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第十课直线与圆


基础知识专题训练 22 一、考试要求 内 容 等级要求 A B √ √ √ C

直线的斜率和倾斜角 平面解析几何初步 二、基础知识 直线方程 直线的平行关系与垂直关系

1.倾斜角:一条直线 L 向上的方向与 X 轴的________所成的_______,叫做直线的倾斜角,范围为 ________。 2.斜率:(1)当直线的倾斜角不是__

_时,则称其正切值为该直线的斜率,即 k=______;当直线的倾 斜角等于 90 时,直线的斜率_______。 (2)过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=___________ 0 (若 x1=x2,则直线 p1p2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90 ) 。 3.直线方程的五种形式 名称 斜截式 点斜式 两点式 截距式 方程 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0,y0)——直线上 已知点,k——斜率 (x1,y1),(x2,y2)是直线 上两个已知点 适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 过(0,0)及与两坐标轴 平行的直线不能用此式
0

a——直线的横截距 b——直线的纵截距

一般式

?

A C C ,? ,? 分别为 B A B

A、B 不能同时为零

斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于 x 轴)的直线;两点式不能表示平行或重合两坐 标轴的直线;截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 4.两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0
l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
5.距离公式 1.两点间距离:若 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) ,则 AB ?
1

l1 , l 2 有斜率

不可写成分式

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

特别地: AB // x 轴,则 AB ? | x1 ? x2 | 、 AB // y 轴,则 AB ? | y1 ? y2 | 。 2.点到直线的距离: P(x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 P 到 l 的距离为: d ? 3.平行线间距离:若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 , 则: d ?

Ax? ? By ? ? C A 2 ? B2

C1 ? C 2 A 2 ? B2

。注意点:x,y 对应项系数应相等。

三、基础训练 1.直线 l2 的倾斜角为 30 ,斜率为 k1 ,直线 l2 过点 (1, 2) , (5, 2 ? 5) ,斜率为 k2 ,则 A ( )

k1 ? k2

B

k1 ? k2

C

k1 ? k2

D 不能确定 )

2.过点 P(2,3) 且与直线 A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 3 x ? 2 y ? 5 ? 0

x y ? ? 1 平行的直线的方程是( 3 2
B. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0

3. 已知 ? 是第二象限角,直线 sin ? x ? tan ? y ? cos ? ? 0 不经过 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为 ( A. 2 x ? 3 y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 D. x ? y ? 5 ? 0 或 x-y+5=0

)

)

6. 直线 l1 : 2 x ? (m ?1) y ? 4 ? 0 与直线 l2 : mx ? 3 y ? 2 ? 0 平行,则 m 的值为( A.2 B.-3 C.2 或-3 D.-2 或-3



2 2 7.若直线 a ? 4a ? 3 x ? a ? a ? 6 y ? 6 ? 0 与 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a 等于

?

? ?

?

A.5

B.-3

C.5 或-3

D 不存在

8.已知点 A(1, 3), B(?1,3 3) ,则直线 AB 的倾斜角是_________ 9.直线 l 经过点 P (2, 3) ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,直线 l 的方程_________ 10.已知直线 l 过点 P(2, 1) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,则△OAB 面 积的最小值为 .

11. 已知 A(7,?4) 关于直线 l 的对称点为 B(?5,6) ,则直线 l 的方程是__________________ 12. 已知点 A(?3, 5), B(2, 15) ,在直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上求一点 P,使 PA ? PB 最小.
2

13.与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,且距离等于 13 的直线方程是 14.已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为

. .

15.若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),则实数 m 的取值范围是 _____________.

基础知识专题训练 23 一、考试要求 内 容 圆的标准方程和一般方程 平面解析几何初步 二、基础知识 1.圆的方程 (1)圆的标准方程:_______________________。圆心为_________,半径为________ (2)圆的一般方程________________________,圆心为点_______,半径_________________。 注:二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的方程的充要条件是: _________________________。 注:求圆的方程常用的方法:待定系数法(标准方程或一般方程) ;数形结合求圆心、半径
2 2 2 2.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种( d ?

等级要求 A B √ √ C √

直线与圆、圆与圆的位置关系 空间直角坐标系

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

) :

(1)若 d ? r ? 相离 ; (2) d ? r ? 相切; (3) d ? r ? 相交 。 注: 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解, 通过解的个数来判断.

C

B r O

直线与圆相交的弦长公式: ①几何方法: AB ? 2 r ? d ;
2 2

A

d

②代数方法:AB ?

(1 ? k 2 )[( x A ? x B ) 2 ? 4 x A x B ]

3.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。

d ? r1 ? r2 ? 外离 ;

d ? r1 ? r2 ? 外切 ;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ;
3

d ? r1 ? r2 ? 内切;

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。 4.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。 点 P(x 0,y 0) ,圆的方程: ?x ? a ? ? ?y - b? ? r 2
2 2

如果 ?x ? a ? ? ?y - b?
2

2

2 _____ r ? 点 P(x 0,y 0) 在圆外;

2 2 2 如果 ?x ? a ? ? ?y - b? ______ r ? 点 P(x 0,y 0) 在圆内; 2 2 2 如果 ?x ? a ? ? ?y - b? ______ r ? 点 P(x 0,y 0) 在圆上。

三、基础训练 1.圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 11 ? 0 的圆心坐标和半径分别为 A. (4,3) , 6 B. (4, ?3) , 6 C. (4,3) , 36 ) D (4, ?3) , 36

2 斜率为 1,与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切的直线的方程为 ( A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0

3.过圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 上一点 (2,3) 作圆的切线,则切线方程为 A. x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 5 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 )

4..圆 O 1: x2 ? y 2 ? 2x ? 0 和圆 O 2: x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 (

A. 相离

B. 相交

C. 外切

D. 内切
( D.4 2 )

5.直线 x ? y ? 4 ? 0 被圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 截得的弦长为 A. 2 B.2 2 C.3 2

6.已知点 (1, m) 在圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 8 外,则 A. m ? 1 B. m ? ?3 C. m ? 1 或 m ? ?3 D.不能确定

7.方程 x2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是 A m?2 B m?2 C m?

1 2

D m?

1 2

8.过三点 O (0, 0) , A(1,1) , B (4, 2) 的圆的方程为 A. x ? y ? 10
2 2

B. x ? y ? 8x ? 6 y ? 0
2 2

C. x ? y ? 8x ? 6 y ? 0
2 2

D. x ? y ? 9 x ? 7 y ? 0
2 2

4

9.过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

5 ? 0 相切的直线的方程为_________________ 2

10.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为_______________ 11. 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则

a?

.

12.直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是__________ 13.若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 14.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是______________________ 15.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是___________ .

基础知识专题训练 24 一、考试要求 内 圆锥曲线与方 程 容 等级要求 A √ √ B √ C

椭圆的标准方程和几何性质 双曲线的标准方程和几何性质 抛物线的标准方程和几何性质
5

二、基础知识 1.椭圆与双曲线的性质: 椭 圆 | PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |) 定义 方程
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2


x2 y 2 ? ?1 a 2 b2



线
y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)

x2 y 2 ? ?1 b2 a 2

y
M M
2

P

图形

1

K F F A K1 1O A2
1 1 2 2

x

焦点 焦距 范围 对称轴 顶点 轴 离心率 准线 渐进线 a,b,c 2.抛物线的性质

F (?c, 0)

F (0, ?c)
F1 F2 ? 2C

F (?c, 0)

F (0, ?c)

-a≤x≤a,-b≤y≤ b

-b≤x≤b,-a≤y≤ x≥a 或 x≤-a, y≥a 或 y≤-a, a y≥b 或 y≤-b x≥b 或 x≤-b 关于 x、y 轴对称,关于原点成中心对称 长轴: 长轴: 实轴: (-a,0),(a,0) (-b,0),(b,0) (-a,0),(a,0) 实轴: (-b,0),(b,0) 短轴: 短轴: 虚轴: 虚轴: (0,-a),(0,a) (0,-b),(0,b) (0,-a),(0,a) (0,-b),(0,b) 长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a,虚轴长 2b
e? c (0 ? e ? 1) a
e? c (e ? 1) a

x??

a2 c

y??

a2 c

x??
y??

a2 c
b x a

y??

a2 c


a ? b ? 0,a 2 ? b 2 ? c 2

y??

a x b

c ? a ? 0,c 2 ? a 2 ? b 2

标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x2 ? 2 py ( p ? 0)

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l
图形

y

y

y

l

o F
p ( , 0) 2

x

F o
(? p , 0) 2 p x? 2

x

F

l

o

x
p (0, ? ) 2 p y? 2

焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率

p (0, ) 2

x??

p 2

y??

p 2

x?0

x?0

x轴 (0, 0)
e ?1

x轴 (0, 0)
e ?1

y?0 y轴
(0, 0) e ?1

y?0 y轴
(0, 0)

e ?1

6

三、基础训练

x2 y 2 1.椭圆 ? ? 1 的离心率为 4 3
A
1 4

B

1 2

C

2

D 4

2.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆

A ?2
3. 抛物线 y ? ?

B 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2 D 4 C ?4

1 2 x 的准线方程是 8
B

A y??

1 32

y?2

C y?

1 32

D y ? ?2

4.已知双曲线 A y ? 2x
2

x2 ? y 2 ? 1 ,则其渐近线方程为 4
B
2

y?

1 x 2
2

C y ? ?2 x

D y??

1 x 2

5. 曲线 x ? y ? 1 与曲线 x

16

9

y2 ? 1(0 ? m ? 9) 的关系是 9 ? m 16 ? m ?
C 焦点相同 D 有相等的长、短轴

A 焦距相等
2

B 离心率相等

6.抛物线 y=4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 A

17 16

B

15 16

C

7 8

D 0

x2 2 7.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边 3
上,则△ABC 的周长是

A 2 3
2 2

B 6

C 4 3

D 12

8.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? A ?

1 4
2

B ?4

C 4

D

1 4

9.过抛物线 y = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x2 =6,那么 AB =

A 6

B

8

C

9

D 10

10.已知 F1、F 2 是椭圆的两个交点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点,若 △ABF2 是正三 角形,则此椭圆的离心率是

A

3 3

B

2 3

C

2 2

D

3 2

11.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程 是 。 12. 若方程

x2 y2 ? ? 1 表示的图形是双曲线,则 k 的取值范围为 2 ? k k ?1
7

. 。

13.顶点在原点,准线方程为 y ? ?2 的抛物线方程是



14.已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点若 F2 A ? F2 B ? 12 , 25 9

则 AB =______________。

15.双曲线的离心率等于

x2 y2 5 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲线的方程______ 9 4 2

16.若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____ 17.已知椭圆的长轴长是 2 3 ,焦点坐标分别是( ? (1)求这个椭圆的标准方程; (2)如果直线 y ? x ? m 与这个椭圆交于两不同的点,求 m 的取值范围. , ( 2 ,0). 2 ,0)

18.直线 y ? x ? 2 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交与 A,B 两点.求证: OA ? OB

四、走近高考 (9)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A 、 B 两点,若线段 AB 的
2

中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 (A) x ? 1 (C) x ? 2

(B) x ? ?1 (D) x ? ?2

(16) 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长为 2 2 , 则圆 C 的标准方程为 (22) (本小题满分 14 分) .

x2 y 2 2 2 如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点. (1, ,左、右焦点分别为 F ) ,离心率为 1 、 F2 . a b 2 2
点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C 、

D , O 为坐标原点.
(I)求椭圆的标准方程;

8

9、设 M ( x0 , y0 ) 为抛物线 C : x ? 8 y 上一点, F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 FM 为半径的圆
2

和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 (A)

? 0 , 2?

(B)

?0 , 2?

(C)

? 2 , ? ??

(D)

? 2 , ? ??

15、已知双曲线

x2 y2 x2 y2 和椭圆 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) ? ? 1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆 a 2 b2 16 9

离心率的两倍,则双曲线的方程为____________. (9)圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离

x2 y 2 (11)已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的 a b
渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 (A) x 2 ?
8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

[来源:Z_xx_k.Com]

(21) (本小题满分 13 分) 如图, 椭圆 M : 为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程;
3 x2 y 2 , 直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 的面积 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2

(11)、 抛物线 C1 : y ?

x2 1 2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 3 2p

M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p =

(A)

3 16

(B)

3 8

(C)

2 3 3

(D)

4 3 3

(22)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为

2 2

(I)求椭圆 C 的方程

9


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