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高考数学常用公式总结


高考数学常用公式
1.德摩根公式 CU ( A ∩ B ) = CU A ∪ CU B; CU ( A ∪ B ) = CU A ∩ CU B . 2. A ∩ B = A A ∪ B = B A B CU B CU A A ∩ CU B = Φ CU A ∪ B = R 3. card ( A ∪ B ) = cardA + cardB card ( A ∩ B )

card ( A ∪ B ∪ C ) = cardA + cardB + cardC card ( A ∩ B ) card ( A ∩ B ) card ( B ∩ C ) card (C ∩ A) + card ( A ∩ B ∩ C ) .
4. 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式
2

① 一 般 式 f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0) ; ②
2

顶 点 式

5.设 x1 x2 ∈ [a, b], x1 ≠ x2 那么

f ( x) = a ( x h) + k (a ≠ 0) ;③零点式 f ( x) = a ( x x1 )( x x2 )(a ≠ 0) .
f ( x1 ) f ( x2 ) > 0 f ( x)在[ a, b ] 上是增函数; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 f ( x)在[ a, b ] 上是减函数. x1 x2

( x1 x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 ) ] > 0 ( x1 x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 ) ] < 0

设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导,如果 f ′( x ) > 0 ,则 f (x ) 为增函数;如果 f ′( x ) < 0 ,则 f (x ) 为减函数. 6. 函 数 y = f ( x) 的 图 象 的 对 称 性 : ① 函 数 y = f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x = a 对 称

f (a + x) = f (a x) f (2a x) = f ( x) . ② 函 数 y = f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x =

f (a + mx) = f (b mx) f (a + b mx) = f (mx) . 7.两个函数图象的对称性:①函数 y = f ( x) 与函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称.②函数 a+b y = f (mx a ) 与函数 y = f (b mx) 的图象关于直线 x = 对称.③函数 y = f ( x ) 和 y = f 1 ( x ) 的图象 2m
关于直线 y=x 对称. 8.分数指数幂 a n =
m

a+b 对称 2

1
n

a

m

( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).

a

m n

=

1
m n

( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).

a 9. log a N = b a b = N ( a > 0, a ≠ 1, N > 0) . log m N n n .推论 log am b = log a b . 10.对数的换底公式 log a N = log m a m
11. an =

n =1 s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn = a1 + a2 + + an ). sn sn 1 , n ≥ 2
*

12.等差数列的通项公式 an = a1 + ( n 1) d = dn + a1 d ( n ∈ N ) ; 其前 n 项和公式 sn =

n(a1 + an ) n(n 1) d 1 = na1 + d = n 2 + (a1 d )n . 2 2 2 2 a1 n 13.等比数列的通项公式 an = a1q n 1 = q ( n ∈ N * ) ; q

14.等比差数列 {an } : an +1 = qan + d , a1 = b( q ≠ 0) 的通项公式为

a1 (1 q n ) a1 an q ,q ≠1 ,q ≠1 其前 n 项的和公式 sn = 1 q 或 sn = 1 q . na , q = 1 na , q = 1 1 1 b + (n 1)d , q = 1 an = bq n + (d b)q n 1 d ; ,q ≠1 q 1

nb + n(n 1)d , q = 1 其前 n 项和公式为 sn = . d 1 qn d (b ) + n, q ≠ 1 1 q q 1 1 q
15.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x =

ab(1 + b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 + b)n 1 sin θ 2 2 16.同角三角函数的基本关系式 sin θ + cos θ = 1 , tan θ = , tan θ cotθ = 1 . cosθ
17.正弦,余弦的诱导公式
n (1) 2 sin α , nπ sin( + α ) = n 1 2 (1) 2 co s α ,

α 为偶数 α 为奇数 α 为偶数 α 为奇数

nπ (1) co s α , co s( + α ) = n +1 2 (1) 2 sin α ,
n 2

18.和角与差角公式

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β ; tan α ± tan β tan(α ± β ) = . 1 tan α tan β

sin(α + β ) sin(α β ) = sin 2 α sin 2 β (平方正弦公式); cos(α + β ) cos(α β ) = cos 2 α sin 2 β .
a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ) (辅助角 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan =
19.二倍角公式

2 tan α . 1 tan 2 α 20.三角函数的周期公式 函数 y = sin(ω x + ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ) ,x∈R(A,ω, 为常数,且 A≠0, 2π π ω>0)的周期 T = ;函数 y = tan(ω x + ) , x ≠ kπ + , k ∈ Z (A,ω, 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 ω 2 cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1 2sin 2 α . tan 2α =
T=

sin 2α = sin α cos α .

b ). a

π . ω

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22.余弦定理 a = b + c 2bc cos A ; b = c + a 2ca cos B ; c = a + b 2ab cos C . 1 1 1 23.面积定理(1) S = aha = bhb = chc ( ha,hb,hc 分别表示 a,b,c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2 1 (3) S OAB = (| OA | | OB |) 2 (OA OB ) 2 . 2
21.正弦定理 24.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

A + B + C = π C = π ( A + B)
25.平面两点间的距离公式

C π A+ B = 2C = 2π 2( A + B ) . 2 2 2

d A, B = | AB |= AB AB = ( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

26.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 b a a b b=λa x 1 y2 x2 y1 = 0 . a ⊥ b(a ≠ 0) ab=0 x 1 x2 + y1 y2 = 0 . b 27.线段的定比分公式 设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P P2 的分点, λ 是实数,且 P P = λ PP2 ,则 1 1 1

x1 + λ x2 x = 1+ λ OP + λ OP2 1 OP = 1 OP = tOP + (1 t )OP2 ( t = ). 1 y1 + λ y2 1+ λ 1+ λ y = 1+ λ
28.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 ), B(x2 ,y2 ), C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ). 3 3 ' x = x' h x = x + h 29.点的平移公式 ' OP ' = OP + PP ' (图形 F 上的任意一点 P(x, y)在平移后图形 ' y = y + k y = y k
坐标是 G (

F ' 上的对应点为 P ' ( x ' , y ' ) ,且 PP ' 的坐标为 (h, k ) ).
30.常用不等式: (1) a, b ∈ R a + b ≥ 2ab (当且仅当 a=b 时取"="号).
2 2

(2) a, b ∈ R +

a+b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取"="号). 2 3 3 3 (3) a + b + c ≥ 3abc ( a > 0, b > 0, c > 0).

(4)柯西不等式 ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ( ac + bd ) 2 , a, b, c, d ∈ R. (5) a b ≤ a + b ≤ a + b 31.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ;

1 2 s . 4 2 32.一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0(或 < 0) ( a ≠ 0, = b 2 4ac > 0) ,如果 a 与 ax + bx + c 同号,则其解集
(2)如果和 x + y 是定值 s ,那么当 x = y 时积 xy 有最大值 在两根之外;如果 a 与 ax + bx + c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
2

x1 < x < x2 ( x x1 )( x x2 ) < 0( x1 < x2 ) ; x < x1 , 或x > x2 ( x x1 )( x x2 ) > 0( x1 < x2 ) .
33.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x < a x 2 < a a < x < a .
2

x > a x2 > a2 x > a 或 x < a .
34.无理不等式(1)

f ( x) ≥ 0 f ( x) > g ( x) g ( x) ≥ 0 . f ( x) > g ( x)

(2)

f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x ) > g ( x) g ( x) ≥ 0 或 . f ( x) > [ g ( x)]2 g ( x) < 0 f ( x) ≥ 0 . f ( x) < g ( x) g ( x) > 0 f ( x) < [ g ( x)]2

(3)

35.指数不等式与对数不等式 (1)当 a > 1 时,

f ( x) > 0 a >a f ( x) > g ( x) ; log a f ( x) > log a g ( x) g ( x) > 0 . f ( x ) > g ( x) (2)当 0 < a < 1 时, f ( x) > 0 f ( x) g (x) a >a f ( x) < g ( x) ; log a f ( x) > log a g ( x) g ( x) > 0 f ( x) < g ( x)
f ( x) g (x)

36.斜率公式 k =

y2 y1 ( P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ). 1 x2 x1

37.直线的四种方程 (1)点斜式 y y1 = k ( x x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y = kx + b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)一般式

y y1 x x1 = ( y1 ≠ y2 )( P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ≠ x2 )). 1 y2 y1 x2 x1 Ax + By + C = 0 (其中 A,B 不同时为 0).

38.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 ① l1 l2 k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ;② l1 ⊥ l2 k1k2 = 1 . (2)若 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 ,且 A1,A2,B1,B2 都不为零,

A1 B1 C1 ;② l1 ⊥ l2 A1 A2 + B1 B2 = 0 ; = ≠ A2 B2 C2 k k1 | .( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 , k1k2 ≠ 1 ) 39.夹角公式 tan α =| 2 1 + k2 k1
① l1 l2

tan α =

A1 B2 A2 B1 ( l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 , A1 A2 + B1 B2 ≠ 0 ). A1 A2 + B1 B2

直线 l1 ⊥ l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 40.点到直线的距离 d = 41. 圆的四种方程

π

2 | Ax0 + By0 + C |
A2 + B 2

.

(点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ).

(1)圆的标准方程 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 . (2)圆的一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 4 F >0). (3)圆的参数方程

x = a + r cos θ . y = b + r sin θ

(4)圆的直径式方程 ( x x1 )( x x2 ) + ( y y1 )( y y2 ) = 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ). 42.椭圆

x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 . 2 a b y = b sin θ

x2 y2 a2 a2 + 2 = 1(a > b > 0) 焦半径公式 PF1 = e( x + ) , PF2 = e( x) . a2 b c c 2 2 x y 44.双曲线 2 2 = 1( a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a b 2 a a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( x) | . c c 2 y 2 45.抛物线 y = 2 px 上的动点可设为 P ( , y ) 或 P (2 pt 2 ,2 pt )或 P ( x , y ) ,其中 y 2 = 2 px . 2p
43.椭圆

46. 二 次 函 数 y = ax + bx + c = a( x +
2

b 2 4ac b2 ) + (a ≠ 0) 的 图 象 是 抛 物 线 :( 1 ) 顶 点 坐 标 为 2a 4a b 4ac b 2 b 4ac b 2 + 1 4ac b 2 1 ( , ); (2)焦点的坐标为 ( , ); (3)准线方程是 y = . 2a 4a 2a 4a 4a

47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

( x1 x2 )2 + ( y1 y2 ) 2 或

AB = (1 + k 2 )( x2 x1 ) 2 =| x1 x2 | 1 + tan 2 α =| y1 y2 | 1 + co t 2 α (弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,由方程
y = kx + b 2 消去 y 得到 ax + bx + c = 0 , > 0 , α 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). F( x , y) = 0
48.圆锥曲线的两类对称问题: (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是

2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2 2 49."四线"一方程 对于一般的二次曲线 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,用 x0 x 代 x ,用 y0 y 代 y 2 , F (x x0 y + xy0 x +x y +y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y + xy0 x +x y +y + Cy0 y + D 0 + E 0 + F = 0 ,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是 Ax0 x + B 0 2 2 2
用 此方程得到. 50.共线向量定理 对空间任意两个向量 a,b(b≠0 ),a‖b 存在实数λ使 a=λb.

51.对空间任一点 O 和不共线的三点 A,B,C,满足 OP = xOA + yOB + zOC , 则四点 P,A,B,C 是共面 x + y + z = 1 . 52. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a,b〉= b

a1b1 + a2b2 + a3b3
2 2 a12 + a2 + a3 b12 + b22 + b32

(a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ). b

53.直线 AB 与平面所成角 β = arc sin

AB m ( m 为平面 α 的法向量). | AB || m | mn mn 或 π arc cos ( m , n 为平面 α , β 的法向量). | m || n | | m || n |

54.二面角 α l β 的平面角 θ = arc cos

55.设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 θ1 ,AB 与 AC 所成的角为 θ 2 , AO 与 AC 所成的角为 θ .则 cos θ = cos θ1 cos θ 2 . 56.若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 θ1 , θ 2 ,与二面角的棱所成的角是 θ,则有 sin sin θ = sin θ1 + sin θ 2 2sin θ1 sin θ 2 cos ;
2 2 2 2

| θ1 θ 2 |≤ ≤ 180 (θ1 + θ 2 ) (当且仅当 θ = 90 时等号成立).
57.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B = | AB |= AB AB = ( x2 x1 )2 + ( y2 y1 ) 2 + ( z2 z1 ) 2 .
58.点 Q 到直线 l 距离 h =

1 (| a || b |) 2 (a b) 2 (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA ,向量 b= PQ ). |a| | CD n | ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C,D 分别是 l1 , l2 上任一点, d 为 |n| | AB n | ( n 为平面 α 的法向量, AB 是经过面 α 的一条斜线, A ∈ α ). |n|

59.异面直线间的距离 d =

l1 , l2 间的距离).
60.点 B 到平面 α 的距离 d =

61.异面直线上两点距离公式 d =

d 2 + m 2 + n 2 2mn cos θ

(两条异面直线 a,b 所成的角为θ,其公垂线段 AA' 的长度为 h.在直线 a,b 上分别取两点 E,F,

A' E = m , AF = n , EF = d ). 2 2 2 2 2 2 2 62. l = l1 + l2 + l3 cos θ1 + cos θ 2 + cos θ 3 = 1
(长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1,l2,l3 , 夹角分别为 θ1,θ 2,θ 3 ) (立几中长 方体对角线长的公式是其特例). 63. 面积射影定理 S =

S' cos θ
'

(平面多边形及其射影的面积分别是 S , S ,它们所在平面所成锐二面角的为 θ ). 64.欧拉定理(欧拉公式) V + F E = 2 (简单多面体的顶点数 V,棱数 E 和面数 F) 65.球的半径是 R,则其体积是 V =

4 3 π R ,其表面积是 S = 4π R 2 . 3 66.分类计数原理(加法原理) N = m1 + m2 + + mn .
67.分步计数原理(乘法原理) N = m1 × m2 × × mn . 68.排列数公式 An = n( n 1) ( n m + 1) =
m

n! * .( n , m ∈N ,且 m ≤ n ). N (n m)! n m m 1 m m + 69.排列恒等式 (1) An = ( n m + 1) An ;(2) An = Anm1 ;(3) Anm = nAn 1 ; (4) nAnn = Ann+11 Ann ; 1 nm m m m 1 (5) An +1 = An + mAn .
70.组合数公式 C n =
m

Anm n(n 1) (n m + 1) n! * = = ( n , m ∈N ,且 m ≤ n ). N m Am 1× 2 × × m m!(n m)!
m n m m m C n = C n m ;(2) C n + C n 1 = C n +1

71.组合数的两个性质(1) 72.组合恒等式(1)Cn =
m

n m + 1 m 1 n n m Cn ;(2)Cnm = Cnm1 ;(3)Cnm = Cn 1 ; 1 m nm m
r n r +1 n +1 .
m m

(4)

∑C
r =0

n

r n

= 2n ;

(5) C + C
r r

r r +1

+C

r r +2

++ C = C
0

73.排列数与组合数的关系是: An = m Cn . ! 74.二项式定理 ( a + b) = C n a + C n a
n n
1

n 1

2 r n b + C n a n 2 b 2 + + C n a nr b r + + C n b n ;

二项展开式的通项公式: Tr +1 = C n a
r

nr

b r (r = 0,2 ,n) . 1,

75.等可能性事件的概率 P ( A) =

m . n

76.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 77. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 78.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2… An)=P(A1) P(A2)… P(An). 80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 Pn ( k ) = Cn P (1 P )
k k nk

.

81.离散型随机变量的分布列的两个性质: (1) Pi ≥ 0(i = 1, 2,) ;(2) P + P2 + = 1 . 1 82.数学期望 Eξ = x1 P + x2 P2 + + xn Pn + 1 (2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Eξ = np . 83.数学期望的性质: (1) E ( aξ + b) = aE (ξ ) + b ; 84.方差 Dξ = ( x1 Eξ ) p1 + ( x2 Eξ ) p2 + + ( xn Eξ ) pn +
2 2 2

85.标准差 σξ = Dξ . 86.方差的性质(1) D (ξ ) = Eξ ( Eξ ) ;(2) D ( aξ + b ) = a Dξ ; (3)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Dξ = np (1 p ) .
2 2 2

1 87.正态分布密度函数 f ( x ) = e 2π 6

( x )2
262

, x ∈ ( ∞, +∞ ) 式中的实数μ, σ ( σ >0)是参数,分别表示个体
2

的平均数与标准差.
x 1 88.标准正态分布密度函数 f ( x ) = e 2 , x ∈ ( ∞, +∞ ) . 2π 6 x 89.对于 N ( , σ 2 ) ,取值小于 x 的概率 F ( x ) = Φ . σ P ( x1 < x0 < x 2 ) = P ( x < x 2 ) P ( x < x1 ) = F ( x2 ) F ( x1 )

x x1 = Φ 2 Φ . σ σ
n n ( xi x )( yi y ) ∑ xi yi nx y ∑ b = i =1 n = i =1n = a + bx ,其中 2 y . ∑ ( xi x ) ∑ xi 2 nx 2 i =1 i =1 a = y bx

90.回归直线方程

91.相关系数

r=

∑ ( x x )( y y )
i =1 i i

n

∑ (x x ) ∑ ( y y )
2

n

n

=
2

∑ ( x x )( y y )
i =1 i i

n

.
n
2 2 2

i =1

i

i =1

i

(∑ xi nx )(∑ yi ny )
2

n

i =1

i =1

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

0 92.特殊数列的极限 (1) lim q = 1 n →∞ 不存在
n

| q |< 1 q =1 | q |< 1或q = 1
(k < t ) (k = t ) . (k > t )
.

0 ak n + ak 1n + + a0 at (2) lim = n →∞ b n t + b n t 1 + + b t t 1 0 bk 不存在
k k 1

(3) S = lim
x → x0

a1 n 1 ( S 无穷等比数列 a1q } ( | q |< 1 )的和). 1 q 1 q 93. lim f ( x) = a lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = a .这是函数极限存在的一个充要条件.
n →∞

a1 1 q n

(

)=

{

x → x0

x → x0

94.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ;(2) lim g ( x) = a, lim h( x) = a (常数),则 lim f ( x) = a .
x → x0 x → x0 x → x0

本定理对于单侧极限和 x → ∞ 的情况仍然成立.

sin x 1 95.两个重要的极限 (1) lim =1; (2) lim 1 + = e (e=2.718281845…). x →0 x →∞ x x 96. f (x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商) f ( x0 + x) f ( x0 ) y = lim . x → 0 x x → 0 x s s (t + t ) s (t ) 97.瞬时速度 υ = s′(t ) = lim = lim . t → 0 t t → 0 t v v(t + t ) v(t ) = lim . 98.瞬时加速度 a = v′(t ) = lim t →0 t t →0 t f ′( x0 ) = y′
x = x0

x

= lim

99. f (x ) 在 (a, b) 的导数 f ′( x ) = y ′ =

dy df y f ( x + x) f ( x) = lim = lim . = x dx dx x →0 x x →0 100.函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数是曲线 y = f ( x) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ′( x0 ) ,相应的切线方程
是 y y0 = f ′( x0 )( x x0 ) .

101.几种常见函数的导数 (1) C ′ = 0 (C 为常数). (2) ( xn ) = nx
' n 1

(n ∈ Q) .

(3) (sin x )′ = cos x . (4) (cos x )′ = sin x .

1 1 e x ; (log a )′ = log a . x x x x x x (6) (e )′ = e ; (a )′ = a ln a .
(5) (ln x)′ = 102.复合函数的求导法则 设函数 u = ( x ) 在点 x 处有导数 u x = ( x ) ,函数 y = f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处
' '

有导数 yu = f (u ) , 则复合函数 y = f ( ( x )) 在点 x 处有导数, y x = yu u x , 且 或写作 f x ( ( x )) = f (u ) ( x ) .
' ' ' ' ' ' ' '

103.可导函数 y = f (x ) 的微分 dy = f ′( x ) dx . 104. a + bi = c + di a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R ) 105.复数 z = a + bi 的模(或绝对值) | z | = | a + bi | = a + b .
2 2

106.复数的四则运算法则 (1) (a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d )i ; (2) (a + bi ) (c + di ) = ( a c ) + (b d )i ; (3) ( a + bi )(c + di ) = ( ac bd ) + (bc + ad )i ; (4) ( a + bi ) ÷ (c + di ) =

ac + bd bc ad + i (c + di ≠ 0) . c2 + d 2 c2 + d 2

107.复平面上的两点间的距离公式 d =| z1 z2 |=

( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2 ( z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i ).

108.向量的垂直 非零复数 z1 = a + bi , z2 = c + di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 ,则

OZ1 ⊥ OZ 2 z1 z2 的实部为零

z2 2 2 2 为纯虚数 | z1 + z2 | =| z1 | + | z2 | z1
2 2

| z1 z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2 | z1 + z2 |=| z1 z2 | ac + bd = 0 z1 = λ iz2 (λ为非零实数).
109. 实 系 数 一 元 二 次 方 程 的 解 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax + bx + c = 0 , ① 若 = b 4ac > 0 , 则

b ± b2 4ac b 2 2 x1,2 = ;②若 = b 4ac = 0 ,则 x1 = x2 = ;③若 = b 4ac < 0 ,它在实数集 R 内没 2a 2a
有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根 x =

b ± (b 2 4ac)i 2 (b 4ac < 0) . 2a

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