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高中数学分析和解决问题能力的组成及培养策略011


高中数学分析和解决问题能力的组成及培养策略

分析和解决问题的能力是指能阅读、 理解对问题进行陈述的材料; 能综合应用所学 数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题,并能用 数学语言正确地加以表述.它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的 综合体现. 由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上, 注重对数学

思想和方法 的考查,注重数学能力的考查,强调了综合性.这就对考生分析和解决问题的能力提出了更 高的要求,也使试卷的题型更新,更具有开放性.纵观近几年的高考,学生在这一方面失分 的普遍存在,如 97 年的理科 24 题、98 年的理科 24 题、99 年的理科 23、24 题、2000 年的 文科 21 题,这就要求我们教师在平时教学中注重分析和解决问题能力的培养,以减少在这 一方面的失分.笔者就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点刍见. 一、分析和解决问题能力的组成 1.审题能力 审题是对条件和问题进行全面认识,对与条件和问题有关的全部情况进行分析研 究,它是如何分析和解决问题的前提.审题能力主要是指充分理解题意,把握住题目本质的 能力;分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力.要快捷、准确在解决问题, 掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的. 例1 已知 sin ? ? sin ? ?

2 , cos? ? cos ? ?

2 3 , 求 tg?tg? 的值. 3

分析:怎样利用已知的二个等式?初看好象找不出条件和结论的联系.只好从未知 tg?tg? 入手,当然,首先想到的是把 tg? 、 tg ? 分别求出,然后求出它们的乘积,这是个办法, 但是不好求; 于是可考虑将 tg?tg? 写成

sin ? sin ? , 转向求 sin ? sin ? 、cos? cos ? . 令 cos? cos ?
y . x

x ? cos? cos ? , y ? sin ? sin ? ,于是 tg?tg? ?

从方程的观点看,只要有 x 、 y 的二元一次方程就可求出 x 、 y .于是转向求

x ? y ? cos(? ? ? ) , x ? y ? cos(? ? ? ) .
这样把问题转化为下列问题: 已知

sin ? ? sin ? ? 2
cos? ? cos ? ? 2 3 3





? 求 cos( ? ? ) 、 cos(? ? ? ) 的值.
2 2 ① +② 得 2 ? 2 cos( ? ? ? ) ?

10 2 , cos( ? ? ? ) ? 3 3



② -① 得 cos 2? ? cos 2 ? ? 2 cos( ? ? ? ) ?
2 2

1 2 cos( ? ? ? ) ? ? . 这样问题就可以解决. , 5 3

从刚才的解答过程中可以看出, 解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系, 这需要一 定的审题能力.由此可见,审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分. 2. 合理应用知识、思想、方法解决问题的能力 高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内 -1- 容;数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等;数学方法包括待 定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法.只有理解和掌握数学基本知 识、思想、方法,才能解决高中数学中的一些基本问题,而合理选择和应用知识、思想、方 法可以使问题解决得更迅速、顺畅. 例2 (2000 年全国高考题)设函数 f ( x) ?

x 2 ? 1 ? ax

其中 a ? 0.

(Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 1 ; (Ⅱ)求 a 的取值范围,使函数 f (x) 在 ?0, ? ? ? 上是单调函数. 解: (Ⅰ)不等式 f ( x) ? 1 即

x 2 ? 1 ? 1 ? ax,
由此得 1 ? 1 ? ax, 即 ax ? 0, 其中常数 a ? 0. 所以,原不等式等到价于

x 2 ? 1 ? (1 ? ax) 2 ,
x ? 0.


x ? 0, (a 2 ? 1) x ? 2a ? 0.
所以,当 0 ? a ? 1 时,所给不等式的解集为 ? x 0 ? x ? 当 a ? 1 时,所给不等式的解集为 x x ? 0 . (Ⅱ)在区间 ?0, ? ? ? 上任取 x1 , x2 , 使得 x1 ? x2 .

? ?

2a ? ?; 1? a2 ?

?

?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

2 x12 ? 1 ? x 2 ? 1 ? a ( x1 ? x 2 )

?

2 x12 ? x 2 2 x12 ? 1 ? x 2 ? 1

? a( x1 ? x 2 )

? ( x1 ? x 2 )(
(ⅰ)当 a ? 1 时, ∵

x1 ? x 2
2 x12 ? 1 ? x 2 ? 1

? a ).

x1 ? x 2
2 x12 ? 1 ? x 2 ? 1

? 1,



x1 ? x 2
2 x ? 1 ? x2 ? 1 2 1

? a ? 0,

又 x1 ? x2 ? 0, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ). 所以,当 a ? 1 时,函数 f (x) 在区间 ?0, ? ? ? 上是单调递减函数. (ⅱ)当 0 ? a ? 1 时,在区间 ?0, ? ? ? 上存在两点 x1 ? 0, x 2 ? -2-

2a , 满足 1? a2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 所以函数 f (x) 在区间 ?0, ? ? ? 上不是单调函数.
综上,当且仅当 a ? 1 时,函数 f (x) 在区间 ?0, ? ? ? 上是单调函数. 在上述的解答过程中可以看出,本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识,分 类讨论的数学思想方法的运算、推理能力. 3. 数学建模能力 近几年来,在高考数学试卷中,都有几道实际应用问题,这给学生的分析和解决问题的 能力提出了挑战.而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心. 例 3 (1999 全国高考题)下图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从 一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.

(Ⅰ)输入带钢的厚度为 ? ,输出带钢的厚度为 ? ,若每对轧辊的减薄率不超过 r0 .问冷 轧机至少需要安装多少对轧辊?
? ( 一对轧辊减薄率? 输入该对的带钢厚度度 从该对输出的带钢厚度) 输入该对的带钢厚度

(Ⅱ)已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊,所有轧辊周长为 1600mm.若第 k 对轧 辊有缺陷, 每滚动一周在带钢上压出一个疵点, 在冷轧机输出的带钢上, 疵点的间距为 Lk . 为

了便于检修, 请计算 L1 、L2 、L3 并填入下表 (轧钢过程中, 带钢宽度为变, 且不考虑损耗) . 轧辊序号 k 疵点间距 Lk (单位:mm) 1 2 3 4 1600

解:厚度为 ? 的带钢经过减薄率均为 r0 的 n 对轧辊后厚度为 ? (1 ? r0 ) n . 为使输出带钢的厚度不超过 ? ,冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足

? (1 ? r0 ) n ? ? ,


(1 ? r0 ) n ?
n

由于 (1 ? r0 ) ? 0,

? ? 0 ,对上式两端取对数,得 ?
n? lg ? ? lg ? . lg(1 ? r0 )

? . ?

n lg(1 ? r0 ) ? lg

? , ?

由于 lg(1 ? r0 ) ? 0 ,所以

因此,至少需要安装不小于

lg ? ? lg ? 的整数对轧辊. lg(1 ? r0 )

(Ⅱ)第 k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢的体积为

1600? ? (1 ? r) k ? 宽度

(其中 r ? 20 %) ,

而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 Lk ? ? (1 ? r ) 4 ? 宽度. 因宽度相等,且无损耗,由体积相等得

1600? ? (1 ? r) k ? Lk ? ? (1 ? r) 4 (r ? 20 %)


Lk ? 1600? 0.8k ?4 .
-3-

由此得 填表如下

L3 ? 2000 mm), L2 ? 2500 mm), L1 ? 3125 mm) . ( ( (
轧辊序号 k 1 3125 2 2500 3 2000 4 1600

疵点间距 Lk (单位:mm)

评述: (Ⅰ)题是一个常见的等比数列模型问题,即平均变化率类型,要解决该问题关键是 理解题中“若每对轧辊的减薄率不超过 r0 ”的含义; (Ⅱ)题若通过合理联想,带钢从第 k 对

轧辊出口处两疵点间的距离和冷轧机出口处两疵点间的距离的关系, 由于在此过程中, 两疵 点间的钢板体积相等,故是一等体积几何模型问题,可列式:

1600? ? (1 ? r) k ? 宽度 ? Lk ? ? (1 ? r) 4 ? 宽度.
在该题的解答中,学生若没有一定的数学建模能力,正确解决此题实属不易.因此,建模能 力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分. 二、培养和提高分析和解决问题能力的策略 1.重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法 数学思想较之数学基础知识,有更高的层次和地位.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的 过程中,它是一种数学意识,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决.数学 方法是数学思想的具体体现,具有模式化与可操作性的特征,可以作为解题的具体手段.只 有对数学思想与方法概括了, 才能在分析和解决问题时得心应手; 只有领悟了数学思想与方 法,书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力. 每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论, 如分类讨论思想可以分 成: (1)由于概念本身需要分类的,象等比数列的求和公式中对公比 q 的分类和直线方程中 对斜率 k 的分类等; (2)同解变形中需要分类的,如含参问题中对参数的讨论、解不等式组 中解集的讨论等.又如数学方法的选择,二次函数问题常用配方法,含参问题常用待定系数 法等.因此,在数学课堂教学中应重视通性通法,淡化特殊技巧,使学生认识一种“思想” 或“方法”的个性,即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效.从而培养和提 高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力. 2.加强应用题的教学,提高学生的模式识别能力 高考是注重能力的考试, 特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力, 更是 考查的重点,而高考中的应用题就着重考查这方面的能力,这从新课程版的《考试说明》与 原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑. (新课程版将“分析和解决问题的能 力”改为“解决实际问题的能力” ) 数学是充满模式的,就解应用题而言,对其数学模式的识别是解决它的前提.由于高考考查 的都不是原始的实际问题, 命题者对生产、 生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有 其数学模型.如 1997 年的“运输成本问题”为函数与均值不等式;1998 年的“污水池问题” 为函数、立几与均值不等式;1999 年的“减薄率问题”是数列、不等式与方程;2000 年的 “西红柿问题”是分段式的一次函数与二次函数等等.在高中数学教学中,不但要重视应用 题的教学,同时要对应用题进行专题训练,引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型,这 样学生才能有的放矢,合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题. 3.适当进行开放题和新型题的训练,拓宽学生的知识面 要分析和解决问题,必先理解题意,才能进一步运用数学思想和方法解决问题.近年来,随 着新技术革命的飞速发展, 要求数学教育培养出更高数学素质、 具有更强的创造能力的人才, 这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现,更加注重了能力的考查.由于开放 题的特征是题目的条件不充分,或没有确定的结论,而新背景题的背景新,这样给学生在题 意的理解和解题方法的选择上制造了不少的麻烦,导致失分率较高.如 1999 年理科的第 16 题和第 22 题,很多 -4- 学生由于对“垄”和“减薄率不超过 r0 ”不理解而不知所措;又如 2000 年文科第 16 题和第 21 题、 2001 年春季高考的第 11 题, 只有在读懂所给的图形的前提下, 才能正确作出解答. 因 此, 在高中数学教学中适当进行开放题和新型题的训练, 拓宽学生的知识面是提高学生分析

和解决问题能力的必要的补充. 4.重视解题的回顾 在数学解题过程中,解决问题以后,再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与 研究,是非常必要的一个重要环节.这是数学解题过程的最后阶段,也是对提高学生分析和 解决问题能力最有意义的阶段. 解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果, 真正的目的是为了提高学生分析和解决问题 的能力, 培养学生的创造精神, 而这一教学目的恰恰主要通过回顾解题的教学来实现. 所以, 在数学教学中要十分重视解题的回顾, 与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析, 对 解题的主要思想、 关键因素和同一类型问题的解法进行概括, 可以帮助学生从解题中总结出 数学的基本思想和方法加以掌握, 并将它们用到新的问题中去, 成为以后分析和解决问题的 有力武器.


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