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2007年新知杯上海市高中数学竞赛


2008 年第 6 期

37

竞赛之窗

2007 年新知杯上海市高中数学竞赛
说明 : 解答本试卷不得使用计算器 . 一, 填空题 ( 第 1~4 小题 ,每题 7 分 ,第 5 ~8 小题 ,每题 8 分 ,共 60 分) 1. 方程
x1 - 1 + 2 x2 - 4 + 3 x3 -

9

( 法则 f : P ( m , n) →P′ m , n ) ( m ≥ , n ≥ 0 ) . 若一段曲线在对应法则 f 下对应椭圆的 0

一段弧

x y ≥ , y ≥ ) ,则这段曲线 0 0 2 + 2 = 1( x a b

2

2

的方程是

.

1 ( x + x2 + x 3 ) 2 1 的实数解 ( x1 , x2 , x3 ) = = 2. 如 图 1 , 有 一 条 长度为 1 的线段 EF ,其 端点 E , 在边长为 3 F

6. 已知 f ( n ) = cos .

. 计算 : 4 f ( 1) f ( 3) …f ( 2 n - 1) = .
xn - 1 + xn - 2

π n

7. 已知数列{ x n } 满足
x1 = 0 , x 2 = 1 , x n =

2
2

(n≥). 3 .
2

的正方形 ABCD 的四边 上滑动 . 当 EF 绕 着 正 方形 的 四 边 滑 动 一 周 时 , EF 的中点 M 所形 成的轨迹的长是 . 3. 复数数列{ an }满足

则数列{ x n }的通项公式 x n =
图1

8. 已知 ⊙M : ( x - 1 ) + ( y - 3 ) = 4 , 过 x 轴上的点 P ( a ,0) 存在 ⊙M 的割线 PBA ,使

a1 = 0 , a n = a n - 1 + i ( n ≥ ) . 2
2

则它的前 2 007 项的和为 . 4. 已知 α - l - β 是大小为 45° 的二面 β 角 , C 为二面角内一定点 , 且到半平面 α, β 的距离分别为 2 , , A , 分别是半平面α, 6 B 内 的 动 点 . 则 △ABC 周 长 的 最 小 值 为 . 5. 已知平面直角坐标系中点与点的对应 正项 ( ai i ) 共有 110 + 28 × = 166 个 , 而 2 负项 ( - b ) 共有 110 个 , a1 , a2 , …, am , b1 , b2 , …, bn 均为两两不等的小于 6 的正有理
y i i x

得 PB = PA . 则点 P 的横坐标 a 的取值范围 是 . 二, 解答题 ( 共 60 分) 9. (14 分) 对任意正整数 n ,用 S ( n ) 表示 1 1 1 满足不定方程 + = 的正整数对 ( x , y )
x y n

1 的正整数对有 2 (6 ,3) , ( 4 ,4) , ( 3 ,6) 三个 , 则 S ( 2 ) = 3 ) . 求出 使得 S ( n) = 2 007 的所有正整数 n . 10. ( 14 分) 已知关于 x 的方程 3 2 x sin θ- ( sin θ+ 2) x + 6 x - 4 = 0

的个数 ( 例如 ,满足

1

x

+

1

y

=

数 ( 注意到
2

2 i ≠i - 1 , 因为 i 为偶数 ; 又 2 i +1 i +1
2 2 2

2

2 i 与 i + 1 互质 , i - 1 与 i + 1 互质 , 也是
2 因为 i 为偶数 ; 另外 , i + 1 > 100 , 因为 i ≥ x x x y y y 10) ,从而 , a11 , a22 , …, amm , b11 , b22 , …, bnn 两

两不相等 . 显然 m = 166 , n = 110 满足 "大于 100 且小于 170 , m - n ≥ "另外 , 也容易验 50 . 2 2 2 证 :以上的表示方式都满足 a i + 1 - b1 , a i + 2 " 2 2 2 b2 , …, a i + n - b n ( i = 0 ,1 , …, m - n ) 也 两 两 不相等" . 综上所述 , 以上所构造的 2 008 的表示 式完全符合题目要求 ,且表示式有无限多个 . ( 吴伟朝 广州大学数学与信息科学学 院 ,510006)
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中 等 数 学

有 3 个正实根 . 求
9sin θ- 4sin θ+ 3 (1 + cos θ (2cos θ- 6sin θ- 3sin 2 + 2) ) θ 的最小值 . 11. (16 分) 如图 2 , 2 已知 抛 物 线 y = 2 px ( p > 0) , AB 是 过 焦 点 F 的 弦 . 如 果 AB 与 x 轴所成的角为θ( 0 < θ
2

a4 = - i , a5 = - 1 + i , a6 = - i , ……

u=

可见 ,当 n ≥ 时 , 3 - 1 + i , n 为奇数 ; an = - i, n 为偶数 . 故 S 2 007 = 0 + i + ( - 1 + i) + 1 002[ ( - i) + ( - 1 + i) ] = - 1 003 + 2 i .
4. 10 2. 如图 4 , 分别作 β 点 C 关于平面α, 的对 称 点 P , . 易 Q 证当 A , 分别取直 B β 线 PQ 与 平 面 α, 的 交 点 时 , △ABC 周长最短 ,且这个周 长最小值为 | PQ| = = 10 2.
2 5. y = b 1 -

π ≤ ) ,求 ∠AOB . 2 12. ( 16 分 ) 求满足 图2 如下条件的最小正整 数 n : 在 ⊙O 的圆周上任取 n 个点 A 1 , A 2 ,
2 …, A n ,则在 C n 个 ∠A i OA j ( 1 ≤i < j ≤n ) 中 ,

至少有 2 007 个不超过 120° .

图4

参考答案
一 , ( 2 ,8 ,18) . 1. 方程两边乘以 2 并整理得
x 1 + x2 + x 3 - 2 x1 - 1 - 4 x2 - 4 -

(2 2) 2 + 122 - 2 × 2 × (180° 45° 2 12cos - )
x 2 a

( 0 ≤x ≤a2 ) .

6 (

x3 - 9 = 0. x 1 - 1 - 1) + (
2 2

设曲线方程为 y = f ( x ) ( s ≤x ≤t ) ,则曲
( 线上点 P ( x , f ( x ) ) 对应的点 P′ x ,
2 2

配方得
x 2 - 4 - 2) +
2

f ( x) )

在椭圆的 一 段 弧 上. 故

x y ≥0 , y ≥ ) 0 2 + 2 = 1 ( x a b

( ]

x 3 - 9 - 3) = 0 x2 - 4 - 2 = 0 ,

x1 - 1 - 1 = 0 ,

x3 - 9 - 3 = 0. 解得 x1 = 2 , x2 = 8 , x3 = 18. 2. 8 +π. 如图 3 , 当 E , 在正 F 方形顶点的两旁时 , 点 M 的轨迹是以该顶点为圆 1 1 心 , 为半径的 圆弧 . 其 2 4 他情况是在正方形边上的 一线段 ,长度为 2.

x f ( x) = 1 ( x ≥ , f ( x) ≥ ) , 0 0 2 + 2 a b
2 即 f ( x ) = b 1 -

x 2 a

( 0 ≤x ≤a2 ) .
n 为偶数 ;

n

6.

1 2
n

2

,

图3

1 故轨迹的长为 2 × + 2 × = 8 +π. 4 π 2 3. - 1 003 + 2 i.

由题设可得 a1 = 0 , a2 = i , a3 = - 1 + i ,

1 2 , n 为奇数 . 2 当 k ∈Z + 时 , f ( 2 k - 1) f ( 2 k + 1) (2 k - 1)π ( 2 k + 1)π = cos · cos 4 4 π ( - 1) k 1 π = cos k + cos = . 2 2 2 特别地 ,有 f ( 1) f ( 3) = f ( 5) f ( 7) = …
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2008 年第 6 期

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= f ( 4 k + 1) f ( 4 k + 3) = -

1 . 2
n

= PB · . PA 故 PB = BA
2

故当 n 为偶数时 ,
f (1) f ( 3) …f ( 2 n - 1) =

n- 1

1 2

;

当 n 为奇数时 ,
f (1) f (3) …f (2 n - 1) = n- 1

1 2 2
n- 1

2

cos

(2 n - 1)π 4

二, 由 9.

=

-

1 2

2

cos
n- 1

n- 1

π+

π 4
n

x > n , y > n.

1 . 2 xn - 1 + xn - 2 由 xn = 得 2 1 1 xn + x = xn - 1 + xn - 2 . 2 n- 1 2 1 又 x2 + x = 1 , 故数列 x n 2 1 为常数列 ,每项均为 1 ,即 1 xn + x =1 , 2 n- 1 2 1 2 xn = xn - 1 . 3 2 3 2 2 因 为 x1 = ,所 3 3 2 2 xn 是首项为 , 公比为 3 3 数列 . n- 1 2 2 1 故 xn = . 3 3 2 n- 1 2 2 1 因此 , x n = . 3 3 2 8. 1 - 3 3 ≤a ≤ + 3 3 . 1 圆心 M ( 1 ,3) ,直径 d = 4. 如图 5 , 过点 P , M 作割线 . 由割线定

1 = 2 2 2 7. 3 3

2

( - 1)

2

2 × = 2

1 2

2

.

n- 1

+

1 x 2 n- 1

以, 数 列
1 的等比 2

理得
PM + d

2

·
d

PM -

2

图 5

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令 x = n + a , y = n + b ( a , ∈Z + ) . 则 b 1 1 1 Ζ 2 + = n = ab . n+ a n+ b n 因此 , S ( n ) 等于正整数对 ( a , b ) 的个 2 数 . 从而 , S ( n) 等于 n 的正约数的个数 . α α α 设 n = p11 p22 …pkk , 其中 , p1 , p2 , …, pk 为不同的质数 ,且 α ∈Z + ( 1 ≤i ≤k ) . 则 i …pk k . 2 n 的正约数个数为 (2α + 1) …(2α + 1) . 1 k (2α + 1) …(2α + 1) = 2 007 = 32 × 令 1 223. k k =2 , k =1 , 则 α =1 , 或 1 α = 1 003 1 α = 334 2
n = p1
1

k =2 , k =3 , α = 4 , α =α = 1 , 2 或 1 或 1 α = 111 α = 111. 2 3 1 003 334 故满足条件的 n = p1 或 n = p1 p2 或 4 111 111 n = p1 p2 或 n = p1 p2 p3 . 2 10. 原方程为 ( x - 1) ( x sin θ- 2 x + 4) = 0. 因为原方程有 3 个正实根 ,所以 ,关于 x 2 的二次方程 x sin θ - 2 x + 4 = 0 有 2 个正实 根 ,即 Δ = 4 - 16sin θ≥ , 0 Ζ 1 0 < sin θ≤ . 4 sin θ> 0 2 又 9sin θ- 4sin θ+ 3 2 2 23 ≥ 23 = 9 sin θ+ , 9 9 9 ) θ 0 < (1 - cos θ (2cos θ- 6sin θ- 3sin 2 +2) ) ) ) = 2 ( 1 - cos θ ( 1 + cos θ ( 1 - 3sin θ 2 ) = 2sin θ(1 - 3sin θ 8 3 3 ) = × sin θ× sin θ( 1 - 3sin θ 9 2 2

Ζ PM2 - d = 2 AB 2 ≤ d2 2 4 Ζ | PM | ≤3 d Ζ ( a - 1) 2 + 32 ≤ 2 6 2 Ζ 1 - 3 3 ≤a ≤ + 3 3. 1
1
x

2

+

1

y

=

1

n

( x , , ∈Z + ) 知 y n

2



p2



2



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中 等 数 学

≤8 9

1 3

3

=

8 . 9× 27

23 9 621 则 u≥ = . 8 8 9× 27 2 当 sin θ= 时 ,上式等号成立 . 9 621 故 umin = . 8

不超过 120°所以 , n = 90 . 不满足题意 . 其次 , 当 n = 91 时 , 接下 来 证 明: 至 少 有 2 007 个角不超过 120° . 图7 对圆周上的 91 个点 A 1 , A 2 , …, A 91 , 若 ∠A i OA j > 120° 则 联 结 ,
A i A j ,这样就得到一个图 G. 设图 G 中有 e 条

π 11. 当 0 < θ < 时 , AB 的方程可写成 2
y = tan θ x p

边. 当 ∠A i OA j > 120° ∠A j OA k > 120° , , 时 ∠A i OA k < 120°故图 G 中没有三角形 . , 若 e = 0 ,则有 C91 = 4 095 > 2 007 个角不
2

2

,即
p

x = cot θ y + ·

2

.



π 也成立 . 2 将式 ① 代入抛物线方程得 2 2 y - 2 pcot θ y - p = 0. · p ( cos θ+ 1) p ( cos θ- 1) 则 yA = , yB = . sin θ sin θ 2 ) p (cos θ+ 1) p p (1 + cos θ 故 xA = cot θ · + = , 2 sin θ 2 2sin θ 2 p ( cos θ- 1) xB = . 2 2sin θ 如图 6 , 过点 A , B 分别作 y 轴的垂线 A P , BQ . 则 | A P| tan ∠AOP = | OP| xA 1 + cos θ = = , yA 2sin θ 这个结果对 θ=
xB tan ∠BOQ = - yB
图6

超过 120°命题得证 . , ≥ , 不妨设 A 1 , 2 之间有边相连 , 若e 1 A 因为图中没有三角形 ,所以 ,对于点 A i ( 3 ≤i ≤ ) ,它至多与 A 1 , 2 中的一个有边相连 . 91 A 从而 ,
d ( A 1 ) + d ( A 2 ) ≤ + 2 = 91 , 89

其中 , d ( A ) 表示从 A 处引出的边数 . 又 d ( A 1 ) + d ( A 2 ) + … + d ( A 91 ) = 2 e , 而对图 G 中每一条边的两个顶点 A i , j , 都 A 有 d ( Ai ) + d ( Aj ) ≤ 91. 于是 ,上式对每一条边求和可得 ( d ( A 1 ) ) 2 + ( d ( A 2 ) ) 2 + …+ ( d ( A 91 ) ) 2 ≤ e. 91 由柯西不等式得 2 2 2 91[ ( d ( A1 ) ) + ( d ( A2 ) ) + …+ ( d ( A91 ) ) ]
2 2 ≥[ d ( A 1 ) + d ( A 2 ) …+ d ( A 91 ) ] = 4 e .



4e ≤ ( d ( A1 ) ) 2 + ( d ( A2 ) ) 2 + …+ ( d ( A91 ) ) 2 91

2

=

1 - cos θ . 2sin θ

4 . 3sin θ 故 ∠AOB =π - ( ∠AOP + ∠BOQ ) 4 =π - arctan . 3sin θ 12. 首先 , 当 n = 90 时 , 如图 7 , 设 AB 是 ⊙O 的直径 , 在点 A 和 B 的附近分别取 45 2 个点 ,此时 , 只有 2C45 = 45 ×44 = 1 980 个角

所以 ,tan ( ∠AOP + ∠BOQ ) =

≤ e, 91 2 91 e≤ < 2 071. 4 因此 ,91 个顶点中 ,至少有 2 C91 - 2 071 = 2 024 > 2 007 个点对 ,它们之间没有边相连 . 从而 , 对应的 顶点所对应的角不超过 120° . 综上所述 , n 的最小值为 91. (熊 , 斌 顾鸿达 , 李大元 , 刘鸿坤 , 叶声 扬 命题)
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