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宁夏固原市第一中学2015届高三第一次综合考试数学(理)试题


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试









(宁夏固原一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题, 其它题为必考题。考生作答时,将答

案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知全集 U=R,集合 A ? x y ? lg( x ? 1) 则 A∩(C U B)= A. B. D.(1,2) 2.已知直线 m、n 和平面 ? ,则 m∥n 的必要非充分条件是 A.m、n 与 ? 成等角 C. m∥ ? 且 n ? ? B. m⊥ ? 且 n⊥ ? D.m∥ ? 且 n∥ ?

?

? ,集合 B ? ? y

y ? x2 ? 2x ? 5

?,

3.若等比数列 {a n } 的前 n 项和 Sn ? a ? 3n ? 2 ,则 a2 ?

A.4

B.12

C.24

D.36

f ( x) ? 2sin(ax ? 4.已知复数 (1 ? i)(a ? bi) ? 2 ? 4i (a, b? R) 理科数学试卷 第 1页 (,函数 共 6 页)
是 A. ( ?

?
6

) ? b 图象的一个对称中心

?
6

,1 ) B. ( ?

?
18

,0 )

C.( ?

?
6

,3 )

D.(

5? ,1 ) 18

开始

5.如图给出的是计算

1 1 1 的值的程序框图,则图中 ? ? ??? ? 2 4 100


S=0,n=2,i=1

判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是 A. i>100,n=n+1 C. i>50,n=n+2 6.设 a ? B. i>100,n=n+2 D. i≤50,n=n+2
输出 S

(1) 否
S ?S? 1 n

?

?

0

? cos x ? sin x ? dx ,则二项式
结束
6

? 2 a? 3 ? x ? ? 展开式中的 x 项的系数为 x ? ?
A. ?160 B. 20 C. ?20 D. 160 (第 5 题图) 7.给出下列四个结论: (1)如图 Rt ?ABC 中, AC ? 2, ?B ? 90?, ?C ? 30?. D 是斜边 AC 上的点,|CD|=|CB|. 以 B 为起点 任作一条射线 BE 交 AC 于 E 点,则 E 点落在 线段 CD 上的概率是 A D E

(2)

i= i+1

3 ; 2

B

C

(2) 设某大学的女生体重 y(kg)与身高 x(cm)具有线性相关关系, 根据一组样本数据(xi, yi)(i=1, 2, …, ^ n),用最小二乘法建立的线性回归方程为 y =0.85x-85.71,则若该大学某女生身高增加 1 cm, 则其体重约增加 0.85 kg; (3)为调查中学生近视情况,测得某校男生 150 名中有 80 名近视,在 140 名女生中有 70 名近视.在检验 这些学生眼睛近视是否与性别有关时,应该用独立性检验最有说服力;
2 (4)已知随机变量 ? 服从正态分布 N 1, ? , P ?? ? 4 ? ? 0.79, 则 P ?? ? ?2? ? 0.21;

?

?

其中正确结论的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯 视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为 1 的正 方形.则这个四面体的外接球的表面积是 A. ? B. 3? C. 4? D. 6?

? y?x ? 9.已知 z ? 2 x ? y ,其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z 的最大值 ? x?a ?
是最小值的 4 倍,则 a 的值是 A.

(第 8 题图)

2 11

B.

1 4

C. 4

D.

11 2

10.对于函数 y ? f ( x) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表:

x y

1 3

2 7

3 5

4 9

5 6
*

6 1

7 8

8 2

9 4

数列 {xn } 满足: x1 ? 1 ,且对于任意 n ? N ,点 ( xn , xn?1 ) 都在函数 y ? f ( x) 的图像上,则
x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? ? ? x 2013 ? x 2014 的值为

A. 7549

B. 7545

C. 7539

D. 7553

11.已知 F2、F1 是双曲线

y 2 x2 ? ? 1 (a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰好落 a 2 b2

在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为 A.3 B. 3 C.2 D. 2

12.已知函数 f(x)= a ? x ? 则实数 a 的范围为 A.[1,+∞)

? ?

a 1? -2lnx(a∈R),g(x)= ? ,若至少存在一个 x0∈,使得 f(x0)>g(x0)成立, ? x x?
C.[0,+∞) D.(0,+∞)

B.(1,+∞)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.等差数列 ?an ? 中, a4 ? a8 ? a12 ? 6 ,则 a9 ? a11 ? 14.若 ? ? (0, ? ) ,且 3cos 2? ? sin(

1 3

.

?
4

? ? ) ,则 sin 2? 的值为

.

15.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,…,18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人, 则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为 .

16.在直角坐标平面 xoy 中,F 是抛物线 C: x2 ? 2 py (p>0)的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一

3 象限内的任意一点, 过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 , 则抛物 4
线 C 的方程为__________________. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分)

?? ? ?ABC 中内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (2sin B, ? 3), n ? (cos 2 B, 2 cos 2 B ? 1) 2 ?? ? ? B ? (2sin B, ? 3), n ? (cos 2 B, 2 cos 2 ? 1) 且 m / / n 2
(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是半圆 O 上除 A 、 B 外的一个动点, DC 垂直于半圆 O 所在 的平面, DC ∥ EB , DC ? EB , AB ? 4 , tan ?EAB ?

1 . 4

⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; ⑵当三棱锥 C ? ADE 体积最大时, 求二面角 D ? AE ? B 的余弦值.

19.(本题满分 12 分) 某权威机构发布了 2013 年度“城市居民幸福排行榜”,某市成为本年度城市最“幸福城”.随后, 该市某校学生会组织部分同学, 用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机 抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的 一位数字为叶): (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至 多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )上的三点,其中点 A 的坐标为 (2 3,0) , a 2 b2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC 过椭圆的中心,且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | 。
己知 A 、B 、C 是椭圆 m : (1)求椭圆 m 的方程; (2)过点 (0, t ) 的直线 l (斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P , Q ,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴 的交点,且 | DP |?| DQ | ,求实数 t 的取值范围.

??? ?

????

21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) = ln x ? kx ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:

ln 2 ln 3 ln n n(n ? 1) ? ??? ? ( n ? N?,n ? 1 ) 3 4 n ?1 4

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 理科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 如图,圆 O 的直径 AB ? 10 , P 是 AB 延长线上一点 , BP ? 2 ,割线 PCD 交圆 O 于点 C , D ,过点

P 作 AP 的垂线,交直线 AC 于点 E ,交直线 AD 于点 F .
(I)求证: ?PEC ? ?PDF ; (II)求 PE ? PF 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.

1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C : ? x ? cos ? , 已知直线 ? : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(I)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ; (II)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

( ? 为参数).

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2 , 2 2

设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设不等式 | 2 x ? 1 |? 1 的解集是 M , a, b ? M . (I)试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小;

2 2 ? 2 ? ? 2 a ?b (II)设 max 表示数集 A 的最大数. h ? max? , , ? ,求证: h ? 2 . ? ab b ? ? a

宁夏固原一中 2015 届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 1 答案 D 二、填空题 13. 2 A 3 B 4 D 5 C 15. 6 A 7 C 8 B 9 B 10 A 11 C 12 D

4 3

14. 1 或 ?

17 18

1 68

16. x2 ? 2 y

三.解答题 17.(本小题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ)? m // n ? 2 sin B(2 cos

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2 ? sin 2B ? ? 3 cos2B 即 t a n 2B ? ? 3 ? 2? ?B ? 又? B 为锐角 ? 2B ? ?0, ? ? ? 2 B ? 3 3 2 2 ? a ? c ? b2 2 2 (2)? B ? , b ? 2,由余弦定理得 cos B ? 即 a ? c ? ac ? 4 ? 0 3 2ac 2 2 又? a ? c ? 2ac 代入上式得 ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立)

?

?

S ?ABC ?

1 3 )…12 分 ac sin B ? ac ? 3 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立。 2 4

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:因为 AB 是直径,所以 BC ? AC 因为 CD ? 平面 ABC ,所以 CD ? BC , 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD 因为 CD // BE , CD ? BE ,所以 BCDE 是平行四边形, BC // DE ,所以 DE ? 平面 ACD 因为 DE ? 平面 ADE ,所以平面 ADE ? 平面 ACD (Ⅱ)依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ? 由(Ⅰ)知 VC ? ADE ? VE ? ACD ?

1 ?1 , 4

1 1 1 ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 3 3 2 1 1 1 4 ? ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? , 6 12 12 3 z 当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时等号成立 ????8 分 D 如图所示,建立空间直角坐标系,则 D(0, 0,1) , E(0, 2 2,1) ,

A(2 2,0,0) B(0, 2 2,0) ,

C

o
A

E

O

?

B

x

y

则 AB ? (?2 2, 2 2,0) , BE ? (0,0,1) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? DE ? (0, 2 2,0) , DA ? (2 2,0, ?1,) ?? ???? ? ? n ? 1 ? DE ? 0 设面 DAE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , ? ? ??? , ? n ? DA ? 0 1 ? ? ? ? ?2 2 y ? 0 即? ? n1 ? (1,0, 2 2) , ? ?2 2 x ? z ? 0 ? ??? ? ?? ? ? n ? BE ?0 2 ? 设面 ABE 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ? ? ??? , ? n ? AB ? 0 2 ? ? ? ? ?z ? 0 即? ? n2 ? (1,1,0) , ? ??2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ? ? ? n1 ?n2 1 2 ? cos n1 , n2 ? ? ? ? ? 6 2? 9 n1 n 2 ? ? 可以判断 n1 , n 2 与二面角 D ? AE ? B 的平面角互补

? 二面角 D ? AE ? B 的余弦值为 ?

2 .?12 分 6

19.(本题满分 12 分) 解: (1)众数:8.6; 中位数:8.75 ;?????2 分 ( 2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ,则

P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?

3 1 2 C12 C4 C12 121 ; ? ? 3 3 140 C16 C16

????6 分

(3) ξ 的可能取值为0,1,2,3.
27 ; 3 27 ; 1 1 3 2 P (? ? 1) ? C 3 ( ) ? P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

1 3 9 ; P (? ? 3) ? ( 1 ) 3 ? 1 ??????10 分 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? 4 4 64 4 64

所以 ξ 的分布列为:

ξ
P
E? ? 0 ?

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . 64 64 64 64

?????12分

另解: ξ 的可能取值为0,1,2,3.则 ? ~ B(3, ) , P (? ? k ) ? C3 ( ) ( )
k k

1 4

1 4

3 4

3? k

.

所以 E? = 3 ?

1 ? 0.75 . 4

20.(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)∵ | BC |? 2 | AC 且 BC 过 (0, 0) ,则 | OC |?| AC | . ∵ AC ? BC ? 0 ,∴ ?OCA ? 90? ,即 C ( 3, 3) . 又∵ a ? 2 3 ,设椭圆 m 的方程为 将 C 点坐标代入得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

x2 y2 ? ? 1, 12 12 ? c 2

3 3 ? ? 1 ,解得 c 2 ? 8 , b2 ? 4 . 12 12 ? c 2 x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 m 的方程为 12 4 (Ⅱ)由条件 D(0, ?2) ,当 k ? 0 时,显然 ?2 ? t ? 2 ;

? x2 y2 ?1 ? ? 当 k ? 0 时, 设 l : y ? kx ? t ,?12 , 消 y 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6ktx ? 3t 2 ?12 ? 0 由 ? ? 0 4 ? y ? kx ? t ? 2 2 可得, t ? 4 ? 12k ??①? x ? x2 ?3kt t ? PQ 中点 H ( x0 , y0 ) , 设 P( x1 , y1 ) , 则 x0 ? 1 ,y0 ? kx0 ? t ? , Q( x2 , y2 ) , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 3kt t , ). ∴ H (? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 t ?2 ??? ? ???? 2 1 1 由 | DP |? DQ | ,∴ DH ? PQ ,即 k DH ? ? 。∴ 1 ? 3k ?? , 3kt k k ? ?0 1 ? 3k 2 2 化简得 t ? 1 ? 3k ??② ∴ t ? 1 将①代入②得, 1 ? t ? 4 。 ∴ t 的范围是 (1, 4) 。综上 t ? (?2, 4) .???12
21. (本小题满分 12 分) 解:函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x ) ? 当 k ? 0 时, f ?( x ) ?

1 ?k. x

1 ? k ? 0 ,则 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数; x 1 1 1 1 当 k ? 0 时,若 x ? (0, ) ,则 f ?( x ) ? ? k ? 0 ;若 x ? ( ,?? ) ,则 f ?( x ) ? ? k ? 0 . k x k x 1 1 所以 f ( x) 在 (0, ) 上是增函数,在 ( ,?? ) 上是减函数. ????4 分 k k

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 k ? 0 时,则 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数,而 f (1) ? 1 ? k ? 0 , f ( x) ? 0 不 成立,故 k ? 0 .当 k ? 0 时,由(Ⅰ)知 f ( x) 的最大值为 f ( ) ,要使 f ( x) ? 0 恒成立,则 需 f ( ) = ? ln k ? 0 ,解得 k ? 1 .

1 k

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当 k ? 1 时有 f ( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立,且 f ( x) 在 (1,??) 上是减函 数, f (1) ? 0 ,所以 ln x ? x ? 1 在 ?2,??? 上恒成立.
2 2 2

1 k

?8 分

ln n n ? 1 ? . n ?1 2 ln 2 ln 3 ln n 1 2 3 n ? 1 n( n ? 1) ? ??? ? ? ? ??? 所以 = .(证毕)12 分 4 3 4 n ?1 2 2 2 2
令 x ? n ,则 ln n ? n ? 1 ,即 2 ln n ? (n ? 1)(n ? 1) ,从而 22.(本小题满分 10 分) 解法 1:(I)连接 BC ,则 ?ACB ? ?APE ? 90 ,
?

即 B 、 P 、 E 、 C 四点共圆. ∴ ?PEC ? ?CBA ∴ ?CBA ? ?PDF ∴ ?PEC ? ?PDF ∵ ?PEC ? ?PDF , ∴ F 、 E 、 C 、 D 四点共圆, ∴ PE ? PF ? PC ? PD ,又 PC ? PD ? PB ? PA ? 2 ? (2 ? 10) ? 24 , 解法 2:(I)连接 BD ,则 BD ? AD ,又 EP ? AP ∴ ?PDF ? ?PDB ? ?PEA ? ?EAP ? 90 ,
?

又 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,

PE ? PF ? 24 .

∵ ?PDB ? ?EAP ,∴ ?PEC ? ?PDF (II)∵ ?PEC ? ?PDF , ?EPC ? ?DPF ,

PC PE ? PD , ∴ ?PEC ∽ ?PDF ,∴ PF 即 PE ? PF ? PC ? PD , 又∵ PC ? PD ? PB ? PA ? 2(2 ? 10) ? 24, ∴ PE ? PF ? 24
23.(本小题满分 10 分) 解.(I) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组 则 | AB |? 1 .

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ?

? x? ? ? (II) C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?
P 到直线 ? 的距离是 d ?
由此当 sin(? ?

1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) ,从而点 (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 sin ? . 2
| 3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4

?
4

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为

6 ( 2 ? 1) . 4

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 解:由 | 2 x ?1|? 1得 ?1 ? 2 x ?1 ? 1, 解得0 ? x ? 1. 所以 M ? {x | 0 ? x ? 1}. (I) 由 a, b ? M ,得 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1, 所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0. 故 ab ? 1 ? a ? b. (II)由 h ? max?

? 2

a ab ab b ? a 2 a2 ? b2 2 4(a 2 ? b 2 ) 所以 h 3 ? ? ? ? ? 8 ,故 h ? 2 . ab a ab b

,

a2 ? b2

,

2

} ,得 h ?

2

,h?

a2 ? b2

,h ?

2 b




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