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广东省广州市番禺中学2012-2013学年高二上学期期中数学试题


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番禺中学 2012-2013 学年高二上学期期中数学理试题
试卷说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间 120 分钟.试卷满 分 150 分. 注意事项: 1.考生应在答题之前将班级、姓名、学号、试室号、座位号填写在答题卡、答题卷指 定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,应将对应题目的答案标号填写在答题卡指定的位置上. 3.非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划 掉原来的答案, 然后写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.本次考试过程中不得使用计算器. ....... 5.考生必须保持答题卡、答题卷的整洁,考试结束后,将答题卡、答题卷一起交回.

第Ⅰ卷

选择题

(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.函数 f ( x) ?

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是( 1? x
B . (1, ??)



A . (??, ?1)

C . (?1,1) ? (1, ??)


D . (??, ??)

2.函数 f ? x ? ? x3 ? 2 的零点所在的区间是(

A . (?2,0)

B . (0,1)
? ?

C . (1,2)

D.

(2,3)
)

3. 若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为(

A.

?1

B. ?

C.

?

D.

??
) .

4.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 (

A .3

B . 11

C . 38

D . 123
)

5.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ...

A. 3

B .2

C .2 3

D .6

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6.已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 则( )

?
2

) 的部分图象如题图所示,

A.

? ? 1, ? ?

?

C . ? ? 2, ? ?

?

6

B . ? ? 1, ? ? ? D . ? ? 2, ? ? ?

?

?

6

6

6

7.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随 机取一个点 Q ,则点 Q 取自 ΔABE 内部的概率等于( )

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

8.已知向量 a ? (1,0) b ? (0,1) c ? a ? ?b ( ? ? R) , , ,向量 d 如图所示.则(



A.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 垂直
? B.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 夹角为 60
? C.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 夹角为 30

D.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 共线

第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分 9.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150 、 150 、 400 、 300 名学生,为了解学生的 就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙 专业抽取的学生人数为
?

.

10.在 ?ABC 中, ?A ? 90 ,且 AB ? BC ? ?1 ,则边 AB 的长为

??? ??? ? ?



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11.如图,点 ( x, y ) 在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那么 z ? 2x ? y 的 最小值为________.

12.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 4,则该双曲线的离心 率为 .

1) 13. 在平 面直 角坐 标 系 xOy 中 , 有一 定点 A(2, , 若 线 段 OA 的垂 直 平分 线过 抛物 线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是



14.如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)

y 与乘客量 x 之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两
种调整的建议,如图(2) (3)所示.

给出下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中所有说法正确的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? x)sin(

?
2

? x) ? cos 2 x .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

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(2)当 x ? [ ?

? 3?
8 , 8

] 时,求函数 f ( x) 的值域.

16. (本题满分 12 分) 某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1, 2,3, 4,5 .现从一批该 日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求

a, b, c 的值;
(2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1 , x2 , x3 ,等级系数为 5 的 2 件 日用品记为 y1 , y2 ,现从这 5 件日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件(假定每件日用品被取出 的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

17.(本题满分 14 分)

如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , ?ADC ? 45? ,

AD ? AC ? 1 , O 为 AC 的中点, PO ? 平面ABCD , PO ? 2 , M 为 PD 的中点.
(1)证明: PB // 平面ACM ;
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(2)证明: AD ? 平面PAC ; (3)求三棱锥 M ? ADC 的体积.

18.(本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件: f (2) ? 0 且方程 f ( x) ? x 有等根. (1)求 f (x) 的解析式; (2)问是否存在实数 m, n(m ? n) 使 f (x) 的定义域和值域分别为 ?m, n ? 和 ?2m,2n? , 如存在, 求出 m, n 的值;如不存在,说明理由.

19.(本题满分 14 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为 D(2,0) ,设点 A ?1, ? . (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值.

? 1? ? 2?

20.(本题满分 14 分) 设各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10 , a3 ? a5 ? 40 .设 bn ? log2 an . (1)求数列 {bn } 的通项公式;

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(2)若 c1 ? 1 , cn ?1 ? cn ?

bn ,求证: cn ? 3 an 1 1 1 k ? ??? ? 对任意正整数 n 均成立? bn ? 1 bn ? 2 bn ? n 10

(3)是否存在正整数 k , 使得

若存在,求出 k 的最大值,若不存在,说明理由.

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广东番禺中学 2012-2013 学年度上学期高二年级期中 考试 数学参考答案与评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (9) 16 ; (10) 1; ( 11) 1; ②③. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15.(本小题满分 12 分) ( 12) 2; ( 13)

5 x?? ; 4

(14)

16. (本题满分 13 分) 解: (1)由频率分布表得

a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1 ,即 a ? b ? c ? 0.35 .????2

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分 因 为 所 抽 取 的 20 件 日 用 品 中 , 等 级 系 数 为 4 的 恰 有 4 件 , 所 以

b?

3 ? 0.15 ,???3 分 20
又 因 为 所 抽 取 的 20 件 日 用 品 中 , 等 级 系 数 为 5 的 恰 有 2 件 , 所 以

c?

2 ?0.1 ,???4 分 20
于 是

a ? 0 . 3? 5

0? . 1 ? . 5

0 所 1以 0 ?.0 1. , b ? 0.15 , . a 1

c ? 0.1 .???????6 分
(2)从 5 件日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,所有可能的结果为:

?x1, x2?,?x1, x3?,?x1, y1?,?x1, y2?,?x2 , x3? ?x2 , y1?,?x2 , y2?,?x3 , y1?,?x3 , y2?,?y1, y2? .
所以所有可能的结果共 10 个。???????9 分 设事件 A 表示 “从这 5 件日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件, 等级系数恰好相等” A 包 则 含的事 件为 ?x1, x2 ? ,?x1, x3? ,?x2 , x3? , ? y1, y2 ? 共 4 个,???????11 分 所以所求的概率为 P ? A ? ?

4 ? 0.4 .???????12 分 10

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18.(本题满分 14 分)
2 解: (Ⅰ)方程 f ( x) ? x ,即 ax ? bx ? x ,亦即 ax ? (b ? 1) x ? 0 ,
2

由方程有等根, 得 1分

∴ ? ? (b ? 1) 2 ? 4a ? 0 ? 0 , b ? 1



????

由 f (2) ? 0 ,得 4a ? 2b ? 0 由①、②得, a ? ? 故



????2 分

1 , b ? 1 ,????3 分 2

1 f ( x) ? ? x 2 ? x . 2

????4 分

(Ⅱ)假设存在实数 m 、 n 满足条件,由(1)知,

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1 1 1 1 f ( x) ? ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? ? ,????5 分 2 2 2 2
1 1 , n? . 即 2 4

则 2n ? 7

????

1 1 ? f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? 的对称轴为 x ? 1 , 2 2 1 ∴当 n ? 时, f (x) 在 [m, n] 上为增函数. 4


????9

? 1 2 ?? 2 m ? m ? 2m ? f (m) ? 2m 于是有 ? ,即 ? , 1 ? f ( n) ? 2n ? ? n 2 ? n ? 2n ? 2
∴?

????11 分

?m ? ?2或m ? 0 ?m ? ?2 1 ,又 m ? n ? ,∴ ? . 4 n?0 n ? ?2或n ? 0 ? ?

故存在实数 m ? ?2 , n ? 0 ,使 f ( x ) 的定义域为 [m, n] ,值域为 [2m,2n] . ???? 14 分 19.(本题满分 14 分) 解(1)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ? 3 ,则半短轴 b ? 1 . ????3 分

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 ????4 分 4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), ????5 分 x=

x0 ? 1 2
由 y= 得

x0= 2x-1 y0= 2y-

1 y0 ? 2 2
由点 P 在椭圆上,得

1 2

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , ????7 分 4 2

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∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 .???????8 分
2 2

1 2

1 4

(3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. ????9 分 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,该直线方程为 y=kx,代入

x2 ? y2 ? 1, 4

解得 B(

2 4k 2 ? 1

,

2k 4k 2 ? 1

),C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1

),????10 分

则 BC ? 4

1? k

2

k?
,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1 2

1 ? 4k 2

1? k 2

,????11 分

∴△ABC 的面积 S△ABC=

2k ? 1 1 AB ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S△ABC=

4k 2 ? 4k ? 1 4k ????12 分 ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1



4k 1 ≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立. ????13 分 2 2 4k ? 1
???????14 分

∴S△ABC 的最大值是 2 . 20.(本题满分 14 分)

解:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0),
?a1+a1q =10 ? 由题意有? 2 4 ? ?a1q +a1q =40
2

,????2 分

∴a1=q=2,∴an=2 , ∴

n

bn
????4 分



n.
(2)∵c1=1<3,cn+1-cn= n,????5 分 2

n

1 2 当 n ≥2 时, cn =(cn - cn - 1)+(cn - 1 - cn - 2)+?+(c2 - c1)+ c1 =1+ + 2 +?+ 2 2

n-1
2
n-1

,????6 分 1 1 1 2 n-1 ∴ cn= + 2+ 3+?+ n .????7 分 2 2 2 2 2 1 1 n-1 n+1 相减整理得:cn=1+1+ +?+ n-2- n-1 =3- n-1 ,????8 分 2 2 2 2

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因为 9分

n+1
2
n-1

大于零, cn<3. 故

????

(3)令 f(n)= = 1 + 1

1

bn+1 bn+2



1

+?+

1

bn +n

n+1 n+2

1 +?+ ????10 分 2n

1 1 1 ∵f(n+1)-f(n)= + - 2n+1 2n+2 n+1 = 1 1 - >0,????11 分 2n+1 2n+2

∴f(n+1)>f(n). ∴数列{f(n)}单调递增, 1 ∴f(n)min=f(1)= .????12 分 2

k 1 由不等式恒成立得: < , 10 2
∴k<5. ????13 分 故存在正整数 k,使不等式恒成立,k 的最大值为 4. ????14 分

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