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3.3.2简单线性规划问题


§3.2简单的线性规划
问题

【引例】: 如果若干年后的你成为某 某工厂用A、B两种配 工厂的厂长,你将会面对 件生产甲、乙两种产 生产安排、资源利用、人 品,每生产一件甲产 力调配的问题…… 品使用4个A配件并耗 设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件, 时1h,每生产一件乙 产品使用4个B配件并 ?x ? 2 y ? 8 ?4 x ?

16 耗时2h,该厂每天最 ? x, y 满足约束条件为 ? 数 ,且 x, y ? N 多可从配件厂获得16 12 ?4 y ?据 ? x, y ? 0 个A配件和12个B配件, ? 分 按每天工作8h计算, 作出约束条件所表示的平面区域,如图所示 析 该厂所有可能的日生 表 : 产安排是什么?

【引例】:

某工厂用A、B两种配件生 产甲、乙两种产品,每生 产一件甲产品使用4个A配 件并耗时1h,每生产一件 乙产品使用4个B配件并耗 时2h,该厂每天最多可从 配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作 8h计算,该厂所有可能的 日生产安排是什么?

4

2

2

4

6

8

将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部 分中的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日 生产安排,即当点P(x,y)在上述平面区域中时,所 安排的生产任务x,y才有意义。

【进一步】:

4

若生产一件甲产
品获利2万元,生
2

M ( 4 ,2 )

产一件乙产品获
利3万元,采用哪 种生产安排获得
2 4 6 8

利润最大?

2 z z y ?2 x ? 3 y ? ? x? 3 3

若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述二元一次不等式组且为非负整 数时,z的最大值为多少? 2 z 2 把z=2x+3y变形为y=- x+ ,这是斜率为- , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3

当点P在可允许的取值范围变化时,
z 求截距 的最大值,即可得z的最大值. 3

问题:求利润z=2x+3y的最大值. y

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?

4 3
M(4,2)

4

0

x 8 1 y? ? x?4 2
2 z y? ? x? 3 3

Zmax ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 14

变式:若生产一件甲产品获利1万元,生产一件乙 产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条 件。 把求最大值或求最小值的函数称为目标函数,因为 它是关于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题,统称为线性规划问题。 可行域 4 最优解 满足线性约束的解
3

(x,y)叫做可行解。 由所有可行解组成 的集合叫做可行域。

可行解
o
4 8

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫 做这个问题的最优解。

x

结论1:
实际问题

列表
设立变量

寻找约束条件 建立目标函数

转 化

注意:

线性规划问题

1.约束条件要写全; 2.作图要准确,计算也要准确;
探究

3.解题格式要规范.

三个转化
线性约束条件

转化 转化 转化

可行域

线性目标函数 Z=Ax+By

? Z y?? x? ? B

一组平行线

图 解 法

最优解

四个步骤:

? 寻找平行线组的 最大(小)纵截距 ?

1。画(画可行域) 2。作(作z=Ax+By=0时的直线L 。) 3。移(平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点) 4。答(求出点的坐标,并转化为最优解)

例1、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少 提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质, 0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物, 0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1千克食 物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质, 0.07kg脂肪,花费21元。为了满足营养专家指出的日 常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A 和食物B多少kg?

分析:将已知数据列成表格
食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg

A B

0.105 0.105

0.07 0.14

0.14 0.07

?0.105x+0.10 y ? 0.075 ?7 x ? 7 y ? 5 ?0.07x+0.14 y ? 0.06 ?7 x ? 14 y ? 6 ? ? ? ? ?0.14x ? 0.07 y ? 0.06 ? ?14x ? 7 y ? 6 ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0 ? ?
目标函数为:z=28x+21y

解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z, 那么

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域

随z变化的一组平行直 6/7 线系

4 z 把目标函数z=28x+21y 变形为 y ? ? x ? 3 28 4 它表示斜率为 ? y 3

的截距,当截距最 小时,z的值最小。

z 28 是直线在y轴上

5/7

M

3/7

如图可见,当直线 z=28x+21y 经过可 行域上的点M时,截距 最小,即z最小。

o

3/7

5/7

6/7 x

M点是两条直线的交点,解方程组

?7 x ? 7 y ? 5 ? ?14x ? 7 y ? 6

得M点的坐标为:

所以zmin=28x+21y=16

1 ? x ? ? ? 7 ? ?y ? 4 ? 7 ?

由此可知,每天食用食物A143g,食物B约 571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低, 最低成本为16元。

例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :
规格类型 钢板类型

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

第一种钢板 X张 第二种钢板 y张

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所 用钢板张数最少。 解:设需截第一种钢板x张,第一种钢板y张,则

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0

目标函数为 z=x+y
作出可行域(如图)

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N

y
15

调整优值法

作出一组平行直线z=x+y,

10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8

12

2x+y=15

x+y=12 x+2y=18

18

x 27
x+3y=27

当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.

作直线x+y=12

解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解. 答(略)

例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元;生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润? 解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数,于是满足以下条件: y

?4 x+y ? 1 0 ?1 8 x+ 5 y ? 6 6 1 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

x

o

解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮,能够产 生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y,可行域如图: 把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,它表示斜率为 -2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。
由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时, 截距2z最大,即z最大。 容易求得M点的坐标为 (2,2),则Zmin=3
y

故生产甲种、乙种肥料各 2车皮,能够产生最大利润, 最大利润为3万元。

M x

o

1、求z=2x+y的最大值,使x、y满足约束条件: ?y ? x ? ? x+ y ? 1 ?y ?-1 ? 2、求z=3x+5y的最大值,使x、y满足约束条件:

?5x+3y ? 15 ? ? y ? x+1 ? x-5y ? 3 ?

1.解:作出平面区域
y

o

A
x

?y ? x ? ? x+ y ? 1 ? y ? -1 ?
z=2x+y

B

C

作出直线y=-2x+z的 图像,可知z要求最大值, 即直线经过C点时。 求得C点坐标为(2,-1), 则Zmax=2x+y=3

2.解:作出平面区域

y
A o C x

?5 x+ 3 y ? 15 ? ? y ? x+ 1 ? x- 5 y ? 3 ?
z=3x+5y

B

作出直线3x+5y =z 的 图像,可知直线经过A点时, 求得A(1.5,2.5), B(-2,-1),则 Z取最大值;直线经过B点 Zmax=17,Zmin=-11。 时,Z取最小值。

小结:
二元一次不等式 表示平面区域 直线定界, 特殊点定域

应 用

约束条件
目标函数

简单的线性规划

可行解 可行域

求解方法:画、 移、求、答

最优解


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