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2015年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)解析


2015 年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)
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一、选择题:本大题共 8 小题,每小题是 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求.

1. (5 分) (2015?温州二模)下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是 ( ) A. y=﹣ B.y=2x C.y=log2x D.y=2x

2. (5 分) (2015?温州二模)命题“任意的 x∈R,都有 x ≥0 成立”的否定是( A.任意的 x∈R,都有 x ≤0 成立 2 B. 任意的 x∈R,都有 x <0 成立 C. 存在 x ∈R,使得 x ≤0 成立
0 2

2



D.存在 x ∈R,使得 x 0

<0 成立

3. (5 分) (2015?温州二模)要得到函数 y= y=2sin2x 的图象( ) A. 向左平移 个单位 C. 向左平移 个单位 B.

sin2x+cos2x 的图象,只需将函数

向右平移

个单位 个单位

D. 向右平移

4. (5 分) (2015?温州二模)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几 何体的体积是( )

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A.(18π﹣20) cm cm
2 3

B.(24π﹣20)cm3

C.(18π﹣28)cm23 D.(24π﹣28)cm3

5. (5 分) (2015?温州二模)若实数 x,y 满足不等式组

,且 z=y﹣2x

的最小值等于﹣2,则实数 m 的值等于( A.﹣1 B.1

) C.﹣2

D.2 ,则方程 f[f(x)]=2

6. (5 分) (2015?温州二模)已知 f(x)= 的根的个数是( A.3 个 ) B.4 个

C.5 个

D.6 个

7. (5 分) (2015?温州二模)在△ ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心, 且 =5,则△ ABC 的形状是( ) B. 钝角三角形 D.上述三种情况都有可能 =1(a>0,b>

A.锐角三角形 C. 直角三角形

8. (5 分) (2015?温州二模)如图所示,A,B,C 是双曲线

0)上的三个点,AB 经过原点 O,AC 经过右焦点 F,若 BF⊥ AC 且|BF|=|CF|,则该双曲线的 离心率是( )

A.

B.

C.

D.3

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 6 分,共 36 分.

9. (6 分) (2015?温州二模)集合 A={0,|x|},B={1,0,﹣1},若 A?B,则 A∩ B= ,A∪ B= ,CBA= .

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10. (6 分) (2015?温州二模)设两直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m 与 l2:2x+(5+m) y=8,若 l1∥ l2,则 m= ,若 l1⊥ l2,则 m= .

11. (6 分) (2015?温州二模)已知 ABCD 为正六边形,若向量 则| |= ; = . (用坐标表示)



12. (6 分) (2015?温州二模)设数列{ 则 d= ;a12= .

}是公差为 d 的等差数列,若 a3=2,a9=12,

13. (4 分) (2015?温州二模)设抛物线 y =4x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点(在 第一象限内) ,若以 PF 为直径的圆的圆心在直线 x+y=2 上,则此圆的半径为
2 2

2



14. (4 分) (2015?温州二模)若实数 x,y 满足 4x +2x+y +y=0,则 2x+y 的范围 是 .

15. (4 分) (2015?温州二模) 如图所示的一块长方体木料中, 已知 AB=BC=4, AA1=1, 设 E 为底面 ABCD 的中心,且 面积的最小值为 . (0≤λ≤ ) ,则该长方体中经过点 A1、E、F 的截面

三、解答题:本大题共 5 小体,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (15 分) (2015?温州二模)已知函数 f(x)=cos2x﹣8sin (Ⅰ )求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ )求函数 y=f(2x﹣ )在 x 上的值域.
4



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17. (15 分) (2015?温州二模)如图所示,在三棱锥 D﹣ABC 中,AB=BC=CD=1, AC= ,平面 ACD⊥ 平面 ABC,∠ BCD=90°. (Ⅰ )求证:CD⊥ 平面 ABC; (Ⅱ )求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

18. (15 分) (2015?温州二模)如图所示,椭圆 C: AB:y= x+1 相切于点 A.

=1(a>b>0)与直线

(1)求 a,b 满足的关系式,并用 a,b 表示点 A 的坐标; (2)设 F 是椭圆的右焦点,若△ AFB 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形,求椭圆 C 的标 准方程.

19. (15 分) (2015?温州二模)已知函数 f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a. (1)若 f(x)在区间[0,1]上不单调,求 a 的取值范围; (2)若对于任意的 a∈(0,4) ,存在 x0∈[0,2],使得|f(x0)|≥t,求 t 的取值范围.

2

20. (14 分) (2015?温州二模)已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且 an+1=2an+3an﹣1 (n≥2,n∈N ) . + (Ⅰ )设 bn=an+1+an(n∈N ) ,求证{bn}是等比数列; (Ⅱ ) (i)求数列{an}的通项公式; (ii)求证:对于任意 n∈N 都有
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+ +

成立.

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2015 年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题是 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1. (5 分) (2015?温州二模)下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是( ) x A. B.y=2x C.y=log2x D.y=2 y=﹣

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据反比例函数单调性,奇函数的定义,一次函数的单调性,对数函数和指数函数的 奇偶性即可找到正确选项. 解答: 解:反比例函数 y= 在其定义域上没有单调性;
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一次函数 y=2x 时奇函数,且在其定义域上为增函数,∴ B 正确; 根据对数函数 y=log2x,和指数函数 y=2 的图象知,这两函数都不是奇函数. 故选:B. 点评: 考查反比例函数、一次函数的单调性,一次函数、对数函数,以及指数函数的奇偶性, 知道奇函数图象的特点. 2. (5 分) (2015?温州二模)命题“任意的 x∈R,都有 x ≥0 成立”的否定是( 2 A.任意的 x∈R,都有 x ≤0 成立 B. 任意的 x∈R,都有 x2<0 成立 C. 存在 x ∈R,使得 x ≤0 成立
0 2 x



D.存在 x ∈R,使得 x 0

<0 成立

考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 2 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“任意的 x∈R,都有 x ≥0 成立”的否
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定是:存在 x0∈R,使得 x

<0 成立.

故选:D. 点评: 本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 3. (5 分) (2015?温州二模)要得到函数 y= 的图象( ) sin2x+cos2x 的图象,只需将函数 y=2sin2x

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A. 向左平移 C. 向左平移

个单位 个单位

B.

向右平移

个单位 个单位

D. 向右平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用两角和的正弦公式, 化简函数 y= sin2x+cos2x 的解析式, 再利用 y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:函数 y= sin2x+cos2x=2sin(2x+ )=2sin2(x+ ) ,
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故把函数 y=2sin2x 的图象向左平移

个单位,可得函数 y=

sin2x+cos2x 的图象,

故选:C. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 4. (5 分) (2015?温州二模)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体 积是( )

A.(18π﹣20) cm cm
2 3

B.(24π﹣20)cm3

C.(18π﹣28)cm23 D.(24π﹣28)cm3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 首先根据三视图把几何体的复原图展示出来,进一步利用体积公式求出结果. 解答: 解:根据三视图得知:该几何体是在一个圆柱中去除一个四棱台, 首先求出圆柱的底面半径 , 所以该几何体的体积是:
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V 圆柱﹣V 四棱台=

=24π﹣28

故选:D 点评: 本题考查的知识要点:三视图的应用,利用几何体的体积公式求几何体的体积.主要 考查学生的空间想象能力和应用能力.

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5. (5 分) (2015?温州二模)若实数 x,y 满足不等式组

,且 z=y﹣2x 的最小

值等于﹣2,则实数 m 的值等于( A.﹣1 B.1

) C.﹣2 D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z=y﹣2x 的最小值等于﹣2,结合数形结合即可 得到结论. 解答: 解:由 z=y﹣2x,得 y=2x+z, 作出不等式对应的可行域, 平移直线 y=2x+z, 由平移可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时, 直线 y=2x+z 的截距最小,此时 z 取得最小值为﹣2,即 y﹣2x=﹣2,
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,解得



即 A(1,0) , 点 A 也在直线 x+y+m=0 上, 则 m=﹣1, 故选:A

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法.

6. (5 分) (2015?温州二模)已知 f(x)= 的个数是( A.3 个 ) B.4 个 C.5 个
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,则方程 f[f(x)]=2 的根

D.6 个

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,根据分段函数分段讨论根的可能性,从而求 f(x) ,再由 f(x)求 x 即可. 解答: 解:由题意,
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当 f(x)≤0 时,f[f(x)]=2 无解;

f(x)

=2,

当 f(x)>0 时,f[f(x)]=|log2f(x)|=2; 故 f(x)= 或 f(x)=4, 若 f(x)= ,则同上可得, 2 = ,|log2x|= ; 故 x=﹣2 或 x= 2 =4,|log2x|=4; 故 x=2(舍去)或 x=16 或 x= ;
x x

或 x=



若 f(x)=4,则同上可得,

故共有 5 个根; 故选:C. 点评: 本题考查了分段函数的应用及方程根的个数问题,属于基础题.

7. (5 分) (2015?温州二模) 在△ ABC 中, BC=5, G, O 分别为△ ABC 的重心和外心, 且 则△ ABC 的形状是( A.锐角三角形 C. 直角三角形 ) B. 钝角三角形 D.上述三种情况都有可能

=5,

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形;平面向量及应用. 分析: 在△ ABC 中,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,取 BC 的中点为 D,连接 AD、OD、 GD,运用重心和外心的性质,运用向量的三角形法则和中点的向量形式,以及向量
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的平方即为模的平方,可得 | | +|
2 2

,又 BC=5,则有|

| =|

2

|+ |

2

|>

2

| ,运用余弦定理即可判断三角形的形状.

解答: 解:在△ ABC 中,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心, 取 BC 的中点为 D,连接 AD、OD、GD,如图: 则 OD⊥ BC,GD= AD, ∵ , ,
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由 则( =﹣ 即﹣ 则

=5, ) = ? =5, )=5,

?( ,

又 BC=5, 则有| | =|
2

|+ |

2

| >|

2

| +|

2

|,

2

由余弦定理可得 cosC<0, 即有 C 为钝角. 则三角形 ABC 为钝角三角形. 故选:B.

点评: 本题考查向量的数量积的性质和运用, 主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为 模的平方,运用余弦定理判断三角形的形状是解题的关键.

8. (5 分) (2015?温州二模)如图所示,A,B,C 是双曲线

=1(a>0,b>0)上的

三个点,AB 经过原点 O,AC 经过右焦点 F,若 BF⊥ AC 且|BF|=|CF|,则该双曲线的离心率 是( )

A.

B.

C.

D.3

考点: 双曲线的简单性质.

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专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半,求得 A 的坐标,由对称得 B 的坐标, 由于 BF⊥ AC 且|BF|=|CF|, 求得 C 的坐标,代入双曲线方程,结合 a,b,c 的关系和离心率公式,化简整理成离 心率 e 的方程,代入选项即可得到答案. 解答: 解:由题意可得在直角三角形 ABF 中, OF 为斜边 AB 上的中线,即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c, 2 2 2 设 A(m,n) ,则 m +n =c , 又 ﹣ =1,

解得 m=

,n=



即有 A(



) ,B(﹣

,﹣

) ,

又 F(c,0) , 由于 BF⊥ AC 且|BF|=|CF|, 可设 C(x,y) ,即有 ? =﹣1,

又(c+

) +(

2

) =(x﹣c) +y ,

2

2

2

可得 x=

,y=﹣



将 C(

,﹣

)代入双曲线方程,可得


2 2 3

=1, (b ﹣a )=a ,

化简可得
2 2 2

由 b =c ﹣a ,e= , 可得(2e ﹣1) (e ﹣2) =1, 对照选项,代入检验可得 e= 成立.
2 2 2

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的 a,b,c 的关系和离心率的求法,
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注意运用点在双曲线上满足方程,同时注意选择题的解法:代入检验,属于难题. 二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 6 分,共 36 分. 9. (6 分) (2015?温州二模)集合 A={0,|x|},B={1,0,﹣1},若 A?B,则 A∩ B= {0, 1} ,A∪ B= {﹣1,0,1} ,CBA= {﹣1} .

考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A,B,以及 A 为 B 的子集确定出 x 的值,进而确定出 A,求出 A 与 B 的交集, 并集,以及 A 的补集即可. 解答: 解:∵ A={0,|x|},B={1,0,﹣1},且 A?B, ∴ |x|=1,即 A={0,1}, 则 A∩ B={0,1},A∪ B={﹣1,0,1},?BA={﹣1}. 故答案为:{0,1};{﹣1,0,1};{﹣1} 点评: 此题考查了交集及其运算, 以及并集及其运算, 熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
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10. (6 分) (2015?温州二模)设两直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m 与 l2:2x+(5+m)y=8,若 l1∥ l2,则 m= ﹣7 ,若 l1⊥ l2,则 m= ﹣ .

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的平行和垂直关系分别可得 m 的方程,解方程验证可得. 解答: 解:∵ 两直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m 与 l2:2x+(5+m)y=8, ∴ 若 l1∥ l2,则(3+m) (5+m)﹣4×2=0, 解得 m=﹣1 或 m=﹣7,当 m=﹣1 时两直线重合应舍去, ∴ m=﹣7 若 l1⊥ l2,则 2(3+m)+4(5+m)=0, 解得 m=﹣ 故答案为:﹣7;﹣ 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系,属基础题.

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11. (6 分) (2015?温州二模)已知 ABCD 为正六边形,若向量 | |= ; = . (用坐标表示)

,则

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 画出图形,利用向量的坐标运算,求解即可.
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解答: 解:ABCD 为正六边形,若向量 如图:A(0,0) ,B E ,F(0,2) . | = 故答案为: ; |=|(0,﹣2)﹣ + . = ,C |=

, ,D =2 . , .

点评: 本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.

12. (6 分) (2015?温州二模)设数列{ ;a12= 20 .

}是公差为 d 的等差数列,若 a3=2,a9=12,则 d=

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由数列{ }是公差为 d 的等差数列,结合已知列式求得公差,再代入等差数列的通
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项公式求 a12. 解答: 解:∵ 数列{ }是公差为 d 的等差数列,且 a3=2,a9=12, 则 ∴ ,即 ,解得:d= ,

,即 a12=20.

故答案为: ;20. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础的计算题. 13. (4 分) (2015?温州二模)设抛物线 y =4x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点(在第一象限 内) ,若以 PF 为直径的圆的圆心在直线 x+y=2 上,则此圆的半径为 1 . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
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2

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分析: 由抛物线的方程求出焦点坐标,设出 P 的坐标,利用中点坐标公式求 PF 的中点,把 中点坐标代入直线 x+y=2 求得 P 的坐标,再由两点间的距离公式求圆的半径. 解答: 解:如图,

由抛物线 y =4x,得其焦点 F(1,0) ,

2

设 P(

) (y0>0) ,则 PF 的中点为(

)=(

) ,

由题意可知,点(

)在直线 x+y=2 上,

∴ ∴ P(1,2) , 则圆的半径为

,解得:y0=2.



故答案为:1. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用,平面解析式的基础知识.考查了考生对基础知识的综 合运用和知识迁移的能力,是中档题. 14. (4 分) (2015?温州二模)若实数 x,y 满足 4x +2x+y +y=0,则 2x+y 的范围是 0] . 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 配方并三角换元可得 2x+y=
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2

2

[﹣2,

cosθ﹣ +

sinθ﹣ ,由三角函数的值域求解方法可

得. 解答: 2 2 解:把已知式子配方可得(2x+ ) +(y+ ) = ,

第 14 页(共 23 页)



,∴



∴ 2x+y=

cosθ﹣ +

sinθ﹣ =sin(θ+

)﹣1,

∵ ﹣1≤sin(θ+

)≤1,∴ ﹣2≤sin(θ+

)﹣1≤0,

∴ 2x+y 的范围为:[﹣2,0], 故答案为:[﹣2,0]. 点评: 本题考查不等式求式子的取值范围,三角换元是解决问题的关键,属中档题. 15. (4 分) (2015?温州二模)如图所示的一块长方体木料中,已知 AB=BC=4,AA1=1,设 E 为底面 ABCD 的中心,且 积的最小值为 . (0≤λ≤ ) ,则该长方体中经过点 A1、E、F 的截面面

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 当点 F 与点 A 重合时,该长方体中经过点 A1、E、F 的截面面积的最小.此时该截面
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的面积为三角形 AEA1 的面积,根据三角形的面积公式进行解答即可. 解答: 解:∵ AB=BC=4,E 为底面 ABCD 的中心, ∴ AE= ∵ AB=2 .

(0≤λ≤ ) ,

∴ 当点 F 与点 A 重合时,该长方体中经过点 A1、E、F 的截面面积的最小, 此时该截面的面积为三角形 AEA1 的面积,即 AE?AA1= ×2 故答案是: . ×1= .

点评: 本题考查了棱柱的结构特征.本题中的长方体是一直棱柱,所以棱 AA1⊥ 平面 ABCD, 则 AA1⊥ AE.
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三、解答题:本大题共 5 小体,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (15 分) (2015?温州二模)已知函数 f(x)=cos2x﹣8sin (Ⅰ )求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ )求函数 y=f(2x﹣ )在 x 上的值域.
4



考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ )首先对函数的关系式进行恒等变换,把函数的关系式变形成余弦型函数,进一 步求出函数的周期. (Ⅱ )直接利用函数的关系式,再利用函数的定义域求出函数的值域. 解答: 4 解: (Ⅰ )函数 f(x)=cos2x﹣8sin .
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=1﹣2sin x﹣2 =1﹣2sin x﹣2(1﹣cosx) =4cosx﹣3, 所以函数的最小正周期为 2π. (Ⅱ )由于 f(x)=4cosx﹣3, 所以:y=f( 由于: 所以: 则: 则:2 函数的值域为: 点评: 本题考查的知识要点: 三角函数的诱导公式, 利用余弦型函数的关系式求函数的周期, 利用函数的定义域求函数的值域. 17. (15 分) (2015?温州二模)如图所示,在三棱锥 D﹣ABC 中,AB=BC=CD=1,AC= 平面 ACD⊥ 平面 ABC,∠ BCD=90°. (Ⅰ )求证:CD⊥ 平面 ABC; (Ⅱ )求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值. , )=4cos( )﹣3
2 2

2

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考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (I)取 AC 中点 M,连结 BM,过 M 在平面 ACD 上作 MN⊥ AC,通过已知条件可分 别以 MB、 MC、 MN 为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系, 设D (0, y, z) , 利用∠ BCD=90°
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?

=0,可得 D(0,

,1) ,进而 CD⊥ 平面 ABC;

(II)通过题意,直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值即为平面 ABD 的法向量与 的夹角的余弦值的绝对值,计算即可. 解答: 解: (I)取 AC 中点 M,连结 BM,过 M 在平面 ACD 上作 MN⊥ AC, ∵ 平面 ACD⊥ 平面 ABC,∴ MN⊥ 平面 ABC, 又∵ AB=BC,∴ MB⊥ AC, 分别以 MB、MC、MN 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图, 则有 B( ,0,0) ,C(0, 则有 =( , ,0) , , 0) ,设 D(0,y,z) , =(0,y﹣ , ,z) ,

∵ ∠ BCD=90°,∴ ? 又∵ CD=1,∴ D(0,

=0,解得 y= ,1) ,

∴ =(0,0,1) ,故 CD⊥ 平面 ABC; (II)A(0,﹣ 由 =(0, ,0) ,设平面 ABD 的法向量为 =(x,y,z) , =( , ,0) ,

,0) ,



,取 =(

,1,

) ,

又∵ =( ∴ sinθ=|



,0) , |= = .

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点评: 本题考查线面垂直的判定定理,向量的数量积运算,注意解题方法的积累,属于中档 题.

18. (15 分) (2015?温州二模) 如图所示, 椭圆 C:

=1 (a>b>0) 与直线 AB: y= x+1

相切于点 A. (1)求 a,b 满足的关系式,并用 a,b 表示点 A 的坐标; (2)设 F 是椭圆的右焦点,若△ AFB 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形,求椭圆 C 的标 准方程.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 2 2 2 2 分析: (1)直线方程与椭圆方程联立化为(a +4b )x +4a x+4a ﹣4a b =0,由于直线与椭 圆相切,可得△ =0,即可解出切点 A;
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(2) 设 AF 的斜率为 k, 由∠ BAF=45°, 利用“到角公式”可得

=tan45°, 解得 k. 再

利用斜率计算公式可得

=﹣ ,由 BF⊥ AF,可得 kBF=﹣ .得到直线 BF 的

方程,两条直线方程联立可得 B.利用|AF|=|BF|可得方程,联立解得:a ,c,再利用
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2

b =a ﹣c 即可得出. 解答: 解: (1)联立 ,化为(a +4b )x +4a x+4a ﹣4a b =0, (*)
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

∵ 直线与椭圆相切, 4 2 2 2 2 2 ∴ △ =16a ﹣4(a +4b ) (4a ﹣4a b )=0, 2 2 化为 a +4b =4. ∴ 2xA= = =﹣a ,
2 2

解得 xA=﹣ ∴ A(﹣

,∴ yA=
2

=b .

,b ) .

(2)设 AF 的斜率为 k,

由∠ BAF=45°,∴

=tan45°=1,解得 k=





=﹣ ,化为

=

. (*)

∵ BF⊥ AF, ∴ kBF=﹣ =3. ∴ 直线 BF 的方程为:y=3(x﹣c) , 联立 ,

解得 B ∵ |AF|=|BF|, ∴



=



化为
2



与(*)联立解得:a = ,c=1,
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∴ b= .

2

∴ 椭圆 C 的标准方程为:



点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得△ =0、 等腰直角三角形的性质、“到角公式”、相互垂直的直线斜率之间的公式、两点之间的 距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19. (15 分) (2015?温州二模)已知函数 f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a. (1)若 f(x)在区间[0,1]上不单调,求 a 的取值范围; (2)若对于任意的 a∈(0,4) ,存在 x0∈[0,2],使得|f(x0)|≥t,求 t 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求导 f′ (x)=2x+(a﹣4) ,从而可得 f′ (0)?f′ (1)=(a﹣4) (2+a﹣4)<0, 从而解得;
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2

(2)易知 f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a 的对称轴为 x= 在[0, ]上是减函数,在[

2

∈(0,2) ,故函数 f(x)

,2]上是增函数;从而化对于任意的 a∈(0,4) ,

存在 x0∈[0,2],使得|f(x0)|≥t 为 对于任意的 a∈(0,4) ,|f(0)|≥t 或|f(2)|≥t 或|f( {|f(0)|,|f(2)|,|f( |f( )|≥t 有一个成立即可,即

)|}max≥t 即可,再由 f(1)=0 知∴ {|f(0)|,|f(2)|,

)|}max={|f(0)|,|f(2)|}max,从而解得.

2 解答: 解: (1)∵ f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a, ∴ f′ (x)=2x+(a﹣4) , 又∵ f(x)在区间[0,1]上不单调, ∴ f′ (0)?f′ (1) =(a﹣4) (2+a﹣4)<0, 即 2<a<4, 即 a 的取值范围为(2,4) ;

(2)f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a 的对称轴为 x= 又∵ a∈(0,4) ,∴
2

2



∈(0,2) , ]上是减函数,

∴ 函数 f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a 在[0, 在[ ,2]上是增函数,

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故对于任意的 a∈(0,4) ,存在 x0∈[0,2],使得|f(x0)|≥t 可化为 对于任意的 a∈(0,4) ,|f(0)|≥t 或|f(2)|≥t 或|f( 即{|f(0)|,|f(2)|,|f( 又∵ f(1)=0, ∴ {|f(0)|,|f(2)|,|f( )|}max={|f(0)|,|f(2)|}max, )|}max= , )|}max≥t 即可, )|≥t 有一个成立即可,

故{|f(0)|,|f(2)|,|f(



的最小值为 1,

故 1≥t 即可, 故 t 的取值范围为(-∞,1]. 点评: 本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质与应用, 同时考查了恒成立问题与存在 性问题,属于难题. 20. (14 分) (2015?温州二模) 已知数列{an}满足: a1=1, a2=2, 且 an+1=2an+3an﹣( n∈N ) . 1 n≥2, + (Ⅰ )设 bn=an+1+an(n∈N ) ,求证{bn}是等比数列; (Ⅱ ) (i)求数列{an}的通项公式; (ii)求证:对于任意 n∈N 都有
+ +

成立.

考点: 数列的求和;等比关系的确定;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形,进一步的出数列是等比数列. (Ⅱ ) (i)根据(Ⅰ )的结论进一步利用恒等变换,求出数列的通项公式. (ii)首先分奇数和偶数分别写出通项公式,进一步利用放缩法进行证明. + 解答: 证明: (Ⅰ )已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且 an+1=2an+3an﹣1(n≥2,n∈N ) .
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则:an+1+an=3(an+an﹣1) 即: ,

所以:



数列{bn}是等比数列. (Ⅱ ) (i)由于数列{bn}是等比数列. 则: ,
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整理得: 所以: 则: 所以: 是以( )为首项,﹣1 为公比的等比数列.

求得:

(ii)由于:



所以:

则: (1)当 n 为奇数时,



当 n 为偶数时,



所以:

=

…+

所以:n∈k 时,对任意的 k 都有

恒成立.

点评: 本题考查的知识要点:利用定义法证明数列是等比数列,利用构造数列的方法来求数 列的通项公式,放缩法的应用.

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参与本试卷答题和审题的老师有:wkl197822;qiss;caoqz;chenzhenji;maths;lgh;双曲 线;sllwyn;lincy;sxs123;海燕;cst;孙佑中(排名不分先后) 菁优网 2015 年 5 月 18 日

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