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专题复习:八种经典线性规划例题(学生用)


线性规划常见题型及解法
由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 ,并 作 出 可 行 域 ,进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下七类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围
?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 ,

则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 ( 3,5] ( )

二、求可行域的面积
?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 2 、 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?
A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大 ( )

三、求可行域中整点个数
例 3、 满 足 |x|+ |y|≤2 的 点 ( x, y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个 )

四、求线性目标函数中参数的取值范围
?x ? y ? 5 ? 例 4 、已 知 x 、y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 ,使 z =x + a y ( a > 0 ) 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 , ?x ? 3 ?
则 a 的值为( A、 - 3 ) C、 - 1 D、 1

B、 3

五、求非线性目标函数的最值
1

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5 、已 知 x 、y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
A、 13, 1 B、 13, 2 C、 13,

,则 z=x2+y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是(



4 5

D、

13 ,

2 5 5

六、求约束条件中参数的取值范围
例 6、 已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0) 和 ( - 1 ,1 ) 则 m 的取值范围是 A、 ( -3,6) B、 ( 0,6) C、 ( 0,3) D、 ( -3,3) ( )

*七·比值问题
当目标函数形如 z ?

y?a 时,可把 z 看作是动点 P ( x, y ) 与定点 Q (b, a ) 连线的斜率, 这样目标函数的最值就转化 x?b

为 PQ 连线斜率的最值。



?x-y+2≤0, y 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( x ?x+y-7≤0,

).

练习题:
? y?x ? 1.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为_______ ? y ? 3x ? 6 ? ?x ? y ?1 ? 0 ? 2.如果实数 x、y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2 x ? y 的最大值为( ?x ? y ?1 ? 0 ?



? x ? y ? 2 ? 0, ? 3.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是( ?x ? 2 ?



? x ? 2 ? 0, ? 4. 已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的取值范围是( ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?



?3 x ? y ? 6 ? 0 2 3 ? 5.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的是最大值为 12,则 ? 的最小 a b ? x ? 0, y ? 0 ?
值为_______

2

?x ? 0 ?y ? 0 ? 6、在约束条件 ? y ? x ? s 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围( ? ? ? y ? 2x ? 4
A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]



?1 ? x ? y ? 4 7、已知变量 x , y 满足约束条件 ? 。若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得 ? 2 ? x ? y ? 2 ?
最大值,则 a 的取值范围为 。

?5 x ? 11y ? ?22, ? 8、某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, 则 z ? 10 x ? 10 y 的最大值是 ?2 x ? 11. ?
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

3


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