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电路5版电子教案(邱关源、罗先觉版)第二章


第2章 电阻电路的等效变换
本章重点
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 引言 电路的等效变换 电阻的串联和并联 电阻的Y形连接和△ 电阻的 形连接和△形连接的等效变换 形连接和 电压源、 电压源、电流源的串联和并联 实际电源的两种模型及其等效变换 输入电阻

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重点: 重点: 电路等效的概念

; 1. 电路等效的概念; 2. 电阻的串、并联; 电阻的串、并联; 电阻的Y— 变换; 变换; 3. 电阻的 电压源和电流源的等效变换; 4. 电压源和电流源的等效变换;

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2.1
电阻电路 分析方法

引言

仅由电源和线性电阻构成的电路 ①欧姆定律和基尔霍夫定律是 分析电阻电路的依据; 分析电阻电路的依据; ②等效变换的方法,也称化简的 等效变换的方法, 方法。 方法。

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2.2 电路的等效变换
1.两端电路(网络) 1.两端电路(网络) 两端电路
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮,且 任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮, 从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流, 从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流, 或一端口网络) 则称这一电路为二端网络 (或一端口网络)。 i i

无 源

无 源 一 端 口
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2.两端电路等效的概念 2.两端电路等效的概念
两个两端电路,端口具有相同的电压、 两个两端电路,端口具有相同的电压、电流 关系,则称它们是等效的电路。 关系,则称它们是等效的电路。

B

i

+ u -

等效

C

i

+ u -

电路中的电流、 对A电路中的电流、电压和功率而言,满足: 电路中的电流 电压和功率而言,满足:

B

A

C
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A
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明确
①电路等效变换的条件: 电路等效变换的条件: 两电路具有相同的VCR; 两电路具有相同的 ②电路等效变换的对象: 电路等效变换的对象: 未变化的外电路A中的电压、电流和功率; 未变化的外电路 中的电压、电流和功率; 中的电压 即对外等效,对内不等效) (即对外等效,对内不等效) 电路等效变换的目的: ③电路等效变换的目的: 化简电路,方便计算。 化简电路,方便计算。

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2.3 电阻的串联和并联
1.电阻串联 1.电阻串联
①电路特点 i R1 + u1 + Rk Rn _ + u _ + un _ k u _

(a) 各电阻顺序连接,流过同一电流 (KCL); 各电阻顺序连接, ; (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。 。

u = u1 + + uk + + un
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②等效电阻 R1 i Rk Rn 等效 i + u _ Re q + u1 _ + u k _ + un _ + u 由欧姆定律 _

u = R1i ++ RKi ++ Rni = (R1 ++ Rn )i = Reqi
Req = R ++ Rk ++ Rn = ∑Rk > Rk 1
k =1 n

结论 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
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③串联电阻的分压

u Rk uk = Rki = Rk = u <u Req Req 电压与电阻成正比, 表明 电压与电阻成正比,因此串联电阻电路
可作分压电路。 可作分压电路。 两个电阻的分压: 例 两个电阻的分压: R R2 1 u1 = u u2 = u R1 + R2 R + R2 1 i + u+ 1 u + u2 _
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R1 R2

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④功率

p1=R1i2, p2=R2i2,…, pn=Rni2 p1: p2 : … : pn= R1 : R2 : … :Rn p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ …+Rni2

总功率

表明

=p1+ p2+…+ pn

①电阻串联时,各电阻消耗的功率与电阻大小 电阻串联时, 成正比; 成正比; ②等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功 率的总和。 率的总和。
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2. 电阻并联
①电路特点 i + u _ R1 i1 R2 i2 Rk ik Rn in

(a)各电阻两端为同一电压(KVL); 各电阻两端为同一电压( 各电阻两端为同一电压 ; (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和 总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 。

i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
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②等效电阻 i + i1 i2 Rk u R1 R2 _ 由KCL:

i ik Rn in 等效 + u _ Req

i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u/Rn =u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=uGeq
Geq = G + G2 ++ Gn = ∑Gk > Gk 1
k =1 n

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结论 等效电导等于并联的各电导之和。 等效电导等于并联的各电导之和。
1 1 1 1 = Geq = + ++ 即 Req < Rk Req R1 R2 Rn
③并联电阻的分流 电流分配与 电导成正比

ik u / Rk Gk = = i u / Req Geq

Gk ik = i Geq

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例 两电阻的分流: 两电阻的分流:
1 R 1 R2 R R2 1 Req = = 1 1 R +1 R2 R + R2 1 1
1R R2i 1 i1 = i= 1 R +1 R2 R + R2 1 1

i R1 i1 i2 R2

1 R2 Ri 1 i2 = i= = (i i1) 1 R +1 R2 R + R2 1 1
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④功率

p1=G1u2, p2=G2u2,…, pn=Gnu2 p1: p2 : … : pn= G1 : G2 : … :Gn p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ …+Gnu2 =p1+ p2+…+ pn
大小成反比; 大小成反比; ②等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消 耗功率的总和
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总功率

电阻并联时, 表明 ①电阻并联时,各电阻消耗的功率与电阻

3.电阻的串并联 3.电阻的串并联
电路中有电阻的串联,又有电阻的并联, 电路中有电阻的串联,又有电阻的并联,这种 连接方式称电阻的串并联。 连接方式称电阻的串并联。

例1 计算图示电路中各支路的电压和电流
i1 5 i2 i3 6 165V 18 i5 4 i4 12 + i1 5 + i2 i3 165V 18

6

9

i1 =165 11 =15A

u2 = 6i1 = 6×15 = 90V
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i1 5 i2 i3 6 165V 18 i5 4 i4 12 +

i2 = 90 18 = 5A
i3 =15 5 =10A
i4 = 30 4 = 7.5A

u3 = 6i3 = 6×10 = 60V u4 = 3i3 = 30V
i5 =10 7.5 = 2.5A

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例2
12V

I1 + _

I2 R

I3 R

I4

求:I1 ,I4 ,U4

+ + 2R U1 2R U2 2R _ _

+ 2R U4 _



①用分流方法做

I4 = 1 I3 = 1 I2 = 1 I1 = 1 12 = 3 2 4 8 8R 2R U4 = I4 × 2R = 3V I1 = 12 R
②用分压方法做

U2 1 U4 = = U1 = 3V 2 4

I4 = 3 2R
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从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤: 从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤: 求出等效电阻或等效电导; ①求出等效电阻或等效电导; 应用欧姆定律求出总电压或总电流; ②应用欧姆定律求出总电压或总电流; 应用欧姆定律或分压、 ③应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电 流和电压 以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系! 以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系!

例3
a b

c 6 5

d

求: Rab , Rcd

Rab = (5 + 5) //15 + 6 =12 Rcd = (15 + 5) // 5 = 4 注意 等效电阻针对端口而言
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15

5

例4 求: Rab
a 20 40 a 20 80 b b

Rab=70
100 10 60 50

a 20 120

b 100 60 60

a 20 100 100

b 100 60 40
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例5 求: Rab
5 a b 7 6 4 20 缩短无 电阻支路

20 5 15 6 6 4 a b a b 7

15 6

a b 7
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Rab=10
15 10

15 3
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等电位 c 对称电路 c、d等电位 R R R 短路 断路 i i a a i i2 b R 1 R R d 1 根据电流分配 i1 = i = i2

例6 求: Rab

c R b R d

uab =R Rab = i

2 1 1 uab = i1R + i2R = ( i + i)R = iR 2 2

Rab = R

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电阻的Y形连接和 形连接和形 2.4 电阻的 形连接和 形连 接的等效变换 接的等效变换
电阻的 1. 电阻的 、Y形连接 形
包含 1 R12 2 R23 形网络 R31 3 R2 2 Y形网络 形
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R1 a 1 R1 R3 3 R3 R

R2 b R4
三端 网络

,Y 网络的变形: 网络的变形:

π 型电路 ( 型)

T 型电路 (Y、星型) 、

注意 这两个电路当它们的电阻满足一定的关
系时, 系时,能够相互等效 。

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2. —Y 变换的等效条件
+ i1 u12 i2 – 2+ R23 u23 u31 R12 R31 i3 1– + i1Y u12Y R2 1 – u31Y R3 u23Y i3Y + – 3

R1

+ – i2Y 2 + – 3

等效条件: 等效条件:

i1 =i1Y ,

i2 =i2Y ,

i3 =i3Y , u31 =u31Y
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u12 =u12Y , u23 =u23Y ,

+ i1 u12 i2 – R12

1– u31 R31 i3 R23 u23

+ i1Y u12Y R2 – i2Y + 2 +

1

– u31Y R3 i3Y + – 3

R1

– 3 2+ 接: 用电压表示电流 接

u23Y

i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
(1)

Y接: 用电流表示电压 接 u12Y=R1i1Y–R2i2Y u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y i1Y+i2Y+i3Y = 0
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(2)

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由式( )解得: 由式(2)解得: u12YR3u31YR2 i1Y = R R2 + R2R3 + R3R1 1

u23YR1u12YR3 i2Y = R1R2 + R2R3 + R3R1 (3) i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (1)

i1 =u12 /R12 – u31 /R31

u31YR2 u23YR1 i3Y = R1R2 + R2R3 + R3R1

i3 =u31 /R31 – u23 /R23

根据等效条件,比较式 与式(1),得 根据等效条件,比较式(3)与式 与式 , Y→的变换条件: 的变换条件: → 的变换条件

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R1R2 R12 = R1 + R2 + R3 R2R3 R23 = R2 + R3 + R1 R3R1 R31 = R3 + R1 + R2

GG 1 2 G = 12 G + G2 + G 1 3 G2G 3 G = 或 23 G + G + G 1 2 3 GG 3 1 G = 31 G +G +G 1 2 3

类似可得到由→Y的变换条件: 的变换条件: 类似可得到由 的变换条件 R R 12 31 G G31 12 R= 1 G = G + G31 + 1 12 R + R23 + R 12 31 G23 R23R 12 G23G R2 = 12 或 G2 = G23 + G + 12 R + R23 + R 12 31 G31 R R23 31 G31G23 R = 3 G3 = G31 + G23 + R + R23 + R 12 31 G 12
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简记方法: 简记方法:

RΥ =相邻电阻乘积 G =Y相邻电导乘积 ∑GY ∑R
变Y 变 Y变 变 特例:若三个电阻相等(对称) 特例:若三个电阻相等(对称),则有
R12 R1

R = 3RY

R31 R3

外大内小

R2 R23

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注意
①等效对外部(端钮以外)有效,对内不成立。 等效对外部(端钮以外)有效,对内不成立。 ②等效电路与外部电路无关。 等效电路与外部电路无关。 ③用于简化电路

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例1 桥 T 电路
1k 1k + E 1k R 1k

1/3k + E

1/3k 1/3k R 1k 1k

-

-

+ E

3k R 3k 3k

-

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例2 计算 计算90电阻吸收的功率 电阻吸收的功率
1 + 20V 4 90 1 9 9 9 9 i

1 + 20V i1 90 10

-

10 ×90 Req =1+ =10 10 + 90 3

-

1 + 20V

4 90

3

3 9

i = 20 /10 = 2A

1
2 1

10 × 2 i1 = = 0.2A 10 + 90
2

P = 90i = 90 × (0.2) = 3.6W
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例3 求负载电阻 L消耗的功率 求负载电阻R
30 20 10 20 2A 30 30 30 20 2A 30 40 RL

30 10 20 10 40 30

RL

IL =1A
P = RLI = 40W L
2 L

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电压源、 2.5 电压源、电流源的串联和并联
1.理想电压源的串联和并联 1.理想电压源的串联和并联
①串联 u = us1 + us 2 = usk uS1 uS2 _ _ + + 等效电路 _ u +

注意参考方向 + u 等效电路
i



_

②并联

u = us1 = us2
+ uS1 _

注意 相同电压源才能并
电源中的电流不确定。 联,电源中的电流不确定。

+ uS2 _
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+ u _
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电压源与支路的串、 ③电压源与支路的串、并联等效 + i + uS1 _ R1 + u i + uS _ + 任意 u R 元件 _ uS _ 对外等效! 对外等效!
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uS2 _ R2 _

+ i +

uS

_ R u _

u = us1 + R1i + us2 + R2i = (uS1 + uS 2 ) + (R1 + R2 )i = uS + Ri
i + + u _

2. 理想电流源的串联并联
①并联

注意参考方向

i = is1 + is2 + + isn = ∑isk
i iS2 iSn 等效电路 i

iS1

②串联

iS1 i

iS2

i = is1 = is2
流源的端电压不能确定。 流源的端电压不能确定。

注意 相同的理想电流源才能串联, 每个电 相同的理想电流源才能串联,
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3.电流源与支路的串、并联等效 电流源与支路的串、 i

iS1

R1

iS2

+ R2 u 等效电路 _

iS

R

i = is1 u R1 + is2 u R2 = is1 + is2 (1 R1 +1 R2 )u = is u R
任意 元件 + iS u R _ iS 等效电路 对外等效! 对外等效!
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2.6 实际电源的两种模型及其等效变换
1. 实际电压源
i + u _ + 伏安特性: 伏安特性: u 考虑内阻 0 一个好的电压源要求 i

u = uS RSi
us

uS

_

RS

RS →0

实际电压源也不允许短路。因其内阻小, 注意 实际电压源也不允许短路。因其内阻小, 若短路,电流很大,可能烧毁电源。 若短路,电流很大,可能烧毁电源。
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实际电流 2. 实际电流源

伏安特性: 伏安特性: u

u i = iS RS
is

iS
RS

i

考虑内阻

实际电流源也不允许开路。因其内阻大, 注意 实际电流源也不允许开路。因其内阻大, 若开路,电压很高,可能烧毁电源。 若开路,电压很高,可能烧毁电源。

+
u

_

0

i

一个好的电流源要求 RS →∞

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3.电压源和电流源的等效变换 3.电压源和电流源的等效变换
实际电压源、 实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效 变换,所谓的等效是指端口的电压、 变换,所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过 程中保持不变。 程中保持不变。 + i+ i 实际 uS_ 实际 + iS u 电流 电压 GS u RS _ 源 源 _ 端口特性

i =iS – GSu

iS=uS /RS GS=1/RS

u=uS – RS i i = uS/RS– u/RS
比较可 比较可得等效条件
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电压源变换为电流源: 小结 电压源变换为电流源: i S + uS _ RS i+ u _ + uS _ RS

i GS + u _

电流源变换为电压源: 电流源变换为电压源: i + iS GS u _

i+ u _

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注意
①变换关系

+ uS _ RS

i+ i u _

i iS
iS

GS
iS

+ u _

数值关系 方向:电流源电流方向与电压源电压方向相反。 方向:电流源电流方向与电压源电压方向相反。 等效是对外部电路等效,对内部电路是不等效的。 ②等效是对外部电路等效,对内部电路是不等效的。 电压源开路, RS上无电流流过 电压源开路, 表 现 在 电流源开路, 上有电流流过。 电流源开路, GS上有电流流过。 电压源短路, 上有电流; 电压源短路, RS上有电流;

电流源短路, 上无电流。 电流源短路, GS上无电流。 理想电压源与理想电流源不能相互转换。 ③理想电压源与理想电流源不能相互转换。
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例1 利用电源转换简化电路计算
1. 5A 3 4 2A 2. 5 + 10V _ + 10V _ I=? 7 + 15V _ 8V + 2A 6A + 2.5 U _ 7 7 I=0.5A

5 + U=? 6A _

U=20V
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例2 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连
1. 10V + _ 6A + 10V _ 10 + 70V _

10 2. + 6V _ 10

2A 6A

10 + 66V _
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1. 10V

+ _ 6A

+ 10V _

1A 10

6A

10

7A 10

+ _ 70V

10

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2.

+ 6V _ 10

2A 6A

+ 6V _ 6A 10

+ 6V _ 10 + 60V _

10 + 66V _
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例3 求电路中的电流 求电路中的电流I
2A 10 + 40V _ 6 I 4 + 2A 30V _ 6 2A 10 + 40V _ I 4 + 30V _
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6 I 4 + 30V _

10

30 60 I= = 1.5A 20

10 + 60V _

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例4 求电流 i1
R2R3 R=R + 1 R2 + R3

R1 + US _ i1 R2

R3 + ri1 _

Ri1 + (R2 // R3 )ri1 / R3 =US
US i1 = R+ R + (R2 // R3 )r / R3

注意 受控源和独立
源一样可以进行电源转 换;转换过程中注意不 要丢失控制量。 要丢失控制量。

i1i1 R + ri1/R3 + + R1 US (R2//R32)ri13 3 R //R/R _ _

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例5 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连
1k + 1k I + U _ 500I 2k + -I + 10V _ + U _

10V 0.5I _

U = 500I + 2000I +10 =1500I +10

1.5k + 10V _
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I + U _
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2.7 输入电阻
1.定义 1.定义
无 源 i + u 输入电阻

2.计算方法 2.计算方法

u Rin = i

①如果一端口内部仅含电阻,则应用电阻的串、并联 如果一端口内部仅含电阻,则应用电阻的串、 变换等方法求它的等效电阻; 和—Y变换等方法求它的等效电阻; 变换等方法求它的等效电阻 对含有受控源和电阻的两端电路,用电压、 ②对含有受控源和电阻的两端电路,用电压、电流法 求输入电阻,即在端口加电压源,求得电流, 求输入电阻,即在端口加电压源,求得电流,或在 端口加电流源,求得电压,得其比值。 端口加电流源,求得电压,得其比值。
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例 计算下例一端口电路的输入电阻 1.
i1 R1 uS R2 + _ R3 R2 R1 R3
无源电 阻网络



先把有源网络的独立源置零:电压源短路; 先把有源网络的独立源置零:电压源短路; 电流源开路,再求输入电阻。 电流源开路,再求输入电阻。

Rin = (R1 + R2 ) // R3
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2.
+

6



6i1 +

6

- 3

6i1 + i + U _ 外加电 压源

3 US _ i1

i1

3i 3i1 i = i1 + =1.5i1 6

U = 6i1 + 3i1 = 9i1
U 9i1 Rin = = =6 i 1.5i1
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3. i2 0.1u1 等效 + u1 _ 5 i1 + u1 _

+ u 15


i

u1 u1 =15i1 i2 = =1.5i1 10

i = i1 + i2 = 2.5i1
u = 5i + u1 = 5× 2.5i1 +15i1 = 27.5i1

5 15

u 27.5i1 Rin = = =11 i 2.5i1

10

10×15 Rin = 5 + =11 10 +15
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