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用数学思想方法解高考三角函数题


用数学思想方法解高考三角函数题 摘 要: 三角函数是基本的初等函数之一,它涉及的公式多、变 化多,是初等数学的重点内容.本文通过分析历年高考数学题中出 现的三角函数题, 阐述如何运用数形结合、函数与方程、 等价转换、 分类与整合等基本的教学思想方法解高考函数题. 关键词: 三角函数 高考题 数学思想方法 纵观近几年的高考数学试题不难发现,三角函数问题在每年高考 中都分别有一道考查三角函数基础知识的选择题、填空题和解答 题,分值约占总分的 15%,一般是结合实际,利用三角变换考查三 角函数性质.虽然三角函数涉及的公式多、变换多,但不可否认的 是,在高考中三角函数问题相对简单,较容易得分. 《义务教育数学新课程标准(2011) 》 (以下简称《新课标》 )明确 提出在数学教学中不仅要让学生记住一些数学的基础知识、掌握一 些数学的基本技能,而且要让学生感悟数学的思想,积累数学的经 验和实践经验,培养学生的数学素养.下面我将结合高考数学三角 函数的主要题型,论述数形结合思想、函数与方程思想、等价转换 思想和分类与整合思想在解高考三角函数问题中的运用. 一、数形结合思想 所谓数形结合思想,就是通过数与形的转化,对不易解决的数学 问题借助图形来解决.华罗庚先生说: “数缺形时少直观,形少数时 难入微,数形结合百般好,割裂分家万事非。 ”对数形结合解题技 能进行了精辟论述.通过对三角函数整体章节内容及普通高中新课 程标准(实验)的分析发现,三角函数实际上是平面图形知识和函 数知识的有效结合.因此,学生在解决高考三角函数问题时,首先 要树立数形结合思想,将三角函数看成是平面图形和代数的结合 体,利用“数”的精确性和“形”的直观性,进行三角函数问题的 有效解答. 在高考中,选择题和填空题的特点(即只需写出结果而无需写出 过程) ,为考查数形结合的数学思想提供了方便,能突出考查学生 将复杂的数量关系转化为直观的平面图形的问题解决意识.而高考 解答题要求写出解答过程,需要严谨的推理论证,对数量关系问题 的研究以代数为主,因此在高考解答题中对数形结合思想的考查以 “形”到“数”为主. 例 1: (2012 浙江理科 4)把函数 y=cos2x+1 的图像上所有的点的 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移一个单位 长度,再向下平移一个单位长度,得到的图像是( ) 评定:本题是三角函数的图像变换问题,首先需要回顾一下三角 函数图像变换的规律: (1)平移变换:①沿 x 轴平移,按“左加右 减”法则;②沿轴平移,遵循“上加下减”法则.(2)伸缩变化: ①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(01)为原来的■倍(纵坐标 y 不 变) ;②沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(a>1)或缩短(0 二、函数 与方程思想 函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,分析和 研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数 的图像和性质分析问题、转化问题,从而使问题得以解决;方程思 想是分析数学问题中的变量间的等量关系,从而建立方程或方程组 或者构造方程,通过解方程和方程组,或者运用方程的性质分析问 题、转化问题,使题得以解决.在高考试卷中,三角函数中的最值 问题有时候可转化为函数问题解决. 三、等价转换思想 通过某种变化和手段,变换问题的角度,使较难的三角问题变得 容易解决;在解决数学问题时,要采用等价转换思想,将复杂问题 转化为简单问题,将难解问题转化为容易求解的问题,将未解决问 题转化为已解决问题.三角函数涉及的公式多、变化多,运用等价 转

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