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随机事件的概率(教师用)


姓名 学科 阶段 课题 名称 教学 目标 教学 重点 教学 难点 数学

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2016-12-8 人教版

第( 48 )周 观察期:□

条件概率与独立事件概率
大纲教学目标

上课时间

2016-12-9

1、 理解并掌握随机事件概率的求解 2、 理解并掌握独立事件的求解

个性化教学目标 学生知识点应用能力的提升 独立事件概率的求法 独立事件概率的求法

第一部分:随机事件的概率
一、事件
1.在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件. 2.在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件. 3.在条件 S 下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件.

二、概率和频率
1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据. 2.在相同条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现 教学 过程 nA 的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n 3.对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A).

三、事件的关系与运算
文字表示 包含关系 相等关系 并事件(和事 件) 如果事件 A 发生, 则事件 B 一定发生, 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 若 B?A,且 A?B,那么称事件 A 与事件 B 相等 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生, 则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) 符号表示 B?A(或 A?B) A=B A∪B(或 A+B)

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交事件(积事 件) 互斥事件 对立事件

若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生, 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) 若 A∩B 为不可能事件,则事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件, A∪B 为必然事件, 那么称 事件 A 与事件 B 互为对立事件

A∩B(或 AB) A∩B=?

四、概率的几个基本性质
1.概率的取值范围:0≤P(A)≤1. 2.必然事件的概率 P(E)=1. 3.不可能事件的概率 P(F)=0. 4.概率的加法公式: 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). 例 1.掷一枚均匀的硬币两次,事件 M:一次正面朝上,一次反面朝上;事件 N:至少一 次正面朝上.则下列结果正确的是( 1 A.P(M)= 3 1 C.P(M)= 3 1 P(N)= 2 3 P(N)= 4 ) 1 B.P(M)= 2 1 D.P(M)= 2 1 P(N)= 2 3 P(N)= 4

解析:选 D 由条件知事件 M 包含:(正、反)、(反、正).事件 N 包含:(正、正)、(正、 1 3 反)、(反、正).故 P(M)= ,P(N)= . 2 4 例 2.(2012· )从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事 件是( ) B.至少有一个红球与都是白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球

A.至少有一个红球与都是红球 C.至少有一个红球与至少有一个白球

解析:选 D A 中的两个事件不互斥,B 中两事件互斥且对立,C 中的两个事件不互斥, D 中的两个互斥而不对立. m m 例 3.在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率为 ,当 n 很大时,P(A)与 的关系 n n 是( ) m A.P(A)≈ n m B.P(A)< n m C.P(A)> n m D.P(A)= n

解析:选 A 事件 A 发生的概率近似等于该频率的稳定值. 例 4. 2012 年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决赛.中国选手获胜的概率为
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0.41.战平的概率为 0.27,那么中国选手不输的概率为________. 解析:中 国 选 手 不 输 的 概 率 为 0.41+0.27=0.68. 答案:0.68 例 5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 a<b 的 概率为________. 解析: (文 ) 取 出 的 两 个 数 用 数 对 表 示 , 则 数 对 (a, b) 共 有 15 种, 即: (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), (5,3).其 中 a<b 的 情 形 有 (1,2),(1,3),(2,3),共 3 种, 3 1 故 所 求 概 率 P= = . 15 5 (理 ) 从 {1,2,3,4,5}中 任 取 一 数 a,从 {1,2,3}中 任 取 一 数 b,共 有 5×3=15 3 1 种 取 法,满 足 a<b 的 有(1,2),(1,3),(2,3)共 3 种,故 所 求 概 率 P= = . 15 5 1 答案: 5

巩固练习:
1.(2012· 泰安月考)在一次摸彩票中奖活动中,一等奖奖金为 10 000 元,某人摸中一等 奖的概率是 0.001,这是指( )

A.这个人抽 1 000 次,必有 1 次中一等奖 B.这人个每抽一次,就得奖金 10 000×0.001=10 元 C.这个人抽一次,抽中一等奖的可能性是 0.001 D.以上说法都不正确 解析:选 C 摸一次彩票相当于做一次试验,某人摸中一等奖的概率是 0.001,只能说明 这个人抽一次,抽中一等奖的可能性是 0.001,而不能说这个人抽 1 000 次,必有 1 次中一等 奖,也不能说这个人每抽一次,就得奖金 10 000×0.001=10 元,因此选 C.

2.(2012· 郑州模拟)抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点,事件 B 1 1 为出现 2 点,已知 P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率为________. 2 6 1 1 2 解析:因为事件 A 与事件 B 是互斥事件,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = . 2 6 3 2 答案: 3 3.4 一盒中装有大小和质地均相同的 12 个小球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个绿球.从中随机取出 1 个球,求:
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(1)取出的小球是红球或黑球的概率; (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率. [自主解答] 记事件 A={任取 1 球为红球}, 事件 B={任取 1 球为黑球}, 事件 C={任取 1 球为白球},事件 D={任取 1 球为绿球},∴P(A)= 1 = . 12 5 1 9 3 (1)取出的小球是红球或黑球的概率为 P1=P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = = . 12 3 12 4 (2)法一:取出的小球是红球或黑球或白球的概率为 P2=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) 5 1 1 11 = + + = . 12 3 6 12 法二:“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取出的小球为绿球”互为对立事件,故 1 11 所求概率为 P2=1-P(D)=1- = . 12 12 4.某战士射击一次,问: (1)若中靶的概率为 0.95,则不中靶的概率为多少? (2)若命中 10 环的概率是 0.27,命中 9 环的概率为 0.21,命中 8 环的概率为 0.24,则至少 命中 8 环的概率为多少?不够 9 环的概率为多少? 解:(1)记中靶为事件 A,不中靶为事件 A ,根据对立事件的概率性质,有 P( A )=1-P(A)=1-0.95=0.05. 故不中靶的概率为 0.05. (2)记命中 10 环为事件 B,命中 9 环为事件 C,命中 8 环为事件 D,至少 8 环为事件 E, 不够 9 环为事件 F. 由 B、C、D 互斥,E=B∪C∪D,F= B∪C , 根据概率的基本性质,有 P(E)=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.27+0.21+0.24=0.72; P(F)=P( B∪C )=1-P(B∪C)=1-(0.27+0.21)=0.52. 所以至少 8 环的概率为 0.72,不够 9 环的概率为 0.52. 5 4 1 2 1 ,P(B)= = ,P(C)= = ,P(D) 12 12 3 12 6

第二部分:事件相互的独立性
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一、相互独立事件及其同时发生的概率
1、事件的相互独立性 设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立。即事件 A(或 B)是否发生,对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样两个事件叫做相互独立事件。 注明: ①区别:互斥事件和相互独立事件是两个不同概念: 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生; 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。 ②如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也是相互独立的 2、相互独立事件同时发生的概率公式: “第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件,它的发生就是事件 A,B 同时发生,将它记 作 A?B, 两个相互独立事件 A,B 同时发生,即事件 A?B 发生的概率为: P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B? 这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件的概率的积。 一般地,如果事件 A1,A2??,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个 事件发生的概率的积,即 P ? A1 ? A2 ?An ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ??P ? An ?

相互独立事件同时发生的概率
例 1、(2011· 广东高考)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠 军, 乙队需要再赢两局才能得冠军, 若两队胜每局的概率相同, 则甲队获得冠军的概率为( 1 A. 2 3 B. 5 2 C. 3 3 D. 4 )

1 解析: 问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率 P1= ;第二类,需比赛 2 局, 2 1 1 1 3 第一局甲负,第二局甲赢,其概率 P2= × = .故甲队获得冠军的概率为 P1+P2= . 2 2 4 4

例 2、某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人 100 米跑(互 2 3 1 不影响)的成绩在 13 s 内(称为合格)的概率分别为 , , ,若对这三名短跑运动员的 100 m 跑 5 4 3 的成绩进行一次检测,则 (1)三人都合格的概率; (2)三人都不合格的概率; (3)出现几人合格的概率最大.

解:记“甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格”分别为事件 A,B,C,显然事件 A,B,C
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2 3 1 相互独立,则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= .设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k=0,1,2,3) 5 4 3 2 3 1 1 (1)三人都合格的概率:P3=P(ABC)=P(A)· P(B)· P(C)= × × = . 5 4 3 10 (2)三人都不合格的概率:P0=P( A (3)恰有两人合格的概率: 2 3 2 2 1 1 3 3 1 23 P2=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= × × + × × + × × = . 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60 1 23 1 25 5 恰有一人合格的概率:P1=1-P0-P2-P3=1- - - = = . 10 60 10 60 12 综合(1)(2)(3)可知 P1 最大.所以出现恰有 1 人合格的概率最大. B 3 1 2 1 C )=P( A )· P( B )· P( C )= × × = . 5 4 3 10

巩固练习: 1.一个袋子中有 3 个白球,2 个红球,每次从中任取 2 个球,取出后再放回,求: (1)第 1 次取出的 2 个球都是白球,第 2 次取出的 2 个球都是红球的概率; (2)第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球,第 2 次取出的 2 个球都是白球的 概率. 解析: 记:“第 1 次取出的 2 个球都是白球”的事件为 A,“第 2 次取出的 2 个 球都是红球”的事件为 B,“第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球”的事件为 C,很 明显,由于每次取出后再放回,A、B、C 都是相互独立事件. C32 C22 3 1 3 (1)P(AB)=P(A)P(B)= 2· 2= · = . C5 C5 10 10 100 3 故第 1 次取出的 2 个球都是白球,第 2 次取出的 2 个球都是红球的概率是 . 100 C31C21 C32 6 3 9 (2)P(CA)=P(C)P(A)= · = × = C52 C52 10 10 50 故第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球,第 2 次取出的 2 个球都是白球的概率 9 是 . 50 2 3 2.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工 3 4 为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( 1 A. 2 5 B. 12 1 C. 4
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)

1 D. 6

解析: 设事件 A:甲实习生加工的零件为一等品; 2 3 事件 B:乙实习生加工的零件为一等品,则 P(A)= ,P(B)= , 3 4 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为: 3 2 3 5 2 1- ?+?1- ?× = . P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)= ×? 3 ? 4? ? 3? 4 12 1 1 3.从甲袋中摸出 1 个红球的概率是 ,从乙袋中摸出 1 个红球的概率是 ,从两袋中各摸 3 2 出 1 球,则 (1)两个球都是红球的概率是________; (2)两个球都不是红球的概率是________; (3)两个球不都是红球的概率是________; (4)两个球至少有 1 个红球的概率是________. 解析: 设 A 表示“从甲袋摸出一球是红球”,B 表示“从乙袋中摸出一球是红球”, 1 1 2 1 则 P(A)= ,P(B)= ,P( A )= ,P( B )= . 3 2 3 2 1 1 1 于是两个球都是红球的概率为 P1=P(AB)=P(A)P(B)= × = . 3 2 6 两个球都不是红球的概率为 P2=P( A 2 1 1 B )=P( A )P( B )= × = . 3 2 3

1 5 两个球不都是红球的概率为 P3=1-P(AB)=1- = . 6 6 两个球中至少有 1 个红球的概率为 P4=1-P( A 1 答案: (1) 6 1 (2) 3 5 2 (3) (4) 6 3 1 2 B )=1- = . 3 3

4.甲、乙 2 人各进行 1 次射击,如果 2 人击中目标的概率都是 0.6,计算: (1)2 人都击中目标的概率; (2)其中恰有 1 人击中目标的概率; (3)至少有 1 人击中目标的概率. 解析: (1)记: “甲射击 1 次,击中目标”为事件 A, “乙射击 1 次,击中目标” 为事件 B,则“2 人都击中目标”为事件 A·B 。又∵P(A)=P(B)=0.6 ∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36.

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(2)“2 人各射击 1 次,恰有 1 人击中目标”就是 A· B 与 A ·B 有一个发生,则事件发 生,因此其概率为 P(A· B )+P( A · B) 又∵P( B )=1-0.6=0.4,P( A )=1-0.6=0.4, ∴P(A·B )+P( A · B)=P(A)· P( B )+P( A )· P(B) =0.6×(1-0.6)+(1-0.6)×0.6=0.24+0.24=0.48. (3)方法一: “2 人各射击 1 次, 至少有 1 人击中目标”即为“2 人都击中目标”与“恰有 1 人击中目标”有一发生,则事件发生,因此其概率 P=P(A· B)+[P(A·B )+P( A · B)]=0.36+0.48=0.84. 方法二: “2 人各射击 1 次, 至少有 1 人击中目标”与“2 人都未击中目标”互为对立事件. 而 P( A ·B )=P( A )· P( B )=(1-0.6)×(1-0.6)=0.4×0.4=0.16. 因此,至少有 1 人击中目标的概率 P=1-P( A ·B )=1-0.16=0.84.

独立事件与互斥事件的综合应用
例 1、(2011·湖北高考)如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常 工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次 为 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( )

A.0.960

B.0.864

C.0.720

D.0.576

解析: 方法一:由题意知 K,A1,A2 正常工作的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)=0.8, P(A2)=0.8,∵K,A1,A2 相互独立, ∴A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 P( A1 A2)+P(A1 A2 )+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+ 0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96. ∴系统正常工作的概率为 P(K)[P( A1 A2)+P(A1 A2 )+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864. 方法二:A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 1-P( A1 0.96,∴系统正常工作的概率为 P(K)[1-P( A1 A2 )=1-(1-0.8)(1-0.8)= 答案: B

A2 ]=0.9×0.96=0.864.

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例 2、某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9, 数学为 0.8,英语为 0.85,问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少? [规范解答] 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A,B,C,则 A、B、 C 两两相互独立且 P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85 (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 A P( A B B C 表示

C )=P( A )P( B )P( C )=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]

=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003 答:三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003. (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用( A BC)∪(A B C)∪(AB C )表示. 由于事件 A BC,A B C 和 AB C 两两互斥,根据概念加法公式和相互独立事件的意义,所 求的概率为 P( A BC)+P(A B C)+P(AB C ) =P( A )P(B)P(C)+P(A)P( B )P(C)+P(A)P(B)P( C ) =[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)] =(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329 答:恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329. 变式练习 1、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5,购买乙种商品的概率为 0.6, 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求: (1)进入商场的 1 位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率; (2)进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (3)进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率. 解析: 记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”,则 P(A)=0.5; 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”,则 P(B)=0.6;

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记 C 表示事件“进入商场的 1 位顾客,甲、乙两种商品都购买” ; 记 D 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种” ; 记 E 表示事件“进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”. (1)易知 C=AB,则 P(C)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. (2) 易知 D =A B ∪ A B ,则 P(D) =P(A B ∪ A B) =P(A B ) + P( A B) = P(A)P( B ) + P( A )P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. (3)易知 E = A B ,则 P( E )=P( A B )=P( A )P( B )=0.5×0.4=0.2,

故 P(E)=1-P( E )=0.8.

2.生产一种零件,甲车间的合格率是 96%,乙车间的合格率是 97%,从它们生产的零件中各 抽取 1 件,都抽到合格品的概率是多少?

3.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖 号码, 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。 如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05 , 求两次抽奖中以下事件的概率: (1)都抽到某一指定号码; (2)恰有一次抽到某一指定号码; (3)至少有一次抽到某一指定号码。

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第三部分:n 次重复独立事件
问题:分析下面的试验,它们有什么共同特点?
⑴投掷一个骰子投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次,击中目标的概率是 0.8,他射击 10 次; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算 胜出并停止比赛); ⑷一个盒子中装有 5 个球(3 个红球和 2 个黑球) ,有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件,出现次品的概率是 0.04,生产这种零件 4 件. 共同特点是: 多次重复地做同一个试验.

一、 n 次独立重复试验:
一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.在 n 次独立重复试验 中,记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 。显然, P( A1 A2 ? An ) = P( A1 ) P( A2 )? P( An ) ∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响, ∴上面等式成立. 独立重复试验的特点: 1)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; 2)任何一次试验中,A 事件发生的概率相同,即相互独立,互不影响试验的结果。

探索:投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为 p,则针尖向下的概率为 q=1-p.连续掷一枚图钉
3 次,仅出现 1 次针尖向上的概率是多少? 连续掷一枚图钉 3 次,就是做 3 次独立重复试验。用 Ai (i ? 1, 2,3) 表示第 i 次掷得针 尖向上的事件,用 B1 表示“仅出现一次针尖向上”的事件,则

B1 ? ( A1 A2 A3 ) ? ( A1 A2 A3 ) ? ( A1 A2 A3 )
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由于事件 A 1A 2A 3, A 1A 2A 3和A 1A 2A 3 彼此互斥,由概率加法公式得

P(B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q2 p ? q2 p ? q2 p ? 3q2 p
所以,连续掷一枚图钉 3 次,仅出现 1 次针尖向上的概率是 3q 2 p

思考:上面我们利用掷 1 次图钉,针尖向上的概率为 p,求出了连续掷 3 次图钉,仅出现次
1 针尖向上的概率。类似地,连续掷 3 次图钉,出现 k (0 ? k ? 3) 次针尖向上的概率是多少? 你能发现其中的规律吗?

P(B0 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q3 , P(B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3q2 p,
P(B2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3qp2 ,
P(B3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? p3.
仔细观察上述等式,可以发现

P(Bk ) ? C3k pk q3?k , k ? 0,1,2,3.

一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生 的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k , k ? 0,1, 2,..., n. k k n? k 注: Pn (k ) ? cn p q 是( p ? q)n 展开式中的第 k ? 1 项.

二、理解概念:
例 1.独立重复试验应满足的条件是( )

①每次试验之间是互相独立的; ②每次试验只有发生与不发生两种结果; ③每次试验中发生的机会是均等的; ④各次试验发生的事件是互斥的. A.①② 解析: B.②③ C.①②③ D.①②④

由独立重复试验的概念可知应选 C.在独立重复试验中,各次试验发生的

事件 A 可以同时发生,故各次试验发生的事件并不互斥. 答案: C

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例 2、某射手每次射击击中目标的概率是 0.8. 求这名射手在 10 次射击中。
(1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率。 (结果保留两个有效数字)

练习: 1、 已知一个射手每次击中目标的概率为 p ? (1)命中一次; (2)恰在第三次命中目标; (3)命中两次; (4)刚好在第二、第三两次击中目标。

3 , 求他在次射击中下列事件发生的概率。 5

2、在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知 只有 5 发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的, 2 且命中的概率都是 . 3 (1)求油罐被引爆的概率; (2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为 ξ,求 ξ 不小于 4 的概率. 解析: (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆,没有引爆的可能情况是:射击 5 次只 2 ?1?4 ?1?5 击中一次或一次也没有击中,故该事件的概率为:C51· · + , 3 ?3? ?3? 2 ?1?4 ?1?5? 232 所以所求的概率为 1-?C51· ?3? +?3? ?=243. ? 3· 2 ?1?2 2 4 (2)当 ξ=4 时记为事件 A,则 P(A)=C31· · ·= . 3 ?3? 3 27 当 ξ=5 时,意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件 B, 2 ?1?3 ?1?4 1 则 P(B)=C41· · + = , 3 ?3? ?3? 9 4 1 7 所以所求概率为:P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = . 27 9 27

例 2 在图书室中只存放技术书和数学书,任一读者借技术书的概率为 0.2,而借数学书的概
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率为 0.8,设每人只借一本,有 5 名读者依次借书,求至多有 2 人借数学书的概率。

练习:甲投篮的命中率为 0.8 ,乙投篮的命中率为 0.7 ,每人各投篮 3 次,每人恰好都投中 2 次的概率是多少?

例 3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局
就算胜出并停止比赛) . ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率.⑵按比赛规则甲获胜的概率. 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为

1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2

⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2胜2负
王新敞
奎屯 新疆

∴甲打完 5 局才能取胜的概率 P1 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ?
2 2 2

1 2

1 2

1 3 ? . 2 16

(2) 记事件 A ? “甲打完 3 局才能取胜” ,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” .事件 D =“按比赛规则甲获胜” , 则 D ? A ? B ? C ,又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B) ? P (C ) ?

1 3 3 1 ? ? ? . 8 16 16 2

答:按比赛规则甲获胜的概率为 一、选择题

1 . 2

1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p1,乙解决这个问题的概率是

p2,那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是

课后 作业

A.p1p2

B.p1(1-p2)+p2(1-p1)

C.1-p1p2

D.1-(1-p1) (1-p2)

2.在某段时间内,甲地不下雨的概率为 0.3,乙地不下雨的概率为 0.4,假设在这段时间内两 地是否下雨相互无影响,则这段时间内两地都下雨的概率是 A.0.12 B.0.88 C.0.28
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(

) D.0.42

3.若 A 与 B 相互独立,则下面不相互独立事件有 A.A 与 A B.A 与 B C. A 与 B D. A 与 B

4.从甲口袋内摸出 1 个白球的概率是 内各摸出 1 个球,那么

1 1 ,从乙口袋内摸出 1 个白球的概率是 ,从两个口袋 3 2

5 等于( 6



( A) 2 个球都是白球的概率 (C ) 2 个球不都是白球的概率
5. 在一段时间内,甲去某地的概率是

( B ) 2 个球都不是白球的概率 ( D) 2 个球中恰好有 1 个是白球的概率
1 1 ,乙去此地的概率是 ,假定两人的行动相互之间没 4 5 2 5 9 20

有影响,那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是( )

( A)

3 20

(B)

1 5

(C )

( D)

6.在一个盒子中有大小一样的 20 个球,其中 10 和红球,10 个白球。则第 1 个人不放回的摸 出 1 个红球,紧接着第 2 个人摸出 1 个白球的概率为_____ 7.某单位订阅大众日报的概率为 0.6,订阅齐鲁晚报的概率为 0.3,则至少订阅其中一种报纸 的概率为________. 8. 两人同时向一敌机射击,甲命中的概率为 0.2,乙命中的概率为 0.25,则两人中至有一人 命中敌机的概率是 。

9.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙 机床加工的零件不是一等品的概率为 不是一等品的概率为

1 , 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 4

1 2 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 12 9

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.

10.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a, b, c ,且三门课程考试是否及格相互

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之间没有影响. (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)

本节课教学计划完成情况:照常完成□ 学生的接受程度:完全能接受□ 课 后 记 学生的课堂表现:很积极□

提前完成□

延后完成□

部分能接受□ 一般□

不能接受□ 不积极□ 分 存在问题

比较积极□

学生上次的作业完成情况:数量 备 注

% 完成质量

班主任签字 答案

家长或学生签字

教研主任审批

1 1 2 9. (1) , , 3 3 4 10. 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C. 则 P(A)= a,P(B)= b,P(C)= c (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率
1-6 BDACC 6. 7. 0.72 8. 0.35

1 9

(2)

5 6

?? ? ? ? ? P 1 ? P A? B ?C ? P A? B ?C ? P A? B ?C ? P ? A? B ?C ?

?

? ?

? ?

?

? ab ?1 ? c ? ? bc ?1 ? a ? ? ac ?1 ? b ? ? abc ? ab ? bc ? ca ? 2abc
应聘者用方案二考试通过的概率

1 1 1 p2 ? P ( A ? B ) ? P ( B ? C ) ? P ( A ? C ) 3 3 3 1 ? (ab ? bc ? ca) 3
(Ⅱ)因为 a,b,c∈[0, 1],所以

p1 ? p2 ?

2 (ab ? bc ? ca ) ? 2abc 3

2 ? [ab(1 ? c) ? bc(1 ? a ) ? ca (1 ? b)] ? 0 3
故 p1≥p2, 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.
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