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数学一轮复习第二十一节 平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示


课题:平面向量的概念、线性运算、定理及坐标表示 【目标展示】
1.理解向量的概念;掌握向量的几何表示;了解共线向量的概念; 2.掌握向量加法和减法;掌握实数与向量的积; 3.理解两个向量共线的充要条件,了解平面向量的基本定理;理解平面向 量坐标的概念;掌握平面向量的坐标运算

【达标流程】
知识点总结: 1. 向量的有关概念: (1)向量的

概念:既有大小又有方向的量 ;向量的大小叫做向量的___; (2)零向量:长度为零的向量;其方向是 (3)单位向量:长度(或模)为 1 的向量,非零向量 a 的单位向量为_________ (4)相等向量:方向_______________且模长为____________的向量; (5)共线向量(平行向量) :方向__________的非零向量,0 与任一向量平行或共线. (6)相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量. 2.向量的线性运算: (1)加法(图示) :________________ (2)减法(图示) :________________ ? ? (3)数乘:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ;它的长度_____________ 它的方向 ________________ 3.向量共线的判定定理和性质定理: (1)判定定理:a 是一个非零向量,若存在一个实数λ 使得__________,则向量 b 与 a__________. (2)性质定理:若向量 b 与非零向量 a 共线,则存在一个实数λ 使得_______ . (3)A,B,C 是平面上三点,且 A 与 B 不重合,p 是平面内任意一点,若 C 点在直线 AB 上,则存在实数λ ,使得__________ . 4.平面向量的坐标表示: 平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,记作 a =(x,y) 5.平面向量的坐标运算: (1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? (2)若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? (3)若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) (4)若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 例 1.下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起 点相同,终点相同。 (3)若 AB ?DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4)若 ABCD 是 平行四边形,则 AB ? DC 。 (5)若 a ? b,b ? c ,则 a ? c 。 (6)若 a // b, b // c ,则

a // c 。其中正确的是_______

例 2.若向量 AB ? ?1,2? , BC ? ? 3,4? ,则 AC ? ( A. ? 4,6 ? B. ? ?4, ?6? C. ? ?2, ?2?

) D. ? 2, 2 ? ) D.5

例 3.已知 a=(4,2), b= (6,y)且 a∥b,则 y 的值为( A.2 B.3 C.4

例 4.若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______ 例 5.已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用 向量 a, b 表示为_____

【达标练习】
1.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中, 使 A. | a |?| b | 且 a // b B. a ? ?b

a b 成立的充分条件是( ? |a| |b|
C. a // b D. a ? 2b ) C.



2.已知 a=(2,3) ,b=(-4,7) ,则 a 在 b 上的投影值为( A. 13 B.

13 5

65 5


D. 65

3.若向量 a=(1,-2) , | b| = 4 |a|,且 a,b 共线,则 b 可能是( A.(4,8) B.(-4,8) C.(-4,-8)

D.(8,4)

4.设 e1、e 2 是两个不共线的向量,a=e1+λ e2(λ ∈R)与 b=-(e2-2e1)共线,则λ 的值为 ( ) A.0 B.-1 C.-2 ) C.6a D.- D.-

1 2

5.若向量方程 2x-3(x-2a)=0,则向量 x 等于( A.

6 a 5

B.-6a

6 a 5

【测标试题】
1 .已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于( A. ? 2 B. 2 C. ? 2 或 2 D.0 )

2.已知| a |=2, b =(-2 3 ,2) ,若 a ∥ b ,则 a =_______ 3.向量 a ? (1,0), b ? (1,1) ,则与 2a ? b 同向的单位向量的坐标表示为____________;

4.(0,-3) 、B(3,3)、C(x,-1),且 A,B,C 三点共线,则 x 等于( A.5 B.1 C.-1



D.-5


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