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必修二 1.3 空间几何体的表面积和体积同步练习和详细答案


1.3 空间几何体的表面积和体积

【知识总结】
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱 锥 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l ch 各侧面积之和 全面积(S 全) S 侧+2S 底 体 积(V) S 底·h=S 直截面·h S 底·h

1 ch′ 2
各侧面面积

之和

S 侧+S 底

1 S 底·h 3
1 h(S 上底+S 下底+ 3

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧 棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 S侧 S全 V 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2

球 4π R
2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、 h 分别表示母线、 高, r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径, r1、 r2 分别表示圆台 上、 下底面半径,R 表示半径。

【知能训练】
A:多面体的表面积和体积 一.选择题 1. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1A=AB=2, BC=1, ∠ABC=90° , 若规定主(正)视方向垂直平面 ACC1A1,则此三棱柱的左视图的面积为 ( A.
4 5 5

) B. 2 5 C. 4 D. 2

2.某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底 边长为 8、 高为 4 的等腰三角形, 侧视图 (或称左视图) 是一个底边长为 6、 高为 4 的等腰三角形,则该几何体的表面积为( A . 80 B . 24 2+88 C . 24 2+40 ) C . 1 : ( 2? 1 ) D . 1 : ( 2+1 ) ) ) D . 118

3.一个棱锥被平行于底面的平面所截,如果截面面积与底面面积之比为 1:2,则截面把棱 锥的一条侧棱分成的两段之比是( A. 1: 4 B. 1: 2

4.正六棱台的两底边长分别为 1cm,2cm,高是 1cm,它的侧面积为(

A.

9 7 2

cm 2

B . 9 7cm 2

C.

2 3

3cm 2

D . 3 2cm 2

5.要制作一个容积为 4m3,高为 1m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( A . 80 元 B . 120 元 C . 160 元 ) D . 240 元

6.(文) 四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形,锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点,四 棱锥及其三视图如图(AB 平行于主视图投影平面)则四棱锥 S-ABCD 的体积=( )

A . 24

B . 18

C. 3 5

8

D. 8 )

7.某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为( A . 48 B . 56 C . 64 D . 72

8.各棱长均为 a 的三棱锥的表面积为( ) A. 4 3a 2 B. 3 3a 2 C. 2 3a 2 为 1 的正方形,则此四棱锥的体积为( A. 2 B. 6 2 ) C. 3
1

D . 3a 2

9.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长

D. 2 2

10.如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1:V2= 值等于 . . . 11.将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起,以 A,B,C,D 为顶点的三棱锥的体积最大 12.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 AA1=8.若 AA1B1B 水平放置时,液面恰 好过 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点,则当底面 ABC 水平放置时,液面的高为 则三棱锥 P-ANC 与四棱锥 P-ABCD 的体积比为 . 13.四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形,且 PD 垂直于底面 ABCD,N 为 PB 中点,

14.已知某四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如图所示.若该四棱锥的侧视图 为直角三角形,则它的体积为 . 15. 如图所示, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=AC=AA1=2, BC=2 2, 且∠A1AB=∠A1AC=60° , 则该三棱柱的体积是 .

B:旋转体的表面积和体积 1.如果圆锥的底面半径为 2,高为 2,那么它的侧面积是( ) A . 4 3π B . 2 2π C . 2 3π D . 4 2π 2.一圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆,则该圆锥的全面积是( A. 5π 比是 ( A. 1: 2 ) B. 2: 3
2

) D. 2π

B. 4π

C. 3π

3.如果圆锥的轴截面是正三角形(此圆锥也称等边圆锥),则此圆锥的侧面积与全面积的 C. 1: 3 D. 2: 3 ) D. 以 上 都 不 对 )

4.圆锥侧面积为全面积的3,则圆锥的侧面展开图圆心角等于( A . 3π
2

B. π

C. 2π

5.圆台的上、下底面半径和高的比为 1:4:4,母线长为 10,则圆台的侧面积为( A . 81 π B . 100 π C . 14 π D . 169 π

6.已知球的直径 SC=8,A,B 是该球球面上的两点,AB=2 3,∠SCA=∠SCB=60° ,则 三棱锥 S-ABC 的体积为( ) A. 2 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3

7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 S1、S2,则 S1: S2=( A. 1: 1 ) B. 2: 1 C. 3: 2 D. 4: 1 ) D . 1 : 16

8.若两个球的表面积之比为 1:4,则这两个球的体积之比为( A. 1: 2 B. 1: 4 C. 1: 8

9. 体积相等的正方体、 球、 等边圆柱 (即底面直径与母线相等的圆柱) 的全面积分别为 S1, S2,S3,那么它们的大小关系为( A. S1< S2< S3 B. S1< S3< S2 二.填空题(共 5 小题) 10.圆锥和圆柱的底面半径和高都是 R,则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比 为 . ) C. S2< S3< S1 D. S2< S1< S3

11.已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为 3π 和 π 的矩形,则 该圆柱的体积是 . cm2. . 12.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为 40cm,母线长最 短 50cm,最长 80cm,则斜截圆柱的侧面面积 S= 13.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于

14.已知一圆柱内接于球 O,且圆柱的底面直径与母线长均为 2,则球为 O 的表面积为 . 15.已知 A,B,C 是球面上三点,且 AB=AC=4cm,∠BAC=90° ,若球心 O 到平面 ABC 的距离为 2 2,则该球的表面积为 离为 1,此时四面体 ABCD 外接球表面积为 三.解答题(共 3 小题) 的直径是 6cm,圆柱筒长 2cm. (1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到 0.1)? (2) 要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质, 如果每平方米需要涂胶 100 克,共需胶多少? cm3. . 11.正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距

16.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球

17.(文)如图,球 O 的半径长为 10 3. (1)求球 O 的表面积; (2)求球 O 的体积; (3)若球 O 的小圆直径 AB=30,求 A、B 两点的球面距离.

18.设底面直径和高都是 4 厘米的圆柱的内切球为 O. (1)求球 O 的体积和表面积; (2)与底面距离为 1 的平面和球的截面圆为 M,AB 是圆 M 内的一条弦,其长为 2 3,求 AB 两点间的球面距离.

参考答案: A: 1、A 2、B 3、C 4、A 5、C 6、D 10、

7、C 8、D

9、D

11、

12 、 解 : 不 妨 令 此 三 棱 柱 为 直 三 棱 柱 , 如 图 当 侧 面 AA 1 B 1 B 水 平 放 置 时 , 水 的 形 状 为 四 棱 柱 形 , 底 面 是 梯 形 . 设 △ ABC 的 面 积 为 S , 则 S
梯形

ABFE

= S , V 水 = S ? AA 1 =6S .
4 4

3

3

当 底 面 ABC 水 平 放 置 时 , 水 的 形 状 为 三 棱 柱 形 , 设 水 面 高 为 h , 则 有 V 水 =Sh , ∴ 6S=Sh , ∴ h=6 . 故 当 底 面 ABC 水 平 放 置 时 , 液 面 高 为 6 . 故答案为:6 13 、 1:4 14 、 4 3

15 、 2 2

B: 1、 C 2、 C 3、 B 10 、 (1+ 2) : 4
11 、

4、 B

5、 B

6、 D

7、 C

8、 C

9、 C

12、解 : 将 相 同 的 两 个 几 何 体 , 对 接 为 圆 柱 , 则 圆 柱 的 侧 面 展 开 ,
侧 面 展 开 图 的 面 积 S=[ ( 50+80 ) × 20 π × 2]/2=2600 π cm 2 . 故 答 案 为 : 2600 π 13 、 3 14 、 8 π
15 、 64 π

16 、 解 : ( 1 ) ∵ 该 “ 浮 球 ” 的 圆 柱 筒 直 径 d=6cm ,
∴ 半 球 的 直 径 也 是 6cm , 可 得 半 径 R=3cm , ∴两个半球的体积之和为 V 而 V
圆柱 球

= π R 3 = π?27 = 36π cm 3 ? ( 2 分 )
3 3

4

4

= π R 2 ? h = π×9×2 = 18π cm 3 ? ( 2 分 )
圆柱

∴ 该 “ 浮 球 ” 的 体 积 是 : V=V 球 +V

=36 π +18 π =54 π ≈ 169.6cm 3 ? ( 4 分 )

( 2) 根 据 题 意 , 上 下 两 个 半 球 的 表 面 积 是

S

球表

= 4π R 2 = 4×π×9 = 36π cm 2 ? ( 6 分 )
圆柱侧

而“浮球”的圆柱筒侧面积为:S ∴1 个“浮球”的表面积为 S =

=2 π Rh=2 × π × 3 × 2=12 π cm 2 ? ( 8 分 )

36 π +12 π 10



48 π 10

m2
48 π 10

因 此 , 2500 个 “ 浮 球 ” 的 表 面 积 的 和 为 2500 S = 2500× ∵ 每 平 方 米 需 要 涂 胶 100 克 ,

= 12π m 2 ? ( 10 分 )

∴ 总 共 需 要 胶 的 质 量 为 : 100 × 12 π =1200 π ( 克 ) ? ( 12 分 ) 答 : 这 种 浮 球 的 体 积 约 为 169.6cm 3 ; 供 需 胶 1200 π 克 . ? ( 13 分 ) 17 、 解 : ( 1 ) 球 的 表 面 积 为 4 π r 2 =1200 π ;

?(4 分)

( 2 ) 球 的 体 积 V = π r = 4000 3π ;
3

4

3

?(8 分)

( 3 ) 设 球 心 为 O , 在 △ AOB 中 , 球 O 的 小 圆 直 径 AB=30 , 球 O 的 半 径 长 为 10 3. 解 得 ∠ AOB =
2π 3

, 所 以 A、 B 两 点 的 球 面 距 离 为

20 π 3

π.

? ( 15 分 )

18 、 解 : ( 1 ) ∵ 底 面 直 径 和 高 都 是 4 厘 米 的 圆 柱 的 内 切 球 为 O , ∴ 球 O 的 半 径 为 2cm , ∴ 球 O 的 体 积 为 π?2 =
3 4 3 32 π ,表面积 3

4 π ? 2 2 =16 π ;

( 2 ) ∵ AB 是 圆 M 内 的 一 条 弦 , 其 长 为 2 3, ∴ ∠ AOB= , ∴ AB 两 点 间 的 球 面 距 离 为
3 2π 4π 3




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