0 ,∴ (? x0 ,? x0 ) 是函数 g ( x) 的不动点。 ∴ g ( x) 的有限个不动点除原点外,都是成对出现的, 所以有 2 k 个( k ? N ) ,加上原点,共有 n ? 2k ? 1 个。即 n 必为奇数。

-3-

4、已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,当 x ? [?2,0) 时, f ( x ) ? tx ? (1)求函数 f ( x) 的解析式;

1 3 x ( t 为常数) 。 2

(2)当 t ? [2,6] 时,求 f ( x) 在 ?? 2,0? 上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增 区间(不必证明) ; (3)当 t ? 9 时,证明:函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。 解: (1) x ? ?0,2? 时, ? x ? ?? 2,0? , 则 f (? x) ? t (? x) ?

1 1 (? x) 3 ? ?tx ? x 3 , 2 2

∵函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,即 f ?? x ? ? ? f ?x ? , ∴ ? f ? x ? ? ?tx ?

1 3 1 x ,即 f ( x) ? tx ? x 3 ,又可知 f ?0? ? 0 , 2 2 1 3 x , x ? ?? 2,2? ; 2

∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? tx ?

(2) f ?x ? ? x? t ?

? ?

1 2? x ?, 2 ?
1 2 x ?0, 2
3

∵ t ? [2,6] , x ? ?? 2,0? ,∴ t ?



? f ?x ??2

1 2 1 2? ? 2 ? x ? t ? x ? t ? x ? 8t 3 1 1 2 ? ? 2 2 2 ? ? ? x2 ?t ? x2 ? ? ? ,∴ x ? t ? x , 3 27 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?
2

即 x ?
2

2t 6t 6t 2 6 , x ? ? (? ? ?? 2,0?) 时, f min ? ? t t 。 3 3 3 9
? ? 6t ? ?。 3 ?

猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增区间为 ?0,

(3) t ? 9 时,任取 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ,∵ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?x1 ? x2 ??t ?

? ?

1 2 2 ? x1 ? x1 x2 ? x2 ? ? 0 , 2 ?

?

?

∴ f ?x ? 在 ?? 2,2?上单调递增,即 f ?x ? ? ? f ?? 2?, f ?2?? ,即 f ?x ? ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? , t ? 9 , ∴ 4 ? 2t ? ?14,2t ? 4 ? 14 , ∴ 14 ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? ,∴当 t ? 9 时,函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。

-4-

5、设函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为实数),F(x)= ?

2

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) ? 0 成立,求 F(x)表达式。

? f ( x) ( x ? 0) ?? f ( x) ( x ? 0)

(2)在(1)的条件下,当 x ? ?? 2,2? 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。 (3)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。 解: (1)? f(-1)=0 ∴b

? a ?1

由 f(x) ? 0 恒成立 知△ =b -4a=(a+1) -4a=(a-1) ? 0 ∴a=1 2 从而 f(x)=x +2x+1
2 2 2

∴F(x)= ?

?( x ? 1) ?? ( x ? 1)
2

( x ? 0) ( x ? 0)
2



(2)由(1)可知 f(x)=x +2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1, 由于 g(x)在 ?? 2,2?上是单调函数,知(3)? f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(x),而 a>0
2

2?k 2?k ? ?2 或? 2 ,得 k ? -2 或 k ? 6 , 2 2

∴ f ( x) 在 ?0,??? 上为增函数 对于 F(x), 当 x>0 时-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x), 当 x<0 时-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x),

∴F(x)是奇函数且 F(x)在 ?0,? ?? 上为增函数, ? m>0,n<0,由 m>-n>0 知 F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。

-5-

6、函数 f(x)=

x (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b

(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立?为什么? (3)在直角坐标系中,求定点 A(–3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。 解 (1)由 f(2)=1 得 2a+b=2, 又 x=0 一定是方程 所以

x =x 的解, ax ? b

1 =1 无解或有解为 0, ax ? b
1 。 2

若无解,则 ax+b=1 无解,得 a=0,矛盾, 若有解为 0,则 b=1,所以 a=

2x ,设存在常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, x?2 2m 取 x=0,则 f(0)+f(m–0)=4,即 =4,m= –4(必要性), m?2 2x 2(?4 ? x) ? 又 m= –4 时,f(x)+f(–4–x)= =……=4 成立(充分性) , x?2 ?4? x?2
(2)f(x)= 所以存在常数 m= –4,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立,

x?2 2 ) ,设 x+2=t,t≠0, 则 x?2 t?4 2 2 8 16 16 4 4 4 4 |AP|2=(t+1)2+( ) =t +2t+2– + 2 =(t2+ 2 )+2(t– )+2=(t– )2+2(t– )+10=( t– +1)2+9, t t t t t t t t 4 ? 1 ? 17 ? 5 ? 17 所以当 t– +1=0 时即 t= ,也就是 x= 时,|AP| min = 3 。 t 2 2
(3)|AP|2=(x+3)2+(

-6-


更多相关文档:

高中数学函数测试题(含答案)

高中数学函数测试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。从历年高考全真题中精选出来高中数学函数测试题学生: 用时: 分数: 一、选择题和填空题(3x28=84 分) 1、...

高中函数综合题(附答案)

函数综合题 一:选择题。 C. 7.已知: 1.已知 A.15 ,则 B. 则 A 等于 C. ( D.225 ) A、1 个 B、2 个 D. 的不等实根一共有( C、3 个) D...

高一数学《函数—映射与函数》测试题(含答案)[1]

高一数学《函数—映射与函数》测试题(含答案)[1]_数学_高中教育_教育专区。经典高一函数映射和函数体 不容错过函数—映射与函数 一. 选择题: 1. 已知下列四个...

高中数学参数方程大题(带答案)

高中数学参数方程大题(带答案)_数学_高中教育_教育专区。参数方程极坐标系 解答...(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线 C 的参数方程...

高中数学必修一指数与指数函数练习题及答案(基础题)

高中数学必修一指数与指数函数练习题及答案(基础题)_数学_高中教育_教育专区。...(2)讨论 f (x)的奇偶性 (3)求证:f (x)>0 -3- 指数与指数函数同步...

高一数学函数同步辅导试题及答案(完整版)

高一数学函数同步辅导试题及答案(完整版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学函数同步辅导试题及答案源头学子 电话:3234809 13031305219 高一同步辅导 (26-10...

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中...数学 第二章 一、函数单调性相关练习题 高中数学必修 1 函数单调性和奇偶性...

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)_数学_高中教育_教育...2.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种...

函数的概念练习题(含答案)

函数的概念练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。1.2.1 函数的概念及练习...1.2.1 函数的概念及练习题答案一、选择题 1.集合 A={x|0≤x≤4},B={...

高一数学指数函数测试题(含答案)

高一数学指数函数测试题(含答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学测试题(指数函数)一、选择题 1.设指数函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 , a ? ...
更多相关标签:
高一三角函数测试题 | 高一数学三角函数试题 | 高一三角函数20道大题 | 高一函数综合题 | 高一三角函数典型例题 | 高一函数题型及答案 | 高一数学函数测试题 | 高一函数题型 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com