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文科高三导数综合大题


高三导数综合大题

2012.05.17 2012.05.17 .1

滕老师

题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“ 字连接或用“逗号”隔开) ,极 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开) 极 , 值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 最值;不等

式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步: 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 第一步:令 f ( x) = 0 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征 题型特征( 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为 主元)(请同学们参考例 第二种:分离变量求最值(请同学们参考例 ;第三种: ;第三种 主元)(请同学们参考例 1)第二种:分离变量求最值(请同学们参考例 2) 第三种:关 ; 于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值-------题型特征 于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征 f ( x ) > g ( x ) 恒成立
'

? h( x) = f ( x) ? g ( x) > 0 恒成立;参考例 4; 恒成立; 1 3 2 1.已知函数 的一个极值点. 例 1.已知函数 f ( x ) = x ? bx + 2 x + a , x = 2 是 f (x ) 的一个极值点. 3 的单调递增区间; (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; 2 2 恒成立, 的取值范围. (Ⅱ)若当 x ∈ [1, 3] 时, f ( x ) ? a > 恒成立,求 a 的取值范围. 3

3 2 ( 2.已知定义在 在区间 [ ?2,1] 上的最大值是 5,最 2.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) = ax ? 2ax + b a > 0)

小值是- 小值是-11. 的解析式; (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;

+ 恒成立, 的取值范围. (Ⅱ)若 t ∈ [?1,1] 时, f ′( x) tx ≤ 0 恒成立,求实数 x 的取值范围.

2 10 x3 3. 已 知 函 数 f ( x) = 2 图 象 上 斜 率 为 3 的 两 条 切 线 间 的 距 离 为 ,函数 5 a 3bx 2 g ( x) = f ( x) ? 2 + 3 . a 处有极值, 的解析式; (1) 若函数 g (x ) 在 x = 1 处有极值,求 g (x ) 的解析式;
2 上为增函数, (2) 若函数 g (x ) 在区间 [?1,1] 上为增函数,且 b ? mb + 4 ≥ g ( x ) 在区间 [?1,1] 上都成 的取值范围. 立,求实数 m 的取值范围.
3 2 4.已知函数 4.已知函数 f ( x ) = x + ax 图象上一点 P (1, b) 的切线斜率为 ?3 ,

t ?6 2 x ? (t + 1) x + 3 (t > 0) 2 的值; (Ⅱ 的值域; (Ⅰ)求 a, b 的值; Ⅱ)当 x ∈ [ ?1, 4] 时,求 f ( x ) 的值域; ( 恒成立, 的取值范围。 (Ⅲ)当 x ∈ [1, 4] 时,不等式 f ( x ) ≤ g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。 g ( x) = x 3 +

特别说明:分类与整合,千万别忘了整合即最后要写“综上可知” 分类一定要序号化; , 特别说明:分类与整合,千万别忘了整合即最后要写“综上可知” 分类一定要序号化; 题型二: 轴即方程根的个数问题; 题型二:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题; 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种: (1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种: ' ' 第一种: 在给定区间上恒成立, 第一种:转化为恒成立问题即 f ( x) ≥ 0或f ( x) ≤ 0 在给定区间上恒成立,然后转为不等式 恒成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( 的同侧) ,如果是同侧 恒成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在 0 的同侧) 如果是同侧 , 则不必分类讨论;若在 0 的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号 则不必分类讨论; 的两侧,则必须分类讨论, 的方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法; 的方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法; 第二种:利用子区间(即子集思想) 首先求出函数的单调增或减区间, ;首先求出函数的单调增或减区间 第二种:利用子区间(即子集思想) 首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是 ; 求的增或减区间的子集; 年高考题; 求的增或减区间的子集;参考 08 年高考题; 第三种方法:利用二次方程根的分布, 第三种方法:利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间 的位置;可参考第二次市统考试卷 二次市统考试卷; 的位置;可参考第二次市统考试卷; 特别说明:做题时一定要看清楚“ a,b)上是减函数” 函数的单调减区间是(a,b) 特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b), ” 要弄清楚两句话的区别; 要弄清楚两句话的区别; (2)函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图” 即解导数不等式) 趋势图” 第一步:画出两个图像即“穿线图” 即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋 ( 是先增后减再增”还是“先减后增再减” 势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式( ; ;主要看极大值和极小值与 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) 主要看极大值和极小值与 0 的 关系; 关系; 第三步:解不等式( 即可; 第三步:解不等式(组)即可; 5.已知函数 5.已知函数 f ( x) =

1 3 ( k + 1) 2 1 上为增函数. x ? x ,g ( x) = ? kx , f (x) 在区间 ( 2,+∞ ) 上为增函数. 且 3 2 3

的取值范围; (1) 求实数 k 的取值范围; 的图象有三个不同的交点, 的取值范围. (2) 若函数 f (x) 与 g (x ) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围.

3 2 6.已知函数 4x+4a, 为实数. 6.已知函数 f(x)=x -ax -4x+4a,其中 a 为实数. (Ⅰ)求导数 f ′ (x); 2]上的最大值和最小值 上的最大值和最小值; (Ⅱ)若 f ′ (-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; ,-2 ,+∞ 上都是递增的, (Ⅲ)若 f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围

3

2

3 2 7.已知: 7.已知:函数 f ( x ) = x ? ax + bx + c 已知 轴平行, 的关系式; 使点 P 处的切线与 x 轴平行, 求实数 a, b 的关系式; ( I) 若函数 f (x ) 的图像上存在点 P ,

个交点, (II)若函数 f (x ) 在 x = ?1 和 x = 3 时取得极值且图像与 x 轴有且只有 3 个交点,求实数 II) 取值范围. c 的取值范围. 题型三:函数的切线问题; 题型三:函数的切线问题; 在点处的切线,易求; 问题 1:在点处的切线,易求; 过点作曲线的切线需四个步骤; 问题 2:过点作曲线的切线需四个步骤; 第一步:设切点,求斜率;第二步:写切线(一般用点斜式) 第三步: ;第三步 第一步:设切点,求斜率;第二步:写切线(一般用点斜式) 第三步:根据切点既在 ; 曲线上又在切线上得到一个三次方程;第四步:判断三次方程根的个数; 曲线上又在切线上得到一个三次方程;第四步:判断三次方程根的个数; 3 2 为常数) 时取得一个极值, 8. 已知 f ( x) = x ? ax ? 4 x ( a 为常数)在 x = 2 时取得一个极值, 的取值范围, 上是单调函数; (1)确定实数 t 的取值范围,使函数 f ( x) 在区间 [t , 2] 上是单调函数; 可作曲线 的三条切线, 的取值范围. (2)若经过点 A(2,c) c ≠ ?8 )可作曲线 y = f ( x) 的三条切线,求 c 的取值范围. ( 题型四:函数导数不等式线性规划精彩交汇; 题型四:函数导数不等式线性规划精彩交汇;

9.设函数 9.设函数 g ( x ) =

1 3 1 2 x + ax ? bx(a, b ∈ R ) , 在其图象上一点 F ( x, y ) 处的切线的斜率记为 3 2

f ( x) .
(1)若方程 有两个实根分别为的表达式; (1)若方程 f ( x ) 有两个实根分别为-2 和 4,求 f ( x ) 的表达式; (2)若 上是单调递减函数, 的最小值。 (2)若 g ( x ) 在区间 [ ?1,3] 上是单调递减函数,求 a + b 的最小值。
2 2

1 3 x + ax 2 ? bx(a, b ∈ R ) 3 11 的极大值。 (1)若 y = f (x ) 图象上的是 (1,? ) 处的切线的斜率为 ? 4, 求y = f ( x) 的极大值。 3 上是单调递减函数, 的最小值。 (2) y = f (x ) 在区间 [?1,2] 上是单调递减函数,求 a + b 的最小值。
10.已知函数 10.已知函数 f ( x ) = 作出不等式组表示的平面区域如图 当直线 z = a + b 经过点 P (?

1 3 ,2) 时 z = a + b 取最小值 2 2

题型五: 题型五:函数导数不等式数列的精彩交汇 11. 11.已知函数 f ( x ) =

x 有唯一解。 ( a, b为常数且 a ≠ 0) 满足 f ( 2) = 1 且 f ( x ) = x 有唯一解。 ax + b

的表达式; (1) 求 f (x ) 的表达式; 的通项公式。 (2)记 x n = f ( x n ?1 )(n ∈ N且n > 1) ,且 x1 = f (1) ,求数列 {xn } 的通项公式。 数列{ 的前n (3)记 y n = x n ? x n +1 ,数列{ y n }的前n项和为 S n ,求证 S n <

4 3

12. 12.在数列 {an } 中, a1 = 2, a2 = 8 ,且已知函 f ( x ) = ( n ∈ N )在 x = 1 时取得极值. 时取得极值. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ;
*
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1 (an + 2 ? an +1 ) x3 ? (3an +1 ? 4an ) x 3

(Ⅱ)设 3 bn = ( ?1) a n ,且 b1 + b2 + ? ? ? + bn < m ? 3n( )
n n

2 3

n +1

恒成立, 对于 n ∈ N 恒成立,求
*

的取值范围. 实数 m 的取值范围.

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