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浙江省杭州地区四校2017届高三上学期联考数学试卷


2016-2017 学年第一学期期中浙江省杭州地区四校联考高三 年级数学学科试卷
命题: 余杭中学 程建新; 新登中学 张永娟 联系方式: 15158173690
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应 数字; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;

4.考试结束后,只需上交答题卷。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设 集 合 A ? { x | 4 x ? 1| ? 9, x ? R} , B ? {x |

x ? 0, x ? R} , 则 (CR A) ? B ? x?3 5 2

( ▲ ) A. (??, ?3) ? [ , ??) 2.

5 2

B. (?3 ? 2] ? [0, ) 数 单 位 , 则

5 2

C. (??, ?3] ? [ , ??) 复 数

D. (?3 ? 2] 的 虚 部 为

i





5i 2?i

( ▲ )
A. 2i B. ?2 C. 2 D. ?2i

l2 : x ? ay ? 2 ? 0 , 3. 已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 , 则 “ l1 // l2 ” 是 “ a ? ?1 ” 的( ▲ )
A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 已 知 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?
2

? ? ? 0 , sin ? ? cos ? ?

1 1 , 则 2 5 cos ? ? sin 2 ? 7 25 24 25

的 值 为

( ▲ )
A.

7 5

B.

25 7

C.

D.

? 2x ? y ? 2 ? 0 ? 5. 已 知 实 数 x, y 满 足 ?3 x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则 3 x ? 9 y 的 最 小 值 为 ? x ? 3y ?1 ? 0 ?
( ▲ )
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A. 82

B. 4

C.

2 9

D.

2 3 3 , 椭圆的离 5

6. 设点 P 为有公共焦点 F1,F2 的椭圆和双曲线的一个交点, 且 cos ?F1 PF2 ?

心 率 为 e1 , 双 曲 线 的 离 心 率 为 e2 , 若 e2 ? 2e1 , 则 e1 ? ( ▲ ) A.

10 4
? ? ?

B.

7 5

C.

7 4
? ?

D.

10 5

7.已知向量 a, b, c 满足 a ? 2, b ? a ? b ? 3 ,若 (c ? 2a ) ? (c ? 值是( ▲ ) A. 2 ? 3 B. 2 ? 3 C.1

?

?

? ?

?

? ? 2? b) ? 0 ,则 b ? c 的最小 3

D .2

8.已知函数 f ( x) ? ? ( ▲ ) A. 8 个

? log 5 (1 ? x) , x ? 1 1 ,则方程 f ( x ? ? 2) ? a 的实根个数不可能为 2 x ?? ( x ? 2) ? 2, x ? 1

B. 7 个

C. 6 个

D. 5 个

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、 填空题: 本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9.若 ( x 2 ?

1 n ) 的二项展开式中,所以二项式系数之和为 64,则 n ? x
▲ (用数字作答).



;该展开

式中的常数项为

10 .已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 , 前 n 项和为 S n , 若 2a3 , a5 ,3a4 成等差数列,

a2 a4 a6 ? 64 ,则 an ?



, Sn ?





11. 函数 y ? log a x ? 1( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 (m>0,n>0)上,则

x y ? ?4?0 m n


1 1 ? = m n



; m ? n 的最小值为



12 .已知曲线 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 与曲线 C2 : y ( y ? mx ? m) ? 0 ,则曲线 C2 恒过定点 ▲ ; 若曲线 C1 与曲线 C2 有 4 个不同的交点, 则实数 m 的取值范围是 ▲ .

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13.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球得 3 分, 设得分为随机变量 ξ,则 P(ξ≤7)= 14.函数 f ( x) ? ▲ ▲ .(用分数表示结果) .

4 ? 2 x ? x 的值域为

15.记 max?a, b? ? ?

?a , a ? b 2 2 ,设 M ? max x ? y ? 4 , 2 y ? x ? 8 ,,若对一切实数 ?b, a ? b

?

?

x, y ,

M ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是





三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分)在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知

cos 2 A ?

3 ? 2 cos A . 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

]

17.(本题满分 14 分)如图,已知 O 为 ?ABC 的外心,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . (1)若 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,求 cos ?BOC 的值; (2)若 CO ? AB ? BO ? CA ,求

b2 ? c2 的值. a2

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18(本题满分 15 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,满足 a1 ? 1 , ak ?1 ? ak ? ai . (i ? k , k ? 1, 2, 3,? , n ? 1) (1)求证: ak ?1 ? ak ? 1 (k ? 1, 2,3,? , n ? 1) ; (2)若 {an } 是等比数列,求数列 {an } 的通项公式; (3)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求证:

1 n(n ? 1) ? S n ? 2 n ? 1 . 2

19. (本题满分 15 分)已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1? a ? 1? 过直线 l : x ? 2 上一点 P 作椭圆的切线, a2
2 . 2

切点为 A ,当 P 点在 x 轴上时,切线 PA 的斜率为 ? (1)求椭圆的方程; (2)设 O 为坐标原点,求 ?POA 面积的最小值.

20.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?
(1) 讨论函数 f ( x) 的单调性;

1 2 x ? x, 其中 a 为非零实数. 2

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(2) 若 y ? f ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 , 且 x1 ? x 2 , 求证:

f ( x2 ) 1 ? x1 2

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2016 学年第一学期四校联考期中考试高三数学试题答案
一、选择题 1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D

二、 填空题 9. 6 ; 15 12 . (?1, 0) ; (? 15. 1 ? 7 ,1 ? 7 10. 2
n?2

2n ? 1 ; 2
13 .

11. 4 ;1

?

?

3 3 , 0) ? (0, ) 3 3

13 35

14 . ? 2,6 ?

?

?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.

17. 【解析】 (1) 设外接圆半径为 R , 由 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 得:4OB ? 5OC ? ?3OA
两边平方得: 16 R ? 40OB ? OC ? 25 R ? 9 R ,即: OB ? OC ? ?
2 2 2

4 2 R , 5

则 cos ?BOC ? ?

4 ..............(7 分) 5

(2)? CO ? AB ? BO ? CA ,? CO ? (OB ? OA) ? BO ? (OA ? OC ) 即: ? OC ? OB ? OC ? OA ? ?OB ? OA ? OB ? OC
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可得: ? R 2 cos 2 A ? R 2 cos 2 B ? ? R 2 cos 2C ? R 2 cos 2 A

? 2 cos 2 A ? cos 2C ? cos 2 B ,即:? 2(1 ? 2 sin 2 A) ? 2 ? (2 sin 2 B ? 2 sin 2 C )
? 2 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C
利用正弦定理变形得:? 2a 2 ? b 2 ? c 2 ,?

b2 ? c2 ? 2 ..............(14 分) a2

18. 【答案】 (1)详见解析; (2) an ? 2 n ?1 ; (3)详见解析. 【解析】 (1)因为 ak ?1 ? ak ? ai ? 0(i ? k , k ? 1, 2,3,? , n ? 1) ,所以数列 {an } 是递增数列,即

1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,又因为 ak ?1 ? ak ? ai ? ( 1 i ? k , k ? 1, 2,3,?, n ? 1) ,所以 ak ?1 ? ak ? ( 1 k ? 1, 2,3,?, n ? 1) ;..............(5 分)
(2)因为 a2 ? a1 ? a1 ,所以 a2 ? 2a1 ;因为 {an } 是等比数列,所以

( 数 列 {an } 的 公 比 为 2 , 因 为 ak ?1 ? ak ? a i i ? k , k ? 1, 2,3,? , n ? 1) , 所 以 当 i =k 时 有 ak ?1 =2ak , 这 说 明 在 已 知 条 件 下 , 可 以 得 到 唯 一 的 等 比 数 列 , 所 以
an ? 2n ?1 ;..............(10 分)
(3)因为 1=a1 ? 1 , 2=a2 ? 2 ,

3 ? a 3 ? 2 2 , 4 ? a 4 ? 2 3 ,?

n ? an ? 2n ?1 ,由上面 n 个式子相加,得到:

1+2+3+ ? +n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 20 +21 +2 2 + ? +2 n ?1 ,
化 简 得

( n n ? 1) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (2 n ? 1) 2







1 n(n ? 1) ? S n ? 2 n ? 1 .......(15 分) 2

x2 2 19. 【答案】 (1) ? y 2 ? 1 (2) k ? ? 2 2
【解析】

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试题解析:解: (1)当 P 点在 x 轴上时, P ? 2, 0 ? , PA : y ? ?

2 ( x ? 2) 2

? 2 y?? ( x ? 2) ? x2 ? ? 1 1? 2 2 2 ? ? 2 ? ? x ? 2 x ? 1 ? 0 , ? ? 0 ? a ? 2 ,椭圆方程为 ? y 2 ? 1 ? 2 2 2? ?a ? x ? y2 ? 1 2 ? ?a
.............. (5 分) (2)设切线为 y ? kx ? m ,设 P ? 2, y0 ? , A ? x1 , y1 ? , 则?

? y ? kx ? m ?x ? 2 y ? 2 ? 0
2 2

? ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 ? ? ? 0 ? m 2 ? 2k 2 ? 1 ,

且 x1 ?

?2km m , y1 ? , y0 ? 2k ? m , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

则 PO ?

y0 2 ? 4 , PO 直线为 y ?

y x ? 2 y1 y0 , x ?, A 到直线 PO 距离 d ? 0 1 2 y0 2 ? 4

则 S ?POA ?

1 1 1 ?2km 2m PO ? d ? y0 x1 ? 2 y1 ? ? 2k ? m ? ? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

1 ? 2k 2 ? km ? m ? k ? m ? k ? 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k
? ? S ? k ? ? 1 ? 2k 2 ? k 2 ? 2Sk ? S 2 ? 1 ? 0,? ? 8S 2 ? 4 ? 0 ? S ?
2

2 2

,





k ??

2 . 2
.............

.(15 分)

20.(1) f ' ( x) ?

a x 2 ? (a ? 1) ? x ?1 ? ,x ?1 x ?1 x ?1
'

当 a ? 1 ? 0, 即 a ? 1 时 f ( x) ? 0,? f ( x)在( - 1, ? ?)单调递增 当 0 ? a ? 1时 由 f ' ( x) ? 0 ? x1 ? ? 1 ? a ? ?1, x 2 ? 1 ? a

? f ( x)在区间 - 1, - 1 - a 单调递增,在 - 1 - a , 1 ? a 单调递减,在 1 ? a ,?? 单调递增.
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?

?

?

?

?

?



a ? 0,? x1 ? ?1? f ( x)在 ? 1, 1 ? a 单调递减,在 1 - a ,?? 单调递增. ..........(7
分) (2)? 0 ? a ? 1, 且x1 ? ? 1 ? a , x 2 ? 1 ? a

?

?

?

?

? x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? a ? 1且x 2 ? ?0,1?
f ( x2 ) 1 f ( x2 ) 1 1 ? ? ? ? f ( x2 ) ? x2 ? 0 x1 2 ? x2 2 2
1 2 1 1 x 2 ? x 2 ? 0 ? (1 ? x 2 ) ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? 0 2 2 2 1 x ? ?0,1? 令 g ( x) ? (1 ? x) ln( x ? 1) ? x 2 1 ? g ' ( x) ? ln( x ? 1) ? ? 0 2 ? a ln( x 2 ? 1) ?

? g ( x)在(0,1)单调递增, ? g ( x) ? g (0) ? 0 ? 命题得证 ..........(15 分)

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