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2016届天津市耀华中学高考数学一模试卷(理科)(解析版)


2016 年天津市耀华中学高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 i 为虚数单位,则 A.1+i B.1﹣i C.i D.﹣i 2.若 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x﹣y 的最大值是( ) =( )

A.4

B.

C.1

D.2 )

3.已知如程序框图,则输出的 i 是(

A.9 B.11 C.13 D.15 4.设 a=log412,b=log515,c=log618,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>b>a 5.已知 f(x)=2x+3(x∈R) ,若|f(x)﹣1|<a 的必要条件是|x+1|<b(a,b>0) ,则 a, b 之间的关系是( ) A. B. C. D.

6.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两 )

焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,则双曲线的离心率为( A. B. C. D. (ab>1) 的解集为空集, 则

7. 已知关于 x 的不等式 的最小值为( A. B.2 ) C.

D.4

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8.如图,已知:|AB|=|BC|=4,∠ACB=90°,M 为 BC 的中点,D 为以 AC 为直径的圆上 一动点,则 AM ? DC 的最大值是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上) 9. f x) = 若函数 ( f x) , 则( 与 x 轴围成封闭图形的面积为 . .

10.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为

11.在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知 直线 l 的极坐标方程为 ρsin (θ+ =1, ) 圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) . 求

直线 l 与圆 C 相交所得弦长为 . 6 6 6 12. 1 x 1 x x ( + ) ( ﹣ ) 展开式中 的系数为 . 13.如图:PA 为⊙O 的切线,A 为切点,割线 PBC 过圆心 O,PA=10,PB=5,则 AC 长 为 .

14.已知函数 f(x)=|lnx|,g(x)= 实根的个数为 .

,则方程|f(x)+g(x)|=1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
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15.已知向量

,设函数



(1)求 f(x)的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f(A)=4,b=1,△ABC 的面 积为 ,求 a 的值.

16.一汽车 4S 店新进 A,B,C 三类轿车,每类轿车的数量如下表: A B C 类别 4 3 2 数量 同一类轿车完全相同,现准备提取一部分车去参加车展. (Ⅰ)从店中一次随机提取 2 辆车,求提取的两辆车为同一类型车的概率; (Ⅱ)若一次性提取 4 辆车,其中 A,B,C 三种型号的车辆数分别记为 a,b,c,记 ξ 为 a, b,c 的最大值,求 ξ 的分布列和数学期望. 17.如图,四边形 ABCD 是正方形,EA⊥平面 ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G, H 分别为 PB,EB,PC 的中点. (Ⅰ)求证:FG∥平面 PED; (Ⅱ)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成的角为 60°?若存在,求 出线段 PM 的长;若不存在,请说明理由.

18.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F2(1,0) ,点 H(2,

)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程; (2)点 M 在圆 x2+y2=b2 上,且 M 在第一象限,过 M 作圆 x2+y2=b2 的切线交椭圆于 P,Q 两点,问:△PF2Q 的周长是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,说明理由.

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19. S5=15, b1= , bn+1= 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 并且 a2=2, 数列{bn}满足: bn(n∈N+) ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn. (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和公式 Sn; (2)求数列{bn}的通项公式 bn 及前 n 项和公式 Tn; (3)记集合 M={n| 范围. 20.设函数 f(x)= ﹣aln(1+x) ,g(x)=ln(1+x)﹣bx. ≥λ,n∈N+},若 M 的子集个数为 16,求实数 λ 的取值

(1)若函数 f(x)在 x=0 处有极值,求函数 f(x)的最大值; (2)是否存在实数 b,使得关于 x 的不等式 g(x)<0 在(0,+∞)上恒成立?若存在, 求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)证明:不等式﹣1< ﹣lnn≤ (n=1,2.…) .

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2016 年天津市耀华中学高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 i 为虚数单位,则 =( )

A.1+i B.1﹣i C.i D.﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解: 故选:D. = ,

2.若 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值是(



A.4

B.

C.1

D.2

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数 z 的几何意义,进行平移,结合图象 得到 z=2x﹣y 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z, 平移直线 y=2x﹣z, 由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 C 时,直线 y=2x﹣z 的截距最小, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 C(1,1)

将 C(1,1)的坐标代入目标函数 z=2x﹣y, 得 z=2﹣1=1.即 z=2x﹣y 的最大值为 1. 故选:C.

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3.已知如程序框图,则输出的 i 是(



A.9

B.11

C.13

D.15

【考点】循环结构. 【分析】写出前 5 次循环的结果,直到第五次满足判断框中的条件,执行输出. 【解答】解:经过第一次循环得到 S=1×3=3,i=5 经过第二次循环得到 S=3×5=15,i=7 经过第三次循环得到 S=15×7=105,i=9 经过第四次循环得到 S=105×9=945,i=11 经过第五次循环得到 S=945×11=10395,i=13 此时,满足判断框中的条件输出 i 故选 C 4.设 a=log412,b=log515,c=log618,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【分析】由于 a=1+log43,b=1+log53,c=1+log63,而 log43>log53>log63,即可得出. 【解答】解:∵a=log412=1+log43,b=log515=1+log53,c=log618=1+log63, 而 log43>log53>log63, ∴a>b>c. 故选:A. 5.已知 f(x)=2x+3(x∈R) ,若|f(x)﹣1|<a 的必要条件是|x+1|<b(a,b>0) ,则 a, b 之间的关系是( ) A. B. C. D.

【考点】绝对值不等式;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】化简|f(x)﹣1|<a 得 由题意可得 ( , <x< .化简|x+1|<b 得﹣b﹣1<x<b﹣1, b﹣1≥ , ,

b﹣1) ) ?(﹣b﹣1, , 故﹣b﹣1≤

由此求得 a,b 之间的关系.

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【解答】解:|f(x)﹣1|<a 即|2x+2|<a,即﹣a<2x+2<a,即 |x+1|<b 即﹣b<x+1<b 即﹣b﹣1<x<b﹣1. ∵|f(x)﹣1|<a 的必要条件是|x+1|<b(a,b>0) , ∴( ∴﹣b﹣1≤ 解得 b≥ , 故选 A. , )? (﹣b﹣1,b﹣1) , ,b﹣1≥ ,

<x<



6.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两 )

焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,则双曲线的离心率为( A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标,求得菱形的边长,运用等积法可得 ?2b?2c= a?4 ,再由 a,b,c 的关系和离心率公式,计算即可得到所求值.

【解答】解:由题意可得 A1(﹣a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,b) ,B2(0,﹣b) , F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 且 a2+b2=c2,菱形 F1B1F2B2 的边长为 由以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2, 运用面积相等,可得 ?2b?2c= a?4 即为 b2c2=a2(b2+c2) , 4 4 2 2 即有 c +a ﹣3a c =0, 由 e= ,可得 e4﹣3e2+1=0, 解得 e2= 可得 e= 故选:A. , , ( 舍去) . , ,

7. 已知关于 x 的不等式 的最小值为( )

(ab>1) 的解集为空集, 则

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A.

B.2

C.

D.4

【考点】基本不等式;一元二次不等式的应用. 【分析】由题意得: , ,得 .利用此式进行代换,将 T 化成

,令 ab﹣1=m,则 m>0,利用基本不等式即可求出 T 的最小值.

【解答】解:由题意得: 得 .





∴ 令 ab﹣1=m,则 m>0, 所以 则 故选 D. 的最小值为 4.





8.如图,已知:|AB|=|BC|=4,∠ACB=90°,M 为 BC 的中点,D 为以 AC 为直径的圆上 一动点,则 的最大值是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】建立适当的直角坐标系,求出相关点的坐标,求出 与 ,然后求解 的表 达式,求出最大值即可. 【解答】解:建立如图所示的直角坐标系,则 A(﹣2,0) ,C(2,0) ,O(0,0) ,M(2, ﹣2) , 设 D(2cosα,2sinα) . ∴ =(4,﹣2) , =(2﹣2cosα,﹣2sinα) . ?=4×(2﹣2cosα)+4sinα =8﹣8cosα+4sinα =8+4 sin(α﹣θ) ,其中 tanθ=2. sin(α﹣θ)∈[﹣1,1], ∴ 的最大值是 8+4 , 故选:A.

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二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上) 9.若函数 f(x)= ,则 f(x)与 x 轴围成封闭图形的面积为 .

【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】射线画出函数图象,明确 f(x)与 x 轴围成封闭图形,利用定积分表示后就是即 可. 【解答】解:函数 f(x)= ,则 f(x 的)与 x 轴围成封闭图形如图,

其面积为:

=

= ;

故答案为: .

10.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 2 .

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【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是以侧视图为底面,高为 2 的四棱锥,结合图 中数据求出该四棱锥的体积. 【解答】解:由题意,几何体的直观图是以侧视图为底面,高为 2 的四棱锥 体积 V= 故答案为:2. 11.在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知 直线 l 的极坐标方程为 ρsin (θ+ =1, ) 圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) . 求 =2,

直线 l 与圆 C 相交所得弦长为 . 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】分别把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程,求出圆 心到直线的距离 d,利用弦长公式:弦长=2 【解答】解:直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+ 展开可得: ρsinθ+ ,即可得出. )=1, y﹣2=0.

=1,化为直角坐标方程:x+

圆 C 的参数方程为

(θ 为参数) ,

化为普通方程: 圆心 C 到直线 l 的距离 d= ∴直线 l 与圆 C 相交所得弦长=2 故答案为: .

=4,可得圆心 = . =2 = .

,半径 r=2.

12. (1+x)6(1﹣x)6 展开式中 x6 的系数为 ﹣20 . 【考点】二项式定理的应用.

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【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式,求得=(1﹣x2)6 开式中 x6 的系数为﹣ 计算求的结果. 【解答】解: (1+x)6(1﹣x)6=(1﹣x2)6 开式中 x6 的系数为﹣ 故答案为:﹣20. =﹣20,



13.如图:PA 为⊙O 的切线,A 为切点,割线 PBC 过圆心 O,PA=10,PB=5,则 AC 长为 .

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】连接 AB,利用切割线定理先求出 PC,进而求出 BC;在 Rt△ABC 中,利用勾股 定理有 BC2=AC2+AB2①;再利用弦切角定理,可知∠PAB=∠BAC,再加上一组公共角, 可证△PAB∽△PCA,那么就有 PC:AC=PA:AB②;两式联合可求 AC. 【解答】解:连接 AB,根据切割线定理有, PA2=PB?PC, ∴102=5×(5+BC) , 解得 BC=15, 又∵∠PAB=∠PCA,∠APB=∠CPA, ∴△APB∽△CPA, ∴PA:AB=PC:AC, ∴10:AB=20:AC①; ∵BC 是直径, ∴AB2+AC2=BC2, ∴AB2+AC2=152②; ①②联立解得 AC= . 故答案为: .

14.已知函数 f(x)=|lnx|,g(x)=

,则方程|f(x)+g(x)|=1

实根的个数为 4 . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】 :由|f(x)+g(x)|=1 可得 g(x)=﹣f(x)±1,分别作出函数的图象,即可得 出结论. 【解答】解:由|f(x)+g(x)|=1 可得 g(x)=﹣f(x)±1. g(x)与 h(x)=﹣f(x)+1 的图象如图所示,图象有 2 个交点

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g(x)与 φ(x)=﹣f(x)﹣1 的图象如图所示,图象有两个交点;

所以方程|f(x)+g(x)|=1 实根的个数为 4. 故答案为:4. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知向量 ,设函数 .

(1)求 f(x)的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f(A)=4,b=1,△ABC 的面 积为 ,求 a 的值.

【考点】 平面向量的坐标运算; 两角和与差的正弦函数; 正弦定理的应用; 余弦定理的应用. 【分析】 (1)用向量的数量积法则及三角函数的二倍角公式化简 f(x) ,再用三角函数的周 期公式和整体代换的方法求出周期和单调区间 (2)用三角形的面积公式和余弦定理列方程求. 【解答】解: (1)∵ ∴ ∴ = = = ,

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令 ∴ ∴f(x)的单调区间为 ,k∈Z.

(2)由 f(A)=4 得 ∴ 又∵A 为△ABC 的内角 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴c=2 ∴ ∴ 16.一汽车 4S 店新进 A,B,C 三类轿车,每类轿车的数量如下表: A B C 类别 4 3 2 数量 同一类轿车完全相同,现准备提取一部分车去参加车展. (Ⅰ)从店中一次随机提取 2 辆车,求提取的两辆车为同一类型车的概率; (Ⅱ)若一次性提取 4 辆车,其中 A,B,C 三种型号的车辆数分别记为 a,b,c,记 ξ 为 a, b,c 的最大值,求 ξ 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (Ⅰ)设提取的两辆车为同一类型的概率为 P,直接利用古典概型求解即可. (Ⅱ)随机变量 ξ 的取值为 2,3,4,求出概率得到分布列,然后求解期望即可. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设提取的两辆车为同一类型的概率为 P, ﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ)随机变量 ξ 的取值为 2,3,4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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∴ ∴其分布列为: ξ 2 3 p ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 数学期望为 ﹣﹣﹣﹣



4

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

17.如图,四边形 ABCD 是正方形,EA⊥平面 ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G, H 分别为 PB,EB,PC 的中点. (Ⅰ)求证:FG∥平面 PED; (Ⅱ)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成的角为 60°?若存在,求 出线段 PM 的长;若不存在,请说明理由.

【考点】直线与平面平行的判定;异面直线及其所成的角;二面角的平面角及求法. 【分析】 (Ⅰ)由三角形的中位线定理得到线线平行,然后直接利用线面平行的判定定理得 到线面平行; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补,由两个 平面法向量所成的角求解二面角的大小; (Ⅲ)假设存在点 M,由共线向量基本定理得到 M 点的坐标,其中含有一个未知量,然后 利用直线 FM 与直线 PA 所成的角为 60°转化为两向量所成的角为 60°,由两向量的夹角公式求出 M 点的坐标,得到的 M 点的坐 标符合题意,说明假设成立,最后得到结论.
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【解答】 (Ⅰ)证明:因为 F,G 分别为 PB,BE 的中点,所以 FG∥PE. 又 FG?平面 PED,PE? 平面 PED,所以 FG∥平面 PED. (Ⅱ)解:因为 EA⊥平面 ABCD,所以 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD,PD⊥CD. 又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AD⊥CD. 如图建立空间直角坐标系,

因为 AD=PD=2EA,所以 D(0,0,0) ,P(0,0,2) ,A(2,0,0) , C(0,2,0) ,B(2,2,0) ,E(2,0,1) . 因为 F,G,H 分别为 PB,EB,PC 的中点,所以 F(1,1,1) ,G(2,1, ) ,H(0,1, 1) . 所以 , ,



为平面 FGH 的一个法向量, 则

, 即



再令 y1=1,得

. ,



为平面 PBC 的一个法向量,则

,即



令 z2=1,得 所以



=



所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为



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(Ⅲ)在线段 PC 上存在点 M,使直线 FM 与直线 PC 所成角为 60° 证明:假设在线段 PC 上存在点 M,使直线 FM 与直线 PC 所成角为 60°. 依题意可设 ,其中 0≤λ≤1. 由 又因为 所以 又直线 FM 与直线 PA 成 60°角, . , ,则 , .

所以

,即

,解得:



所以



. .

所以,在线段 PC 上存在点 M,使直线 FM 与直线 PC 所成角为 60°,此时 PM 的长为

18.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F2(1,0) ,点 H(2,

)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程; (2)点 M 在圆 x2+y2=b2 上,且 M 在第一象限,过 M 作圆 x2+y2=b2 的切线交椭圆于 P,Q 两点,问:△PF2Q 的周长是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)由椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点为 F2(1,0) ,点 H(2, )在

椭圆上,建立方程组,可得 a 值,进而求出 b 值后,可得椭圆方程; y1) Q y2) (2) 设P (x1, , (x2, , 分别求出|F2P|, |F2Q|, 结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2 ﹣|OM|2 求出|PQ|,可得结论. 【解答】解: (1)∵椭圆 在椭圆上, + =1(a>b>0)的右焦点为 F2(1,0) ,点 H(2, )

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∴由题意,得

,…

解得 a=3,b=2 ∴椭圆方程为

… .…

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , ∴|PF2|2=(x1﹣1)2+y12= (x1﹣9)2,

(|x1|≤3)

∴|PF2|=3﹣ x1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 连接 OM,OP,由相切条件知: |PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x12+y12﹣8= x12, ∴|PM|= x1, ∴|PF2|+|PM|=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣ 同理可求|QF2|+|QM|=3 ∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=6 为定值.… 19. S5=15, b1= , bn+1= 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 并且 a2=2, 数列{bn}满足: bn(n∈N+) ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn. (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和公式 Sn; (2)求数列{bn}的通项公式 bn 及前 n 项和公式 Tn; (3)记集合 M={n| ≥λ,n∈N+},若 M 的子集个数为 16,求实数 λ 的取值

范围. 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】 (1)利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式即可得出; (2)先得到 法求出前 n 项和公式 Tn; (3)根据函数的 取值范围
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,再利用累乘法,得到数列{bn}的通项公式,再利用错位相减

的单调性,得到不等式

,n∈N+继而求实数 λ 的

【解答】解: (1)设数列{an}的公差为 d, 由题意得 ∴an=n, ∴ . ,解得 ,

(2)由题意得



累乘得



由题意得





②﹣①得:



(3)由上面可得

,令



则 f(1)=1,









下面研究数列

的单调性,





∴n≥3 时,f(n+1)﹣f(n)<0,f(n+1)<f(n) ,即 f(n)单调递减. ∵集合 M 的子集个数为 16, ∴M 中的元素个数为 4, ∴不等式 ,n∈N+解的个数为 4,



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20.设函数 f(x)=

﹣aln(1+x) ,g(x)=ln(1+x)﹣bx.

(1)若函数 f(x)在 x=0 处有极值,求函数 f(x)的最大值; (2)是否存在实数 b,使得关于 x 的不等式 g(x)<0 在(0,+∞)上恒成立?若存在, 求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)证明:不等式﹣1< ﹣lnn≤ (n=1,2.…) .

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)由已知得: ,且函数 f(x)在 x=0 处有极值,得 a=1,

从而求出函数的表达式,找出单调区间求出最值; (2)由已知得: 再对 b 分情况讨论:①若 b≥1,②若 b≤0,③若 0

<b<1 综合得出 b 的取值范围是 x∈[1,+∞) ; (3)由前两问综合得出. 【解答】解析: (1)由已知得: ∴ ∴a=1 ∴ , , ,且函数 f(x)在 x=0 处有极值

∴ 当 x∈(﹣1,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; ∴函数 f(x)的最大值为 f(0)=0. (2)由已知得: ①若 b≥1,则 x∈[0,+∞)时,

∴g(x)=ln(1+x)﹣bx 在[0,+∞)上为减函数, ∴g(x)=ln(1+x)﹣bx<g(0)=0 在(0,+∞)上恒成立; ②若 b≤0,则 x∈[0,+∞)时,

∴g(x)=ln(1+x)﹣bx 在[0,+∞)上为增函数, ∴g(x)=ln(1+x)﹣bx>g(0)=0, 不能使 g(x)<0 在(0,+∞)上恒成立; ③若 0<b<1,则 时,
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, 当 时,g'(x)≥0, 上为增函数,

∴g(x)=ln(1+x)﹣bx 在

此时 g(x)=ln(1+x)﹣bx>g(0)=0, ∴不能使 g(x)<0 在(0,+∞)上恒成立; 综上所述,b 的取值范围是 b∈[1,+∞) . (3)由(1) 、 (2)得: 取 得: .





则 因此

, .











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2016 年 8 月 27 日

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