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高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛 函数奇偶性教案


2.1.4 函数的奇偶性教案
一. 教学目标 1. 知识目标;使学生理解奇函数,偶函数的概念,学会运用定义判断函数的奇偶性 2. 能力目标:通过设置问题情境培养学生判断,推理的能力 3. 情感目标:通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操.通过组织学生分组讨 论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关 系,培养学生善于探索的思维品质.

二 教学重点 难点 重点是函数的奇偶性的概念,难点是函数奇偶性的判断 三 教学方法 本节课采用观察,归纳,启发探究相结合的数学方法,运用现代化多媒体教学手段,进行教 学活动,首先按照由特殊到一般的认知规律,由形及数,数形结合,通过设置问题引导学生观察 分析归纳,形成概念,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考,探索和交流的过程中 获得对函数奇偶性的全面的体验和理解,对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使 学生边学边练,及时巩固,同时设计问题,探究问题,深化对概念的理解. 四 教学过程 教学 环节 复习 引入 概念 形成 教学内容 复习在初中学习的轴对称图形和中心对 称图形的定义 1.要求学生画出函数 f(x)= 师生互动 教师提出问题,学生回答 1.教师巡视指导,学生作图。学生作 完图后教师提问:观察大屏幕上的9个 函数图像和我们画的两个函数的图像, 分别具有怎么样的对称性? 学生回答:f(x)= 设计意图 为学生认识奇偶函数的图像特 征做好准备 1. 要求学生动手作图以锻炼须 生的动手实践能力, 为下步问题 的提出做好准备, 并通过问题的 提出来引导学生从形的角度认 识两个函数各自的特征。 通过更多的例子让学生知道 函数图像的对称性, 即关于原点 成中心对称,以及关于 y 轴成 轴对称,锻炼学生的观察能力。

1 3 x 与 g ( x) ? x 2 的图像; 4

观察大屏幕上给出的九个函数图像: ① f ( x) ? x ② f ( x) ? x 3 ③ f ( x) ? x 5 ④ f ( x) ?

1 3 x 关于原点成中 4

心对称图形; g ( x) ? x 2 关于 y 轴成轴 对称图形。

1 1 ⑤ f ( x) ? x ? x x

⑥ f ( x) ? x 2 ⑦ f ( x) ? x 4 ⑧ f ( x) ?

1 ⑨ f ( x) ? x x2

学生:①②③④⑤的图像关于原点成中 心对称; ⑥⑦⑧⑨的函数图像关于 y 轴 成轴对称图形。

概念 形成

2. 老师在黑板上画出函数 f(x)=

1 3 2.老师边让学生计算相应的函数值,边 2.通过特殊值让学生认识两个 x 与 操作课件,引导学生发现规律,总结规 函数各自的对称性的实质;是自 4
律。然后要求学生给出证明,学生通过 观察和运算逐步发现两个函数具有的 不同特性: 3 教师引导归纳,这时们称像
用心 爱心 专心

g ( x) ? x 2 的图象,并让学生分别求出
1 x ? ?3,?2,? ? 时的函数值同时让 2
学 生 在 两 个 函 数 图 象 标 明

变量互为相反数时,函数值互为 相反数和相等这两种关系 3 通过引例使学生对奇函数和 偶函数的形和数的特征有了初
-1-

1 x ? ?3,?2,? ? 对应的图像上的点。 2
让学生发现两个函数的对称性反映到函 数 值 上 具 有 特 性 :

f ( x) ? x 3 这样的函数为奇函数,像函
数 f ( x) ? x 2 这样的函数为偶函数,请

步的认识,此时再让学生给奇函 数和偶函数下个定义应该是水 到渠成.

同学们根据奇函数偶函数的初步认识 来加以推广,给奇函数和偶函数分别下 过解析式给出证明,进一步说明这两个 一个定义。 特性对定义域内的任意一个 x 都成立。 学生讨论后回答,然后老师引导使定义 3 奇函数偶函数的定义: 完善,在并在黑板上板书奇函数偶函数 的定义。 奇函数: 设函数 y ? f (x) 的定义域为 D, 老师:根据定义,哪位同学能举出另外 如 果 对 于 D 内 的 任 意 一 个 x , 都 有 一些奇函数和函数的例子? f(-x)=- f(x),则这个函数叫奇函数 学生;

f (? x) ? f (? x) g (? x) ? g ( x) 然 后 通

偶函数: 设函数 y ? g (x) 的定义域为 D, f ( x) ? x 7 ? 如果对 D 内的任意一个 x ,都有

1 x, f ( x ) ? ? x 6 ? 4 x 4 等 2

g ( ? x) ? g ( x) , 则这个函数叫做偶函数
概念 深化 (1) 强调定义中任意二字。 说明函数 的奇偶性是函数在定义域上的 一个整体性质。 它不同于函数的 单调性。 (2) 奇函数和偶函数的定义域的特 征是关于原点对称。 (3) 奇函数和偶函数图象的对称性: 如果一个函数是奇函数,则这个函数的 图象是以坐标原点为对称中心的中心对 称图形。反之,如果一个函数的图象是 以坐标原点为对称中心的中心对称图 形,则这个函数是奇函数。 如果一个函数是偶函数,则它的图象是 以 y 轴为对称轴的轴对称图形,反之, 如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则 这个函数是偶函数 教师设计以下问题组织学生讨论思考 回答: 问题 1:奇函数和偶函数的定义中有任 意二字,说明函数的奇偶性是怎样的一 个性质?与单调性有何区别? 问题2: 结合函数 f(x)= 通过对两个问题的探讨, 引导学 生认识以下两点: (1) 函数的奇 偶性是函数在定义域上的一个 整体性质。 它不同于函数的单调 性。 (2)函数的定义域关于原点对 称是一个函数为奇函数或偶函 数的必要条件。 教师层层深入地 提出问题,学生根据教师的诱 导,思考问题并积极回答问题, 加深对定义的理解。 由于学生对函数 f(x)=

1 3 x 的图象回 4

答以下问题: (1) 对于任意一个奇函数 f(x),图 象上的点 P( x, f ( x)) 关于原点 的对称点 P 的坐标是什么?点
'

1 3 x 与 4

P ' 是否也在函数 f(x)的图象
上?由此可得到怎样的结论。 (2) 如果一个函数的图象是以坐标 原点为对称中心的中心对称图 形,能否判断它的奇偶性?学 生通过回答问题 3 可以把奇函 数图象的性质总结出来,然后 教师让学生自己研究以下偶函 数图象的性质

g ( x) ? x 2 的 图 象 的 对 称 性 已
有所认识, 在此加以推广得到奇 函数和偶函数的图象是比较容 易的, 经过由形到数的过程, 可 使学生加深对本小节内容的理 解。

用心

爱心

专心

-2-

应用 举例

例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x ? x 3 ? x 5 (2) f ( x) ? x 2 ? 1 (3) f ( x) ? x ? 1 (4) f ( x) ? x 2 x ? ?? 1,3? (5) f ( x) ? 0 (6) f (x) ?

1? x2 x?3 ?3
1 的性质并作出它 x2

学生练习:教材第 49 页,练习 A 第 1 题 例 2 研究函数 y ?

1.选例 1 的第(1)小题板书来示范解 1. 通过例 1 解决如下问题 题的步骤,其他例题让几个学生板演, ① 根据定义判断一个函数是 其余学生在下面自己完成,针对板演的 奇函数还是偶函数的方法 同学所出现的步骤上的问题进行及时 和步骤是:第一步先判断函 纠正,教师要适时引导学生做好总结归 数的定义域是否关于原点 纳。 对 称 , 第 二 步 判 断 2.例 2 可让学生来设计如何研究函数 还 是 f ( ? x) ? f ( x) 的性质和图象的方案,并根据学生提供 的方案,点评方案的可行性,并比较那 f ( ? x) ? ? f ( x) 种方案简单 3.做完例 1 和例 2 后要求学生做练习, ② 通过例 1 中的第(3)题说明 及时巩固,在学生练习过程中,教师做 有的函数既不是奇函数也 好巡视指导 不是偶函数. ③ 例 1 中的第(4)小题说明判 断函数的奇偶性先要看一 下定义域是否关于原点对 称. ④

的图象 学生练习:教材第 53 页,练习 A 第 2 小 题,教材第 54 页练习 B 第 1~2 题

f ( x) ? 0 既是奇函数又是

偶函数,可进一步引导学生 探究一个函数既是奇函数 又是偶函数的函数是函数 值为 0 的常值函数,前提是 定义域关于原点对称 ⑤ 总结:对于一个函数来说, 它的奇偶性有四种可能:是 奇函但不是偶函数,是偶函 数不是奇函数,既是奇函数 又是偶函数,既不是奇函数 又不是偶函数 2..对于例 2 主要让学生体会学 习了函数的奇偶性后为研究函 数的性质带来的方便,在此问题 的处理上要先求一下函数的定 义域,这是研究函数性质的基 础,然后判断函数的奇偶性,再 根据奇偶函数图象的对称性, 只 研究函数在 y 轴一侧的图象和 性质就可以知道在另一侧的图 象和性质

归纳 小结 布置

从知识,方法两个方面来对本节课的内 容进行归纳总结 层次一:教材第 52 页,习题 2-1A,第 6~8

让学生谈本节课的收获,并进行反思

关注学生的自主体验,反思 和发表本堂课的体验和收获

用心

爱心

专心

-3-

作业

题 层次二:教材第 53 页,习题 2-1B,第 2~4 题 层次三:补充题,判断下列函数的奇偶 性: (1) f ( x) ? ( x ? 1) ?

通过分层作业使学生进一步 巩固本节课所学内容, 并为学有 余力和学习兴趣浓厚的学生提 供进一步学习的机会。

1? x 1? x

(2) f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ?1

用心

爱心

专心

-4-


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