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北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试(数学理)


北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷(理工类)

2012.1

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分) 一部分(
注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。 注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知平面向量 a = (3,1) , = ( x, 3) , a ⊥ b , b 且 则实数 x 的值为 ( ) A. 9 B. 1 2.设集合 U = {1,2,3, 4} , M = x ∈ U x 2 ? 5 x + p = 0 ,若 CU M = {2,3} ,则实数 p 的值 为 A. ?4 B. 4 C. ?6 D. 6 ( )

{

C. ?1

}

D. ?9

3. 设数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 = 1 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 {an } 的前 n 项 和 Sn 等于 ( )

A.

n 2 7n + 8 8

B.

n 2 7n + 4 4

C.

n 2 3n + 2 4


D. n + n
2

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 1 B. ?1 C. ?2 D. 0

5.已知函数 f ( x ) = sin x + 3 cos x ,设 a = f ( ) , b = f ( ) , c = f ( ) ,则 a, b, c 的

π

π

π

7

6

3

大小关系是 A. a < b < c





B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a 2 x 6.函数 f ( x ) = 2 ? ? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是( x
1



A. (1,3)

B. (1, 2)

C. (0, 3)

D. (0, 2)

7. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 2 ,将 ?ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC ⊥ 平面 ACD ,得到如图所示的三棱锥 B ? ACD .若 O 为 AC 边的中点, M , N 分别为线段 DC , BO 上的动点(不包括端点) BN = CM .设 BN = x ,则三 ,且 棱锥 N ? AMC 的体积 y = f ( x) 的函数图象大致是( ) A D B N O M C

A.

B.

C.

D.

8. 已 知 集 合 A = {( x, y ) | x = n, y = na + b, n ∈ Z} , B = {( x, y ) | x = m, y = 3m 2 + 12,

m ∈ Z } .若存在实数 a, b 使得 A ∩ B ≠ ? 成立,称点 (a, b) 为“£”点,则“£”点在平面
区域 C = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 108} 内的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 ( )

第二部分(非选择题 共 110 分) 二部分(
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9.已知有若干辆汽车通过某一段公路,从中抽取 200 辆汽车进行测速分析,其时速的频率分 布直方图如图所示,则时速在区间 [60, 70) 上的汽车大约有
频率 组距

辆.

0 04 0 03 0 02 0 01
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

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O

40 50

60 70

80 时速(km/h)

2

10. 某几何体的三视图如图所示, 则这个几何体 的体积是 .

3

3
主视图 2 俯视图

2 2 侧视图

2

? x + y ≥ 0, ? 11. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y + 4 ≥ 0, 所表示的平面区域的面积是 9,则实数 a 的 ? x≤a ?
值为 . 12. 设直线 x ? my ? 1 = 0 与圆 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 相交于 A , B 两点,且弦 AB 的长为

2 3 ,则实数 m 的值是

.

13. 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y (万 元)与机器运转时间 x (年数, x ∈ N )的关系为 y = ? x 2 + 18 x ? 25 .则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是 万元.
?

14. 已知两个正数 a, b ,可按规则 c = ab + a + b 扩充为一个新数 c ,在 a, b, c 三个数中取两个 较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次 操作. (1)若 a = 1, b = 3 ,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________; , (2)若 p > q > 0 ,经过 6 次操作后扩充所得的数为 ( q + 1) m ( p + 1) n ? 1( m, n 为正整数) 则 m, n 的值分别为______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本题满分 13 分) 在 锐 角 ?ABC 中 , a , b , c 分 别 为 内 角 A , B , C 所 对 的 边 , 且 满 足

3a ? 2b sin A = 0 .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a + c = 5 ,且 a > c , b =

7 ,求 ABi AC 的值.

3

16. (本题满分 13 分) 如图, 一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域. 用力旋转转盘, 转盘停止转动时, 箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个 5 区域的边界时重新转动) 且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相 , 等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一 3 位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为 (a, b) (假设儿 童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动) . (Ⅰ)求某个家庭得分为 (5,3) 的概率? (Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于 8 的家庭 可以获得一份奖品.请问某个家庭获奖的概率为多少? (Ⅲ)若共有 5 个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 5 2 2 3 A

17. (本题满分 13 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , 平 面 SAD ⊥ 平 面 ABCD . 底 面 ABCD 为 矩 形 ,
AD = 2a, AB = 3a , SA = SD = a .

(Ⅰ)求证: CD ⊥ SA ; (Ⅱ)求二面角 C ? SA ? D 的大小.

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = ln( ax + 1) +

1? x ( x ≥ 0 , a 为正实数). 1+ x

(Ⅰ)若 a = 1 ,求曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的最小值为 1 ,求 a 的取值范围.

4

19. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,直线 l 过点 A(4, 0) , B (0, 2) ,且 2 a b 2

与椭圆 C 相切于点 P . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 A(4, 0) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M 、 N ,使得

36 AP = 35 AM ? AN ?若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.
2

20. (本题满分 14 分) 数列 {an } , {bn } ( n = 1, 2, 3,? )由下列条件确定:① a1 < 0, b1 > 0 ;②当 k ≥ 2 时,

a k 与 bk 满足:当 a k ?1 + bk ?1 ≥ 0 时, a k = a k ?1 , bk = ak = a k ?1 + bk ?1 , bk = bk ?1 . 2

a k ?1 + bk ?1 ;当 a k ?1 + bk ?1 < 0 时, 2

(Ⅰ)若 a1 = ?1 , b1 = 1 ,写出 a2 , a3 , a4 ,并求数列 {a n } 的通项公式; ( Ⅱ ) 在 数 列 {bn } 中 , 若 b1 > b2 > ? > bs ( s ≥ 3 , 且 s ∈ N * ) , 试 用 a1 ,b1 表 示

bk k ∈ {1,2,?, s} ;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设数列 {c n } ( n ∈ N*) 满足 c1 =

1 , cn ≠ 0 , 2

cn +1 = ? cn < 1 .

22 ? m 2 cn + cn (其中 m 为给定的不小于 2 的整数),求证:当 n ≤ m 时,恒有 mam

5

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数学试卷答案(理工类)
一、选择题: 题号 答案 (1) C (2) B (3) A (4) D (5) B (6) C

2012.1

(7) B

(8) A

二、填空题: 题号 (9) 答案

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

80

3 3

1

±

3 3

5

8

255

8,13

三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A = 0 , 所以 3 sin A ? 2sin B sin A = 0 , 因为 sin A ≠ 0 ,所以 sin B = 又 B 为锐角, 则 B = (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, B = ……………………………………………… 2 分

3 . …………………………………………………3 分 2
…………………………………………… 5 分

π π
3

. .因为 b =
2 2

3

7,

根据余弦定理,得 7 = a + c ? 2ac cos 整理,得 (a + c ) 2 ? 3ac = 7 . 由已知 a + c = 5 ,则 ac = 6 . 又 a > c ,可得 a = 3 , c = 2 . 于是 cos A =

π
3

,………………………………………7 分

……………………………………… 9 分 ………………………… 11 分

b2 + c2 ? a2 7 + 4 ? 9 7 = = , 2bc 14 4 7

所以 AB i AC = AB i AC cos A = cb cos A = 2 × 7 × (16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记事件 A:某个家庭得分情况为 (5,3) .
1 1 1 P( A) = × = . 3 3 9

7 = 1. 14

…………… 13 分

6

所以某个家庭得分情况为 (5,3) 的概率为 .……………………………… 4 分 (Ⅱ) 记事件 B: 某个家庭在游戏中获奖, 则符合获奖条件的得分包括 (5,3), (5,5), (3,5) 共 3 类情况. 所以 P( B) = × + × + × =
1 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 . 3

1 9

所以某个家庭获奖的概率为 .

………………………………………… 8 分

1 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,每个家庭获奖的概率都是 ,所以 X ~ B (5, ) . 3

1 3

1 2 32 P ( X = 0) = C50 ( )0 ? ( )5 = , 3 3 243 2 80 1 1 P ( X = 1) = C5 ( )1 ? ( ) 4 = , 3 3 243 1 2 80 P ( X = 2) = C52 ( ) 2 ? ( )3 = , 3 3 243 2 40 3 1 P ( X = 3) = C5 ( )3 ? ( ) 2 = , 3 3 243 1 2 10 P ( X = 4) = C54 ( ) 4 ? ( )1 = , 3 3 243 2 1 5 1 . P ( X = 5) = C5 ( )5 ? ( )0 = 3 3 243
所以 X 分布列为: ………………………………… 11 分

X

0

1

2

3

4

5

P

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243

1 5 = . 3 3 5 所以 X 的数学期望为 . 3
所以 EX = np = 5 ×

……………………………………………… 13 分

(17) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)因为平面 SAD ⊥ 平面 ABCD , CD ⊥ AD ,且面 SAD ∩ 面 ABCD = AD , 所以 CD ⊥ 平面 SAD . 又因为 SA ? 平面 SAD
7

所以 CD ⊥ SA . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, CD ⊥ SA .

…………………………………………… 6 分

在 ?SAD 中, SA = SD = a , AD = 2a , 所以 SA ⊥ SD , 所以 SA ⊥ 平面 SDC . 即 SA ⊥ SD , SA ⊥ SC , 所以 ∠CSD 为二面角 C ? SA ? D 的平面角. 在 Rt ?CDS 中, tan ∠CSD =
CD 3a = = 3, SD a

所以二面角 C ? SA ? D 的大小

π . 3

…………………………………… 13 分

法二:取 BC 的中点 E , AD 的中点 P . 在 ?SAD 中, SA = SD = a , P 为 AD 的中点,所以, SP ⊥ AD . 又因为平面 SAD ⊥ 平面 ABCD ,且平面 SAD ∩ 平面 ABCD = AD 所以, SP ⊥ 平面 ABCD .显然,有 PE ⊥ AD . ……………………………… 1 分 如图,以 P 为坐标原点,PA 为 x 轴,PE 为 y 轴,PS 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 S (0, 0,
B( 2 2 a) , A( a, 0,0) , 2 2

2 2 a, 3a, 0) , C (? a, 3a, 0) , 2 2 2 a, 0, 0) . 2

D (?

………………………………………………………………3 分
2 2 a, 0, ? a) 2 2

(Ⅰ)易知 CD = (0, ? 3a, 0), SA = ( 因为 CD ? SA = 0 , 所以 CD ⊥ SA .

…………………………………………………………… 6 分
? n ? SA = 0 ? ? n ? CA = 0 ?

(Ⅱ)设 n = ( x, y, z ) 为平面 CSA 的一个法向量,则有 ?



? 2 2 ax ? az = 0 ? 即? 2 2 ? 2ax ? a 3 y = 0 ?

,所以 n = ( 3, 2, 3) .

……………………………… 7 分

显然, EP ⊥ 平面 SAD ,所以 PE 为平面 SAD 的一个法向量, 所以 m = (0,1, 0) 为平面 SAD 的一个法向量.……………………………………… 9 分 所以 cos < n, m >=
2 2 2 = 1 , 2

所以二面角 C ? SA ? D 的大小为

π
3



………………………………………… 13 分

8

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 a = 1 时, f ( x ) = ln( x + 1) + 则 f ′( x) =

1? x , 1+ x

1 ?2 + . x + 1 (1 + x) 2

………………………………………………… 2 分

所以 f ′(1) = 0 .又 f (1) = ln 2 ,因此所求的切线方程为 y = ln 2 . ………… 4 分 (Ⅱ) f ′( x) =

a ?2 ax 2 + a ? 2 + = . ax + 1 (1 + x) 2 (ax + 1)(1 + x)2

………………………… 5 分

(1) a ? 2 ≥ 0 , a ≥ 2 时, 当 即 因为 x ≥ 0 , 所以 f ′( x ) > 0 , 所以函数 f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 上单调递增. ………………………………………………………………… 6 分 (2)当 a ? 2 < 0 ,即 0 < a < 2 时,令 f ′( x ) = 0 ,则 ax + a ? 2 = 0 ( x ≥ 0 ) ,
2

所以 x =

2?a . a 2?a 2?a ) 时, f ′( x) < 0 ,当 x ∈ ( , +∞) 时, f ′( x) > 0 . a a 2?a , +∞) ,函数 f ( x) 的单调递减区间为 a

因此,当 x ∈ [0,

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (

[0,

2?a ). a

………………………………………………………………… 10 分

(Ⅲ) a ≥ 2 时, 当 函数 f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 上单调递增, f ( x ) 的最小值为 f (0) = 1 , 则 满足题意. ………………………………………………………………… 11 分

当 0 < a < 2 时, (Ⅱ) 由 知函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (

2?a , +∞) , 函数 f ( x ) a

的单调递减区间为 [0, 合题意.

2?a 2?a ) ,则 f ( x) 的最小值为 f ( ) ,而 f (0) = 1 ,不 a a

所以 a 的取值范围是 [ 2, +∞ ) . ………………………………………………… 13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题得过两点 A(4, 0) , B (0, 2) 直线 l 的方程为 x + 2 y ? 4 = 0 .………… 1 分

9

因为

c 1 = ,所以 a = 2c , b = 3c . a 2

设椭圆方程为

x2 y2 + 2 =1, 4c 2 3c

? x + 2 y ? 4 = 0, ? 2 2 由 ? x2 消去 x 得, 4 y ? 12 y + 12 ? 3c = 0 . y2 ? 2 + 2 = 1, ? 4c 3c
又因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 ? = 122 ? 4 × 4(12 ? 3c 2 ) = 0 ,解得 c = 1 .
2

所以椭圆方程为

x2 y 2 + = 1. 4 3

……………………………………………… 5 分

(Ⅱ)易知直线 m 的斜率存在,设直线 m 的方程为 y = k ( x ? 4) ,…………………… 6 分

? y = k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 消去 y ,整理得 (3 + 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x + 64k 2 ? 12 = 0 . ………… 7 分 = 1, ? + 3 ? 4
由题意知 ? = (32k 2 ) 2 ? 4(3 + 4k 2 )(64k 2 ? 12) > 0 , 解得 ?

1 1 <k< . 2 2

……………………………………………………………… 8 分

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 =

32k 2 64k 2 ? 12 x1 x2 = . , 3 + 4k 2 3 + 4k 2

…… 9 分

又直线 l : x + 2 y ? 4 = 0 与椭圆 C :

x2 y2 + = 1 相切, 4 3

? x + 2 y ? 4 = 0, 3 3 ? 由 ? x2 y 2 解得 x = 1, y = ,所以 P (1, ) . ……………………………10 分 2 2 + = 1, ? 3 ? 4
则 AP =
2

45 36 45 81 . 所以 AM ? AN = × = . 4 35 4 7

又 AM ? AN =

(4 ? x1 ) 2 + y12 ? (4 ? x2 )2 + y2 2

= (4 ? x1 )2 + k 2 (4 ? x1 ) 2 ? (4 ? x2 ) 2 + k 2 (4 ? x2 ) 2
= (k 2 + 1)(4 ? x1 )(4 ? x2 ) = (k 2 + 1)( x1 x2 ? 4( x1 + x2 ) + 16)

10

= (k 2 + 1)(
= (k 2 + 1)
所以 (k + 1)
2

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4× + 16) 3 + 4k 2 3 + 4k 2

36 . 3 + 4k 2
…………………… 13 分

36 81 2 = ,解得 k = ± .经检验成立. 2 3 + 4k 7 4

所以直线 m 的方程为 y = ± (20) (本小题满分 14 分)

2 ( x ? 4) . 4

…………………………………… 14 分

(Ⅰ)解:因为 a1 + b1 = 0 ,所以 a 2 = a1 = ?1 , b2 =

a1 + b1 = 0. 2

因为 a 2 + b2 = ?1 < 0 ,所以 a 3 = 因为 a3 + b3 = ?

a 2 + b2 1 = ? , b3 = b2 = 0 . 2 2

a +b 1 1 < 0 ,所以 a4 = 3 3 = ? , b4 = b3 = 0 . 2 2 4 1 1 所以 a1 = ?1, a2 = ?1, a3 = ? , a4 = ? . …………………………………… 2 分 2 4
由此猜想,当 k ≥ 2 时, a k ?1 + bk ?1 < 0 ,则 a k = 下面用数学归纳法证明: ①当 k = 2 时,已证成立. ②假设当 k = l ( l ∈ N ,且 l ≥ 2 )猜想成立, 即 al ?1 + bl ?1 < 0 , bl = bl ?1 = 0 , al = 当 k = l + 1 时 , 由 al =
?

a k ?1 + bk ?1 a k ?1 = , bk = bk ?1 = 0 .… 3 分 2 2

al ?1 <0. 2

al +1 =

al + b l al = <0. 2 2
n?2

al ?1 < 0 , bl = bl ?1 = 0 得 al + bl < 0 , 则 bl = bl +1 = 0 , 2

综上所述,猜想成立.

?1? 所以 an = a2 × ? ? ?2?
? ?1 ? 故 an = ? 1 ?? 2n ? 2 ?

?1? = ?1 ? ? ? ?2?

n?2

=?

1 2
n?2

(n ≥ 2) .

n = 1, n ≥ 2.
. ……………………………………………… 6 分

(Ⅱ)解:当 2 ≤ k ≤ s 时,假设 ak ?1 + bk ?1 < 0 ,根据已知条件则有 bk = bk ?1 ,
11

与 b1 > b2 > ? > bs 矛盾,因此 ak ?1 + bk ?1 < 0 不成立, 所以有 ak ?1 + bk ?1 ≥ 0 ,从而有 ak = ak ?1 ,所以 ak = a1 . 当 a k ?1 + bk ?1 ≥ 0 时, a k = a k ?1 , bk = 所以 bk ? ak =

…………… 7 分

a k ?1 + bk ?1 , 2
…………………… 8 分

ak ?1 + bk ?1 1 ? ak ?1 = (bk ?1 ? ak ?1 ) ; 2 2 1 当 2 ≤ k ≤ s 时,总有 bk ? ak = (bk ?1 ? ak ?1 ) 成立. 2
又 b1 ? a1 ≠ 0 ,

所 以 数 列 {bk ? ak } ( k = 1,2,?, s ) 是 首 项 为 b1 ? a1 , 公 比 为

1 的等比数列, 2

?1? bk ? ak = (b1 ? a1 )? ? ?2?

k ?1

, k = 1, 2,? , s ,
k ?1

?1? 又因为 ak = a1 ,所以 bk = (b1 ? a1 )? ? ?2?
(Ⅲ)证明:由题意得 cn +1 = ?

+ a1 .

…………………………… 10 分

22 ? m 2 cn + cn mam

=
因为 cn +1 =

1 2 cn + cn . m

1 2 1 cn + cn ,所以 cn +1 ? cn = cn 2 > 0 . m m
…………………………………… 11 分

所以数列 {cn } 是单调递增数列. 因此要证 c n < 1( n ≤ m) ,只须证 c m < 1 . 由 m ≥ 2 ,则 c n +1 =

1 2 1 1 1 1 c n + c n < c n c n +1 + c n ,即 ? > ? .…… 12 分 m m cn +1 cn m

因此

1 1 1 1 1 1 1 1 =( ? )+( ? ) +?+ ( ? ) + cm c m c m?1 c m ?1 c m ? 2 c 2 c1 c1 >?

m ?1 m +1 +2= . m m m 所以 cm < <1. m +1
故当 n ≤ m ,恒有 c n < 1 . …………………………………………………14 分

12


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