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2015年全国高中数学联赛试题及答案解析


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ,则 A ? B = 2.若函数 f ? x ? ? log a ? ax ? x ?
2<

br />


? ?

3? ? 在区间 ?1, 2? 上递增,则 a 的取值范围是___________. 2?

3.已知 0 ? ? ? ? ?

?
2

,且 tan ? ? 3tan ? ,则 u ? ? ? ? 的最大值为________.

4.在单调递增数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,且 a2 n ?1 , a2 n , a2 n ?1 成等差数列, a2 n , a2 n ?1 , a2 n ? 2 成 等比数列, n ? 1, 2,3,? .那么, a100 ? _________. 5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O ? xyz 内一定点,过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点,则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 . 31 6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边为 a, b, c , a ? 5 , b ? 4 ,又知 cos( A ? B ) ? , 32 . 则 ?ABC 的面积为 7. 已知过两抛物线 C1 : x ? 1 ? ( y ? 1) 2 , C2 : ( y ? 1) 2 ? ?4 x ? a ? 1 的交点的各自的切线互相垂直, 则实数 a 的值为 . 8.若整数 a, b 既不互质,又不存在整除关系,则称 a, b 是一个“联盟”数对;设 A 是集 M ? ?1, 2,? , 2014? 的

n 元子集,且 A 中任两数皆是“联盟”数对,则 n 的最大值为
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分16分)设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ?
2 an ?3 , n ? 1 .求证: 2an



(1) 当 n ? 2 时, an 严格单调递减.(2) 当 n ? 1 时, | an ?1 ? 3 |? 2 3

r2

n

1? r2

n

,这里 r ? 2 ? 3 .

y2 x2 PQ ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 有一个共同的焦点 F , 2 a b 为它们的一条公切线, P 、 Q 为切点,证明: PF ? QF .
10. (本小题满分 20 分) 设椭圆

11. (本小题满分20分)求证:(1)方程 x ? x ? 1 ? 0 恰有一个实根 ? ,并且 ? 是无理数;
3

(2) ? 不是任何整数系数二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a, b, c ? Z , a ? 0) 的根.
2

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 如图, 在锐角 ?ABC 中,AB ? AC , D 、E 分别是边 AB 、AC 的中点,?ADE ,?ADE 的外接圆与 ?BCD 的外接圆交于点 Q (异 的外接圆与 ?BCE 的外接圆交于点 P (异于点 E ) 于点 D ) 。求证: AP ? AQ .

二、 (本小题满分 40 分) 求所有素数 p ,使得 p 2

?k
k =1

p-1

2 p +1

三、 (本小题满分 50 分) 设 n 是一个正整数, a1 , a2 ,? , an , b1 , b2 ,? , bn , c2 , c3 ,? , c2 n 是 4n-1 个正实数,使得 ci ? j ? ai b j , 1 ? i, j ? n .
2

令 m ? max ci ,证明: (
2?i ? 2 n

m ? c2 ? c3 ? ? ? c2 n 2 a ? a ? ? ? an b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?( 1 2 )( ). 2n n n

四、 (本小题满分 50 分) n 个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局.规定胜者得 1 分,负者得 0 分,平局各得 0.5 分.如果 赛后发现任何 m 个棋手中都有一个棋手胜了其余 m-1 个棋手, 也有一个棋手输给了其余 m-1 个棋手, 就称 此赛况具有性质 P(m) .对给定的 m(m≥4) ,求 n 的最小值 f(m) ,使得对具有性质 P(m)的任何赛况, 都有所有 n 名棋手的得分各不相同.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ,则 A ? B = 解:由于 1 + x ? x ,故 1 + x = y .由 log 3 ( x + 2) ? 1 知 x ? 1 ,又因为 1 + x > 0 ,所以 3
1+ x


1+ x

>e > x+2 即 log 3 ( x + 2) < 1 + x 故只能是 y = 1 + x = 1 ,这样 A = {0, 1} , B = {1, log 3 2} ,得 A ? B = {0, 1, log 3 2}

3? ? 在区间 ?1, 2? 上递增,则 a 的取值范围是___________. 2? ? ? ?0 ? a ? 1, ?a ? 1, ? ? 1 1 ?1 ?1 ? 2, , 解得 ? a ? . (ⅱ) 当 a ? 1 时, 只需 ? 解得 a ? 1 . 解: (ⅰ) 当 0 ? a ? 1 时, 只需 ? ? 1, , a 2 a 8 4 2 ? ? 1 1 ? ? a ? ? 0. 4a ? ? 0. ? ? 2 2 ? ? ?1 1? 综上, a 的取值范围是 ? , ? ? ?1, ?? ? . ? 8 4?
2.若函数 f ? x ? ? log a ? ax ? x ?
2

? ?

3.已知 0 ? ? ? ? ?

?
2

,且 tan ? ? 3tan ? ,则 u ? ? ? ? 的最大值为________.

解:因为 0 ? ? ? ? ? 所以 tan ?? ? ? ? ?

?
2

, tan ? ? 3tan ? ,所以 0 ? ? ? ? ?

?
2



1 ? tan ?? ? ? ? tan ?

tan ?? ? ? ? ? tan ?

? tan ? .

2 tan ? ? 1 ? 3tan 2 ?

2 1 ? 3tan ? tan ?

?

? 3 , u 的最大值为 . 6 3

4.在单调递增数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,且 a2 n ?1 , a2 n , a2 n ?1 成等差数列, a2 n , a2 n ?1 , a2 n ? 2 成 解:因为 ?an ? 单调递增, a1 ? 0 ,所以 an ? 0 .因为 a2 n ?1 , a2 n , a2 n ?1 成等差数列, a2 n , a2 n ?1 , a2 n ? 2 成等 比数列,所以 ? 所以 a2 n ? 所以 a2 n 等比数列, n ? 1, 2,3,? .那么, a100 ? _________.

? ? a ? a2 n ? a2 n ? 2 a ? a2 n ?1 a ?a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 2a2 n ? 2n ?2 2n , .因为 a2 n ? 2 n ?1 2 2 2 ? ?a2 n ? a2 n ? 2 ? a2 n ?1
a2 n ? 2 ? a2 n ? 2

,数列 a2 n 是等差数列.易得 a3 ? 6 , a4 ? 9 ,所以 a4 ? a2 ? 1 . 2 2 ? n ? 1 , a2 n ? ? n ? 1? , a100 ? 512 ? 2601 .

?

?

5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O ? xyz 内一定点,过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点,则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 . x y z 解:设此平面的方程为 ? ? ? 1 , a, b, c ? 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距,又点 P 在平面 ABC 内, a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ? ? ,即 ? ,得 VOABC ? abc ? 45 .当 ? ? ? , 故 ? ? ? 1 ,由于 1 ? ? ? ? 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) ? (3, 6,15) 时, VOABC 的最小值为 45.

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边为 a, b, c , a ? 5 , b ? 4 ,又知 cos( A ? B ) ? 则 ?ABC 的面积为

31 , 32

. a b a?b a ?b 解法 1:由等比定理 得 9 ? (sin A ? sin B ) ? 1 ? (sin A ? sin B ) , ? ? ? sin A sin B sin A ? sin B sin A ? sin B A? B A? B A? B A? B A? B A? B cos ? 2sin cos ? 9 tan ,即 tan . 故 18sin 2 2 2 2 2 2 A? B 1 ? tan 2 2 ,又根据 a ? b 知 A ? B ,所以 tan A ? B ? 7 ,从而 因为 cos( A ? B ) ? A B ? 2 21 1 ? tan 2 2 A? B 3 7 C A? B 7 3 7 1 15 7 ,于是 tan ? cot , sin C ? , S ? ab sin C ? . tan ? ? 2 7 2 2 3 8 2 4 解法 2:在边 AB 内取点 A1 ,使 CA1 ? CA ? 4 ,则 ?A1CB ? ?CA1 A ? ?ABC ? A ? B .由条件及余弦定理得,

A1B ? 42 ? 52 ? 2 ? 4 ? 5 ?

CA2 ? A1B 2 ? BC 2 9 31 3 ? ,进一步有 cos A ? ? cos ?CA1B ? ? 1 ? , 32 2 2CA1 ? A1B 16
2

5 7 1 15 7 9 3 ?9? ,所以 S ? chc ? . 因此 c ? AA1 ? A1B ? 2 ? ? 4 ? ? 6 , hc ? 4 1 ? ? ? ? 4 16 2 2 4 ? 16 ? 7. 已知过两抛物线 C1 : x ? 1 ? ( y ? 1) 2 , C2 : ( y ? 1) 2 ? ?4 x ? a ? 1 的交点的各自的切线互相垂直,则实数 a 的 值为 . a a a a 解: 联立曲线 C1 , C2 的方程, 求得交点坐标为 ( , 1 ? ?1 ) , 由对称性, 不妨只考虑交点 A ( , 1 ? ?1 ) 5 5 5 5
处切线是否垂直:在点 A 局部, C1 , C2 所对应的解析式分别为 C1 : y ? 1 ? x ? 1 , C2 : y ? ?4 x ? a ? 1 ? 1 .

1 (?4 x)? 2 ,对 C2 求导得 y? ? ,故两条曲线在点 A 处的斜率分别 ?? ?4 x ? a ? 1 2 x ?1 2 ?4 x ? a ? 1 1 2 2 1 为 与? ,它们垂直当且仅当 ? ? ? ?1 ,解得 a ? 0 . a a a a 2 ?1 ?1 ?1 2 ?1 5 5 5 5 8.若整数 a, b 既不互质,又不存在整除关系,则称 a, b 是一个“联盟”数对;设 A 是集 M ? ?1, 2,? , 2014? 的
对 C1 求导得 y? ?

n 元子集,且 A 中任两数皆是“联盟”数对,则 n 的最大值为 . 解:称这种子集 A 为“联盟子集” ;首先,我们可构造一个联盟子集,其中具有 504 个元素.为此,取 A ? ?2k k ? 504,505,? ,1007? , 以下证, 504 就是 n 的最大值.今设 A 是元素个数最多的一个联盟子集,
若 a j 是集 A 中的最小数, 显然 a j ? 1 , 如果 a j ? 1007 , 则得 2a j ? 2014 , 即 2a j ? M , A ? ?a1 , a2 ,? , an ? , 显然 2a j ? A , (因 2a j 与 a j 有整除关系) .今在 A 中用 2a j 替代 a j ,其它元素不变,成为子集 A? ,则 A? 仍 然是联盟子集, 这是由于对于 A 中异于 a j 的任一元素 ai , 因 a j 与 ai 不互质, 故 2a j 与 ai 也不互质; 再说明 2a j 与 ai 没有整除关系:因 a j ? ai ,则 2a j ? ai ;又若 ai 2a j ,设 2a j ? kai , (显然 k ? 1, 2 ,否则 ai , a j 有整除关 系) ,则 k ? 2 ,于是 ai ? a j ,这与 a j 的最小性矛盾!因此 A? 仍然是联盟子集,并且仍是 n 元集;重复以上 做 法 , 直 至 子 集 中 的 元 素 皆 大 于 1007 为 止 , 于 是 得 到 n 元 联 盟 子 集 B ? ?b1 , b2 ,? , bn ? , 其 中

1007 ? b j ? 2014 .即 B ? ?1008,1009,? , 2014? ,因任两个相邻整数必互质,故在这 1007 个连续正整数 中至多能取到 504 个互不相邻的数,即 n ? 504 .又据前面所述的构造可知, n 的最大值即为 504 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分16分)设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ?
2 an ?3 , n ? 1 .求证: 2an

(1) 当 n ? 2 时, an 严格单调递减.(2) 当 n ? 1 时, | an ?1 ? 3 |? 2 3 解:(1)由 a1 ? 1, an ?1 ?

r2

n

1? r2

n

,这里 r ? 2 ? 3 .

2 an ?3 , n ? 1 及归纳法易得 an ? 0(n ? N * ) ,且 an 均为有理数…………4分 2an

当 n ? 2 时,由均值不等式得, an ? 从而 an ?1 ? an ? (2)由 an ?1 ?

2 an ?1 ? 3 ? 3 ,又因为 an 均为有理数,故当 n ? 2 时 an ? 3 2an ?1

2 an ?3 ?a 2 ? 3 ? an ? n ? 0(n ? 2) ,所以当 n ? 2 时, an 严格单调递减.…………8分 2an 2an

2 an ?3 a2 ? 3 (a ? 3) 2 a2 ? 3 (a ? 3 ) 2 ? 3? n ? 3? n 得 an ?1 ? 3 ? n , an ?1 ? 3 ? n …12分 2an 2an 2an 2an 2an
2

a ? 3 ? an ? 3 ? a ? 3 a ? 3 2n 两式相除得 n ?1 ? 2? 3, ?? ,由此得 n ?1 ,其中 r ? 1 r ? ? ? ? 3 3 an ?1 ? 3 ? a a 3 ? ? a 1 n ?1 ? n ? 2n 2n 1? r r ,所以 | an ?1 ? 3 |? 2 3 解得 an ?1 ? 3 n …………16分 2n 1? r 1? r2 y2 x2 2 10. (本小题满分 20 分) 设椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 与抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 有一个共同的焦点 F , PQ a b 为它们的一条公切线, P 、 Q 为切点,证明: PF ? QF . ? p? 证:设 P ? x1 , y1 ? 在抛物线上, Q ( x2 , y2 ) 在椭圆上,焦点 F ? 0, ? ,则抛物线切线方程为 x1 x ? p ? y ? y1 ? , ? 2? 2 y y xx a x2 b 2 y2 a 2b 2 椭圆切线方程为 22 ? 22 ? 1 它们为同一直线,? ? ? ? y1 y2 ? ?a 2 , x1 x2 ? 2b 2 . ① a b ?p x1 py p p 1 2 p y1 ? y2 ? p ? ? y1 ? y2 ? ? a 2 2? 2 ?4 2 ? k FP ? k FQ ? ② ………… 5 分 x1 x2 2b 2
设公切线 PQ 方程为 y ? kx ? m ,代入抛物线方程并由 ? ? 0 ? m ? ?

pk 2 pk 2 , ? PQ : y ? kx ? , 2 2

? x1 ? pk ? ………… 10 分 与抛物线切线方程比较可得 ? 1 y1 ? pk 2 ? ? 2

p2k 4 将公切线方程代入椭圆方程,并令 ? ? 0 ? m ? a ? k b ? ? a 2 ? k 2b 2 ? p 2 k 4 ? 4b 2 k 2 ? a 2 ? 0 , 4 p p 2 ? 4b 2 ? 两曲线有相同焦点,? c ? ? p 2 ? 4c 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) ,代入上式解得 k 2 ? ………… 15 分 p2 2
2 2 2 2

1 p 2 ? 4b 2 p 2 ? 4b 2 2a 2 a2 2 pa 2 2 pa 2 p , y2 ? ? ? ? 2 ? y1 ? p ? ? ? ?? 2 ?? , 2 2 2 2 y1 p ? 4b 2 2p p p 4a ? 4b ? 4b 2 4a 2 ? p 2 2b 2 ? y1 +y2 ? ? ,代入②式,得? k FP ? k FQ 2p p ? PF ? QF . ………… 20 分

1 2 p 2b 2 p ? ? ? a2 a 2 ? b2 ? b2 ? a 2 4 2 p ? ? ? ?1 2b 2 2b 2

11. (本小题满分20分)求证:(1)方程 x ? x ? 1 ? 0 恰有一个实根 ? ,并且 ? 是无理数;
3

(2) ? 不是任何整数系数二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a, b, c ? Z , a ? 0) 的根.
2

证明: (1)设 f ( x) ? x ? x ? 1 ,则 f '( x) ? 3 x ? 1 . f ( x) 在 ? ??, ?
3 2

? ? ?

? 3? 3 3? , 上单调递增,在 ? ? ? ? ? ? ? 上单 3 ? ? 3 3 ?

? 3 ? 3 2 3 2 ? 3 , ?? ? ? 上单调递增,故 f极大 ( x) ? f (? 3 ) ? 3 3 ? 1 ? 0, f极小 ( x) ? f ( 3 ) ? ? 3 3 ? 1 ? 0 ? ? 3 再由 f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 5 ? 0 知,方程 x ? x ? 1 ? 0 恰有一个实根 ? ? ?1, 2 ? ………… 5 分
调递减,在 ? 假设 ? ?

m 2 3 3 2 ,其中 m, n 是互素的正整数,则 m ? n (m ? n) ,故 n m 于是 n ? 1 ,即 ? ? m 是整数,这与 n ? ? ?1, 2 ? 矛盾,由此得 ? 是无理数………… 10 分
2 3 2

(2)假设 ? 还满足 a? ? b? ? c ? 0 ( a, b, c ? Z , a ? 0) ①,则又因为 ? ? ? ? 1 ? 0 ②,①乘以 ? 减去②乘 以 a 得 b? ? ( a ? c)? ? a ? 0 ,将其乘以 a 减去①乘以 b 得 a ? ac ? b
2 2 2 2

?

2

?? ? a

2

? bc ? 0 ………… 15 分
a2 c

由于 ? 是无理数 a, b, c ? Z , 所以 a ? ac ? b ? a ? bc ? 0 ,因为 a ? 0 ,所以 bc ? 0 , b ? 代入 a ? ac ? b ? 0 得
2 2

a3 a a ? ? 1 ? 0 从而 ? ? 这与 ? 是无理数矛盾, 3 c c c 2 因此 ? 不是任何整数系数二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a, b, c ? Z , a ? 0) 的根. ………… 20 分

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 加试参考答案 一、 (本小题满分 40 分) 如图, 在锐角 ?ABC 中,AB ? AC , D 、E 分别是边 AB 、AC 的中点,?ADE 的外接圆与 ?BCE 的外接圆交于点 P (异于点 E ) ,?ADE 的外接圆与 ?BCD 的外接圆交于点 Q (异 于点 D ) 。求证: AP ? AQ .

二、 (本小题满分 40 分) 求所有素数 p ,使得 p 2

?k
k =1

p-1

2 p +1

p -1 解:对 k = 1, 2, ? , ,有 k 2 p = k 2 (mod p ) (费马小定理) ,故 2 k 2 p +1 + ( p - k ) 2 p +1 ? k 2 p +1 + (2 p + 1) pk 2 p - k 2 p +1 ? pk 2 p ? pk 2 (mod p 2 ) ,
求和可知, ? k
k =1 p-1 2 p +1

? p ? ? k 2 = p2 ?
k =1

p -1 2

p 2 -1 (mod p 2 ) . 24

当且仅当 24 p 2 -1 时,素数 p 满足 p 2

?k
k =1

p-1

2 p +1

,显然 p ? 5 .

当 p ? 5 时, p 2 -1 = ( p + 1)( p -1) 必为 3 和 8 的倍数,故 24 p 2 -1 . 因此所求素数 p 是一切大于 3 的素数.

三、 (本小题满分 50 分) 设 n 是一个正整数, a1 , a2 ,? , an , b1 , b2 ,? , bn , c2 , c3 ,? , c2 n 是 4n-1 个正实数,使得 ci ? j ? ai b j , 1 ? i, j ? n .
2

令 m ? max ci ,证明: (
1? i ? n

m ? c2 ? c3 ? ? ? c2 n 2 a ? a ? ? ? an b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?( 1 2 )( ). 2?i ? 2 n 2n n n ' ' ' 证明:令 X ? max ai , Y ? max bi ,分别用 ai ? ai / X , bi ? bi / Y , ci ? ci / XY 代替 ai , bi , ci ,因此我们可以
1? i ? n

假设 X ? Y ? 1 .下面我们证明 m ? c2 ? ? ? c2 n ? a1 ? ? ? an ? b1 ? ? ? bn 故

(*)

m ? c2 ? ? ? c2 n 1 a1 ? ? ? an b1 ? ? ? bn ) 由平均不等式即得所需结论. ? ( ? 2n 2 n n 我们将证明 ?r ? 0, (*) 中左边大于 r 的项不少于右边,因此对每个 k,左边第 k 大的项比右边第 k 大的项大.
这就证明了(*). 若 r ? 1 ,则(*)右边没有大于 1 的项; 若 r ? 1 ,令 A ? {1 ? i ? n | ai ? r}, a ?| A |, B ? {1 ? i ? n | bi ? r}, b ?| B |, 因为 X ? Y ? 1 ,所以 a 和 b 至少是 1.又 ai ? r , bi ? r , 故 ci ? j ?

ai b j ? r. 所以 C ? {2 ? i ? 2n | ci ? r} ? A ? B ? {? ? ? | ? ? A, ? ? B} .

因为若 A ? {i1 ,? , ia }, B ? { j1 ,? , jb }, i1 ? ? ? ia , j1 ? ? ? jb ,则下面 a ? b ? 1 个数互不相同且属于 A ? B :

i1 ? j1 , i1 ? j2 ,? , i1 ? jb , i2 ? jb ,? , ia ? jb 所以 | C |? a ? b ? 1 .当然 | C |? 1 .所以对某个 k, ck ? r .所以 M ? r . 所以在(*)中左边至少有 a ? b 项大于 k,而右边只有 a ? b 项大于 k.(*)得证.
四、 (本小题满分 50 分) n 个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局.规定胜者得 1 分,负者得 0 分,平局各得 0.5 分.如果 赛后发现任何 m 个棋手中都有一个棋手胜了其余 m-1 个棋手, 也有一个棋手输给了其余 m-1 个棋手, 就称 此赛况具有性质 P(m) .对给定的 m(m≥4) ,求 n 的最小值 f(m) ,使得对具有性质 P(m)的任何赛况, 都有所有 n 名棋手的得分各不相同. 证: 先证明两个引理. 引理 1 当 n≥m 时,如果 n 个棋手的赛况具有性质 P(m) ,则必有一个棋手全胜. 当 n=m 时,命题显然成立. 假设命题对 n 成立,则对 n+1 个棋手,从中任取 n 个棋手,由归纳假设,这 n 个棋手中必有一个棋手全 胜,不妨设 A1,A2,…,An 中 A1 全胜. 对另一个棋手 An+1: 若 A1 胜 An+1,则在 n+1 个棋手中,A1 全胜; 若 A1 平 An+1,考察棋手 A1,A2,…,An-1,An+1,这 n 个棋手中没有人全胜,不可能; 若 An+1 胜 A1,考察棋手 A1,A3,A4,…,An,An+1,这 n 个棋手中全胜的只能是 An+1,特别地,An+1 胜 A3,A4,…,An.同理,An+1 也胜 A2,所以在这 n+1 个棋手中 An+1 全胜. 由归纳原理知,命题对任意 n≥m 成立. 类似地可证: 引理 2 当 n≥m 时,如果 n 个棋手的赛况具有性质 P(m) ,则必有一个棋手全败. 回到原题.我们来证明: 当 n≥2m-3 时,所有棋手的得分必各不相同. 由引理 1,有一个棋手 A1 胜了其余 n-1 个棋手,有一个棋手 A2 胜了除 A1 外的 n-2 个棋手,……,有 一个棋手 An-m+1 胜了除 A1,A2,…,An-m 外的 m-1 个棋手. 由引理 2,有一个棋手 An 负于其余 n-1 个棋手,有一个棋手 An-1 负于除了 An 外的 n-2 个棋手,……, 有一个棋手 An-m+3 负于除 An,An-1,…,An-m+4 外的 n-m+2 个棋手,另外还有一棋手为 An-m+2. 这样,这 n 个棋手 A1,A2,…,An,编号小的棋手都战胜了编号大的棋手,所以他们的得分为 n-1,n -2,…,1,0,各不相同. 对 n=2m-4,设 n 个棋手水平为: 1,2,…,m-3,m-2,m-2,m-1,…,2m-5, 其中水平编号小的棋手胜水平编号大的棋手,编号相等的棋手打平.则对任取 m 个棋手,必有一最小编号为 i(1≤i≤m-3) ,另一最大编号为 j(m-1≤j≤2m-5) ,从而在这 m 个棋手中编号为 i 的棋手全胜,编号为 j 的棋手全败,所以这 n 个棋手具有性质 P(m) ,但其中有两个棋手的得分相同. 综上可知,f(m)=2m-3.


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2015年全国高中数学联赛试题(B)卷(扫描版,解析版)

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2015年全国高中数学联赛参考答案(A卷word版本)

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