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(理数)广东省中山纪念中学2012届高二第二学期第一次段考


广东省中山纪念中学 2012 届高二第二学期第一次段考 理科数学
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1、复数 1 ? 2i 的虚部是 A. ? 2 i
8

( B. 2i
2 8



C. ? 2

,则 a1 ? a 2 ? ... ? a 8 的值是 C. 2 ? 1
6

D. 2 ( D. 2
6

2、已知 (1 ? x ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ... ? a 8 x A. 2
8

)

B. 2 ? 1
8

3、 2012 年欧洲杯足球赛将于 6 月份在波兰和乌克兰两个国家举行, 东道主波兰所在的 A 组共有四支球队, 四支球队之间进行单循环比赛, 共进行的比赛的场数为 ( A. 6
x



B. 12

C. 3

D. 8 (
2

4、由 y ? e 、 x 轴、 y 轴及直线 x ? 2 围成的封闭图形的面积为 A. e 5、 ( x A. 20
2



B. e ? 1
2

C.

e ?1
2

D. e ln 2 ? 1 ( )

y ? y

x ) 的展开式中 x y 的系数为

6

4

5

B. -20

C. -15

D. 15

6、从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人,若男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,共有 不同的选法种数是 A. 35 B. 45 C. 91 ( D. 126 )

7、对于任意的 x ? A , 若存在 y ? A 使得 x ? y ? 0 , 则称 A 是“ I 型集合”. 集合
1 M ? { ? 3 , ? 1, 0 , 1, 2 , 3} 的所有非空子集中, I 型集合的个数为 2

( D. 24



A. 16

B. 7

C. 8

8、如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横 纵坐标分别对应数列 ? a n ? ( n ? N ) 的前 12 项,如下表所示:
*

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4

a8 y4

a9 x5

a1 0 y5

a1 1 x6

a1 2 y6

按如此规律下去,则 a 2 0 0 9 ? a 2 0 1 0 ? a 2 0 1 1 ? A.1003 C.1006 B.1005 D.2011

(

)

y 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案写在答题卡相应位置上) 9、
1? i 1? i
?
??

=_____________

10、 ?

sin xd x ? _____________.

11、设 f 0 ( x ) ? x , f n ( x ) ? 12、已知

?

x 0

f n ? 1 ( t ) d t , n ? 1, 2, 3, ? , 则 f 2 0 1 2 ( x ) ? ______________.

C 5 ? C 2 C 3 ? C 2C 3 ? C 2 C 3
2 0 2 1 1 2 3 0 3 1 2 2

0

C 8 ? C 4 C 4 ? C 4C 4 ? C 4 C 4 ? C 4 C 4
1 3 4 0 4 1 3 2 2 3

0

C 9 ? C 3 C 6 ? C 3C 6 ? C 3 C 6 ? C 3 C 6

1

观察以上等式的规律, 在横线处填写一个合适的式子使得下列等式成立,
C10 ? C 4 C 6 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3 0 3

13、一列火车正以 40 m / s 的速度行驶, 前方遇到特殊情况需采取紧急制动, 已知在采取 制动后 t 秒时刻的速度(单位 m / s )为 v ? 40 ? 5 t ?
1 10 t , 则火车从采取制动时到完全停
2

下共行驶的距离为___________________(单位为 m ).

14、若 n , m 为正整数, m ? 2 , n 除以 m 的余数为 r , 记作 r ? m od( n , m ) . 如 15 除以
? 6 的余数为 3, 则 3 ? m od(15, 6) . 数列 { a n } 满足 a1 ? m o d ( 2, 3) , a 2 ? m o d ( 2 , 3) , ,
2

a k ? m o d ( 2 , 3) , ? .
k

S n 为 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 ,

则 a 2 0 1 2 ? ____________,

S n ? ______________.

三、解答题(本大题共 6 小题,15 题 12 分;16 题、17 题 13 分;其余各题 14 分;共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 15、(本小题满分 12 分)已知 n ? N , n ? 2 , ( 2 x ?
*

1 x

) 的展开式中第 2 项、 第 3

n

1

项、 第 4 项的二项式系数成等差数列.

(Ⅰ)求 n ;

(Ⅱ)求展开式中 x 2 的系数;

16、(本小题满分 13 分) 2012 年伦敦奥运会伦敦站的火炬传递中邀请了 5 位奥运冠军和 3 位歌手参加传递, (Ⅰ) 若 3 位歌手互不相邻, 求伦敦站的不同传递方案的种数. (直接用数字作答) (Ⅱ)在这 8 位参加传递的人中选 3 人参加一项奥运宣传活动, 用 X 表示参加此次宣传活 动的歌手的人数. ①列出 X 的所有可能的取值结果; ③求参加此次活动的人中歌手至少有 2 名的概率. ②求随机变量 X 的分布列;

17、(本小题满分 13 分)已知复数 z ? ( a ? i ) , ? ? 4 ? 3i 其中 a 是实数,
2

(Ⅰ)若在复平面内表示复数 z 的点位于第一象限, 求 a 的范围 (2)若
z

?

是纯虚数, a 是正实数 , ①求 a , ②求

? z ? ? z ? ? z ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? z

2

3

8

18、(本小题满分 14 分) 已知
1? 2
1? 1 2 ? 2 2

1?

1 2

?

1 3

? 2 3

??

观察上述不等式的规律, 写出一个关于 n 的不等式, 并用数学归纳法证明你所得的结论.

19、 (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ,直
2

线: l1 : x ? 2 ; l 2 ; y ? ? t ? 8 t (0 ? t ? 2, t 为常数 ) .若直线 l1 、
2

l 2 与函数 f ( x ) 的图象,以及 l 2 、 y 轴与函数 f ( x ) 的图象所围成

的封闭图形如阴影所示.

(Ⅰ)求 a , b , c 的值 (Ⅱ)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S ( t ) 的解析式; (Ⅲ)当 t 为何值时, 面积 S ( t ) 取得最大值,最大值为多少?

20、(本小题满分 14 分)给出下面的数表序列:

其中表 n(n=1,2,3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5, ? 2n-1,从第 2 行起,每行 中的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将此结 论推广到表 n(n≥3) (不要求证明) ; (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1 ,4, 12 ? ,记此数列为 ? b n ? , 求和:
b3 b1 b 2 ? b4 b 2 b3
*

??

bn ? 2 b n b n ?1

(n ? N ) ;
*

(Ⅲ)已知当 n ? N , ? n ? 6 ,不等式 (1 ?
n n n n

1 m n ) ? ( ) (其中 m ? 1, 2, 3, ..., n )成立,求出 n?3 2

m

满足等式 3 ? 4 ? ... ? ( n ? 2) ? ( n ? 3) 的所有正整数 n .

参考答案
一、 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 C 7 B 8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案写在答题卡相应位置上) 9、
i

10、 0

11、

x

2013

2013!

12、 C 4 C 6 ? C 4 C 6 ? C 4 C 6
1 2 2 1 3

0

13、

550 3

14、

1;

? 3n ? 1 ; ? 2 ? Sn ? ? ? 3n ; ? 2 ?

n为 奇 数 n为 偶 数

三、解答题(本大题共 6 小题,15 题 12 分;16 题、17 题 13 分;其余各题 14 分;共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) .
1 15、 解:(1)展开式中第 2 项、 第 3 项、 第 4 项的二项式系数分别为 C n , C n2 , C n3 .

由题意可知:
2C n ? C n ? C n
2 1 3

即 2?

n ( n ? 1) 2

? n?

n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

…………………(4 分)

化简得
n ? 9n ? 14 ? 0
2

…………………..(5 分) ………………..(6 分)
7

又n ? 2 , 则n ? 7 . (2) 展开式的通项为:
Tr ?1 ? C 7 ( 2
r

x)

7?r

(?

1 x

) ? ( ? 1) 2
r r

7?r

C7 x 2

r

?r

…………………………(9 分)
1 2

根据题意, 得
7 2
1

?r ?

即r ? 3

…………………………..(10 分)

所以 x 2 的系数为:

( ? 1) 2
3

7?3

C 7 ? ? 5 6 0 . …………………………………………..(12 分)
3

16、 解: (1)14400 (2)① X 的所有可能的取值结果为: 0, 1, 2, 3. ②
P ( X ? 0) ? C5C3 C8
3 3 0

……………………………(2 分) ……………………………(3 分)

?

5 28



P ( X ? 1) ?

C5 C3 C8
3

2

1

?

15 28

P ( X ? 2) ?

C 5C 3 C8
3

1

2

?

15 56



P ( X ? 0) ?

C5 C3 C8
3

0

3

?

1 56

所以随机变量 X 的分布列为:
X
P

0
5 28

1
15 28

2
15 56

3
1 56

……………………..(10 分) ③ 参加此次活动的人中歌手至少有 2 名的概率为:
P ( X ? 2 ) ? P ( X ? 2 ) ? P ( X ? 3) = 15 56 ? 1 56 = 2 7

…………………(13 分).. 17、 解: (1) 易知 z ? ( a ? i ) ? a ? 1 ? 2 ai , 由题意可知
2 2

?a2 ? 1 ? 0 , 则a ? 1 . ? ? 2a ? 0

………….(4 分) (2) 由于
z ? a ? 1 ? 2ai
2

?

4 ? 3i

?

( a ? 1 ? 2 a i )( 4 ? 3 i )
2

( 4 ? 3 i )( 4 ? 3 i )
( 4 a ? 6 a ? 4 ) ? (3 a ? 8 a ? 3) i
2 2

?
z

25

…………………(8 分)



?

是纯虚数可知
1 ? a ? 2或 a ? ? ? ?4a 2 ? 6a ? 4 ? 0 ? 2 ? 2 即? ? 3a ? 8a ? 3 ? 0 ? a ? ? 3或 a ? 1 ? 3 ?

又 a 为正实数, 则 a ? 2 .
z

……………(10 分)
? z ? ? z ? ? z ? 2 3 8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = i ? i ? i ? ? ? i =0. ? ?? ? ? ? ? ? ? ? z
2 3 8

当 a ? 2 时,

?

? i, 则

…………………(13 分) 18、 解: 关于 n 的不等式为
1? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ? 2 n

…………………………..(3 分)

下面由数学归纳法证明结论 (1) 当 n ? 1 时, 左边=1, 右边=2, 显然不等式成立. (2) 假设当 n ? k , ( k ? 1) 时不等式成立, 即
1? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 k ? 2 k

…………………..(4 分)

………………………..(5 分)

当 n ? k ? 1 时,
1? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 k ? 1 k ?1 ? 2 k ? 1 k ?1

?

2 k

k ?1 ?1 k ?1

…………(9 分)
2 k k ?1 ?1 k ?1 ? 2 k ?1 .

下面证明不等式

方法(一)由基本不等式可知: 2 k
2 k

k ? 1 ? k ? k ? 1 ? 2 k ? 1 , 所以
2k ? 1 ? 1 k ?1

k ?1 ?1 k ?1

?

? 2 k ?1

…………….(13 分)

(方法二)要证明

2 k

k ?1 ?1 k ?1

? 2 k ?1

只需证 2 k 即证 2 k

k ? 1 ? 1 ? 2( k ? 1)

k ? 1 ? 2k ? 1
2

只需证 4 k ( k ? 1) ? 4 k ? 4 k ? 1 即证 0 ? 1 0 ? 1 显然成立, 得证 从而有
1? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 k ? 1 k ?1 ? 2 k ?1

…………………………..(13 分)

由(1) (2)可知对于任意的自然数 n , ( n ? 1 )不等式均成立 . …………..(14 分) 19、 (I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)(8,0) , ,并且 f(x)的最大值为 16
? ?c ? 0 ? ? 2 则 ?a ?8 ? b ?8 ? c ? 0? ? 2 4ac ? b ? ? 16 ? 4a ? ?a ? ?1 ? ?b ? 8 ?c ? 0 ?

∴函数 f(x)的解析式为 f ( x ) ? ? x ? 8 x ??????????4 分
2
2 ? ? y ? ? t ? 8t 2 (Ⅱ)由 ? 得 x ? 8 x ? t ( t ? 8 ) ? 0 ,? x 1 ? t , x 2 ? 8 ? t , ? y ? ?x2 ? 8x ?

∵0≤t≤2,∴直线 l1 与 f(x)的图象的交点坐标为( t , ? t ? 8 t ) ??????6 分
2

由定积分的几何意义知:
S (t ) ?

?
2

t 0

[( ? t ? 8 t ) ? ( ? x ? 8 x )] d x ?
2 2
3

?
3

2 t

[( ? x ? 8 x ) ? ( ? t ? 8 t ] d x
2 2
2

? [( ? t ? 8 t ) x ? ( ?

x

? 4 x )]
2

3

t 0

? [( ?

x

? 4 x ) ? (? t ? 8t ) ? x ]
2 2 t

3

??

4 3

t ? 10t ? 16t ?
3 2

40 3
2



0≤t≤2 ????????????(10 分)

(III) 易知 S ? ( t ) ? ? 4 t ? 20 t ? 16 ? ? 4( t ? 1)( t ? 4) 令 S ? ( t ) ? 0 , 由于 0 ? t ? 2 , 则 t ? 1 . 则随着 t 的变化, S ( t ) , S ? ( t ) 的变化情况为:
t

0

(0,1)

1
0
6
40 3

(1, 2 )

2

S ?( t )

?
40 3

?

S (t )

单减

单增

32 3

因此当 t ? 0 时, S ( t ) 取得最大值, 最大值为 20、 解 (I)

.

…………(14 分)

它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32, 它们构成首项为 4, 公比为 2 的等比数列. …………………(2 分) 将这一结论推广到表 n ( n ? 3) , 即 表 n ( n ? 3) 各行的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n , 公比为 2 的等比数列. ………………(4 分) (II)表 n 的第 1 行是 1, 3, 5, ? , 2 n ? 1 , 其平均数是

1 ? 3 ? ? ( 2 n ? 1) n

? n

由(I)可知, 它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n , 公比为 2 的等 比数列, 于是表 n 中最后一行的唯一一个数为 b n ? n ? 2 n ?1 . 因此
bk ? 2 bk bk ?1 ? (k ? 2)2 k2
k ?1 k ?1 k

…………..(5 分)
1 ( k ? 1) 2
k ?2

? ( k ? 1) 2

?

k ?2 k ( k ? 1) 2
k ?2

?

2 ( k ? 1) ? k k ( k ? 1) 2
k ?2

?

1 k2
k ?3

?

,

( k ? 1, 2, 3, ? , n )
b3 b1 b 2 ? b4 b 2 b3 ?? bn ? 2 b n b n ?1



= (

1 1? 2
?2

?

1 2?2
?1

) + (

1 2?2
?1

?

1 3? 2
0

) + ? +



1 n?2
n?3

?

1 ( n ? 1) ? 2
n?2

)=

1 1? 2
?2

?

1 ( n ? 1) ? 2
n?2

=4 ?

1 ( n ? 1) ? 2
n?2

……………(9 分)

(III) 当 n ? 6 时,
(1 ? ? 1 1 n?3 ) ? (1 ?
n

1 n?3

) ? (1 ?
n

2 n?3

) ? ? ? (1 ?
n

n n?3

)

n

1 2 1 n 1 2 ? ( ) ?? ? ( ) ? 1? ( ) ? 1 2 2 2 2
?n?2? ? n ?1 ? ? 3 ? n n n n ? ?? ? ?? ? ? ? ? 1 ,即 3 ? 4 ? ... ? ( n ? 2) ? ( n ? 3) ?n?3? ?n?3? ?n?3?
n n n

所以 ?

……………………….(12 分) 所以当 n ? 6 时, 不存在满足该等式的正整数 n . 故只需要讨论 n ? 1, 2, 3, 4, 5 的情形: 当 n ? 1 时, 3 ? 4 , 等式不成立; 当 n ? 2 时, 3 ? 4 ? 5 , 等式成立;
2 2 2

当 n ? 3 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6 , 等式成立;
3 3 3 3

当 n ? 4 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6 是偶数, 但 7 是奇数, 所以等式不成立;
4 4 4 4

4

当 n ? 5 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 是奇数, 但 8 是偶数, 所以等式不成立;
5 5 5 5 5

5

综上, 满足条件的所有正整数为 2 , 3 .

……………………(14 分)


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