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直线方程的点向式


第 27 卷 第 1 期专 辑   2008 年 6 月        数学教学研究 25 直 线方 程 的 点向 式 谢寒冬 福建省晋江市毓英中学   362251 1  直线方程的各种形式都可以统一为点向式 向向量为 ( 0 , A) = ( - B , A) . 故对任 一直线 A x + B y + C = 0 , 它 的方 向向 量 为 ( - B , A) , 它的 法 向 量是 ( A , B) . 2  利用直线 的点向 式方 程和直 线的 法向 量可 以解 设直线 l 经过点 P 0 ( x0 , y0 ) , v = ( a , b) 为其 一 个方 向 向量 ( ab ≠ , P ( x , y) 是直 线 0) 上的任意一点 , 则向 量 P 0 P 与 v 共线 ,根 据向 量共 线的充 要 决高二 ( 上) 教材中的几个教学难点 2. 1   点到直线距离公式的推导 条件 , 存在唯一实数 t ,使 P 0 P = tv , 即 x = x0 + at , y = y0 + bt. x - x0 y - y0 = 将其变形为 a b b( x - x0 ) = a ( y - y0 ) . 点到直线距离公式的推导历 来都是中学 数学的 难点 , 怎 么 想到 构造 直 角三 角形 使 用面 积法 求 解 ? ( 参见新课程人教版第二 册 ( 上 ) ) 教师很难给 学生讲 消去参数 t 得直线方程为 清楚 , 对初学者不易突破 . 若用向 量的有关知 识来推 导学生就比较容易理解和掌握 . 公式   已知点 P 坐标 ( x0 , y0 ) , 直线 l 的 方程是 A x + By + C = 0 , P 到 直 线 l 的 距 离 是 d , 则 d = 易证当 ab = 0 时直线 方程也是 b( x - x0 ) = a ( y - y0 ) , 我们称方程 b( x - x0 ) = a ( y - y0 ) 为直线的 点 │A x0 + By0 + C │ A2 + B 2 向式方程 . 1 ) 经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且斜率 为 k 的直线方程 : 斜 . 证明   M ( x , y) 为直线 A x + By + C = 0 上任 设 一点 , 则有 A x + B y = - C. 向 量 P M = ( x - x0 , y y0 ) 在直线 A x + B y + C = 0 的法 向量 n = ( A , B) 上的 P M n A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) = │n │ A2 + B2 A x + By - ( A x0 + B y0 ) A2 + B2 PM n │n │ = = - C - A x0 - B y0 A2 + B2 . , 率为 k 的直线方 向向量为 ( 1 , k) , 代入点 向式得直 线 方程为 k( x - x0 ) = ( y - y0 ) . 即为直线方程的点斜式. 2 ) 直线斜率 为 k , 在 y 轴 的截 距为 b , 代 入点 向 式得直线方程为 k( x - 0) = ( y - b) , 也就是直线方程 的斜截式 . 3 ) 经过 两 点 P1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 的 直 线 方 射影为 = 程 : 直线方向向量为 ( x2 - x1 , y2 - y1 ) , 代入 点向 式 得直线方程 为 ( y2 - y1 ) ( x -

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