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2015-2016学年 2.1.2《相等向量与共线向量》课件


2.1.2相等向量与共线向量

向量的概念是从生活实例和物理素材中抽象出来的,如物理学中的位 移、力、速度等概念,其几何背景是有向线段,虽然是抽象的形式符号, 教学时依然可以用位移、力等物理量为背景,理解上并不困难.因此本课从 “猫能否追到老鼠”和美伊战争导弹成否击中目标引出物理学中的矢量. 通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程,正向思考与逆向思考 相结合,使学生逐步理解概念,克服思维的负迁移.教学时要注意把握概念 的物理意义,理解有关概念的实际背景,有助于学生认同新概念的合理性.

而相等向量、共线向量等概念可以让学生在对向量的两要素(大小、方向
)的认识中结合具体案例主动构建,让学生自己得出的概念比简单的告诉 印象要深刻得多.总之,为了加深学生对向量内涵的理解,应精心选例设问

,引导学生的思考置疑.

掌握相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、 相等向量和共线向量.通过对向量的学习,使学生初步认识现 实生活中的向量和数量的本质区别通过学生对向量与数量的 . 识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

1.向量与数量有什么联系和区别?向量有哪几种表示?
联系:向量与数量都是有大小的量; 区别:向量有方向且不能比较大小,数量无方向且能比较大小. 向量可以用有向线段表示,也可以用字母符号表示.

2.什么叫向量的模?零向量和单位向量分别是什么概念? 向量的模:表示向量的有向线段的长度.. 零向量:模为0的向量.

单位向量:模为1个单位长度的向量.
3.引进向量概念后,我们就要建立相关的理论体系,为 了研究的需要,我们必须对向量中的某些现象作出合理的约 定或解释,特别是两个向量的相互关系.

一.相等向量与相反向量
思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b,就其模 等与不等,方向同与不同而言,有哪几种可能情形? 模相等,方向相同; 模相等,方向不相同; 模不相等,方向相同; 模不相等,方向不相同;

思考2:两个向量不能比较大小,只有“相等”与“不相等”

的区别,你认为如何规定两个向量相等?

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量a与b相等记作a=b.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 思考3:用有向线段表示非零向量 AB 和 CD ,如果 AB ? CD ,

那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形?

A

B

C D

D

C
A B

??? ? ??? ? ???? ???? 思考4:对于非零向量 AB 和 CD ,如果 AB ? CD ,通过平
移使起点A与C重合,那么终点B与D的位置关系如何? B A D C

??? ? ??? ? 思考5:非零向量 AB 与 BA 称为相反向量,一般地,如何
定义相反向量?
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.

??? ? ??? ? 思考6:如果非零向量 AB 与 CD 是相反向量,通过平移使
起点A与C重合,那么终点B与D的位置关系如何?

A B C

D

二.平行向量与共线向量
思考1:如果两个向量所在的直线互相平行,那么这两个向量 的方向有什么关系? 方向相同或相反 思考2:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a与 b平行记作a//b,那么平行向量所在的直线一定互相平行吗?

思考3:零向量0与向量a平行吗?
规定:零向量与任一向量平行.

思考4:将向量平移,不会改变其长度和方向.如图,设a、b、 c是一组平行向量,任作一条与向量a所在直线平行的直线l, uuu r uuu r uuu r 在l上任取一点O,分别作 OA =a,OB =b,OC =c,那么点

A、B、C的位置关系如何?

a b c B O C A l

思考5:上述分析表明,任一组平行向量都可以移动到同一

直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.如果非零向量

??? ? ???? AB 与 CD 是共线向量,那么点A、B、C、D是否一定共线?

思考6:若向量a与b平行(或共线),则向量a与b相等或相 反吗?反之,若向量 a与b相等或相反,则向量a与b平行 (或共线)吗?

思考7:对于向量a、b、c, 若a // b, b // c,那么a // c吗? 思考8:对于向量a、b、c,

若a =b, b =c,那么a = c吗?

小结:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1) 向量a与b相等,记作a=b; (2) 零向量与零向量相等; (3) 任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表 示,并且与有向线段的起点无关.

a b c

共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,因为任一组平行向量都可移到同 一直线上(与有向线段的起点无关).

说明: (1) 平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位
置关系; (2) 共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线 段的位置关系.

例1. 如图,设O是正六边形 ABCDEF的中心,分别写出

B O C

A

图中与向量 OA、OB、OC
相等的向量.

F E

D

例1. 如图,设O是正六边形
ABCDEF的中心,分别写出 图中与向量 OA、OB、OC 相等的向量.

B C D O

A F E

变式一:与向量 OA 长度相等的向量有多少个? 变式二:是否存在与 OA 向量长度相等、方向相反的向量? 变式三:与向量 OA 共线的向量有哪些?

例2. 判断: (1) 不相等的向量是否一定不平行?

(2) 与零向量相等的向量必定是什么向量?

(3) 两个非零向量相等的条件是什么?

(4) 共线向量一定在同一直线上吗?

例2. 判断: (1) 不相等的向量是否一定不平行? 不一定

(2) 与零向量相等的向量必定是什么向量? 零向量 (3) 两个非零向量相等的条件是什么? 长度相等且方向相同 (4) 共线向量一定在同一直线上吗? 不一定

例3. 下列命题正确的是 ( C ) A. a与b共线,b与c共线,则a与c也共线? B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点 是一平行四边形的四顶点? C. 向量a与b不共线,则a与b都是非零向量? D. 有相同起点的两个非零向量不平行

练习
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则A、B、 C、D四点必在一直线上; ②单位向量都相等;

③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当 AB ? DC . ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0; ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 2.教材P.77练习第4题.

3. 判断下列命题是否正确:
(1)若两个单位向量共线,则这两个向量相等; ( (2)不相等的两个向量一定不共线; (

×) ×)

(3)在四边形ABCD中,若向量与共线,则该四边形是梯形;
( (4)对于不同三点O、A、B,向量与一定不共线. (

×)
×)

1. 描述向量的两个指标:模和方向. 2.平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3. 共线向量与平行向量的关系、相等向量.

1.阅读教材P.74-P.76.

敬请指导
.


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