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【全国百强校】甘肃省西北师大附中高中物理奥赛复赛讲义 光学补充


光学例题补充 一、光的直线传播、光的反射、光的折射、光的色散 例题 1: (23 分)封闭的车厢中有一点光源 S,在距光源 l 处有一半径为 r 的圆孔,其 圆心为 O1,光源一直在发光,并通过圆孔射出.车厢以高速 v 沿固定在水平地面上的 x 轴正方向匀速运动,如图所示.某一时刻,点光源 S 恰位于 x 轴的原点 O 的正上方,取 此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点.在

地面参考系中坐标为 xA 处放一半径 为 R(R >r)的不透光的圆形挡板,板面与圆孔所在的平面都与 x 轴垂直.板的圆心 O2 、 S、 、O1 都等高,起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕 (图中未画出)上.由于车厢在运动,将会出现挡板将光束完全遮住,即没有光射到屏上 的情况.不考虑光的衍射. 试求: 1.车厢参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻. 2.地面参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻. 解析: 1.相对于车厢参考系,地面连同挡板以速度 v 趋向光源 S 运动.由 S 发出的光经小 孔射出后成锥形光束,随离开光源距离的增大,其横截面积逐渐扩大.若距 S 的距离为 L 处光束的横截面正好是半径为 R 的圆面,如图所示。 根据几何关系,得 r R ? l L 解得: S l r R Rl (1) L? r 设想车厢足够长,并设想在车厢前端距 S 为 L L 处放置一个半径为 R 的环,相对车厢静止,则光束恰好从环内射出.当挡板运动到与此 环相遇时, 挡板就会将光束完全遮住. 此时, 在车厢参考系中挡板离光源 S 的距离就是 L. 在 车厢参考系中,初始时,根据相对论,挡板离光源的距离为: x ? x A 1 ? ?v c ?2 (2) 故出现挡板完全遮住光束的时刻为: t? x A 1 ? ?v c ? ? L (3) v 2 由(1) 、 (3)式,得 x 1 ? ?v c ? Rl t? A ? v rv 2 (4) 2.相对于地面参考系,光源与车厢以速度 v 向挡板运动.光源与孔之间的距离缩短为: l ' ? l 1 ? ?v c ? 2 (5) 而孔半径 r 不变,所以锥形光束的顶角变 大,环到 S 的距离即挡板完全遮 光时距离应为: L' ? Rl' Rl v2 ? 1? 2 r r c (6) 初始时,挡板离 S 的距离为 xA,出现挡板完全遮住光束的时刻为: x A ? L' x A Rl v2 t? ? ? ? 1? 2 v v rv c (7) 例题 2: (20 分)内半径为 R 的直立圆柱器皿内盛水银,绕圆柱轴线匀速旋转(水银 不溢,皿底不露) ,稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点,纵坐 标轴 z 与圆柱器皿的轴线重合,横坐标轴 r 与 z 轴垂直,则液面的方程为 z ? ?2 2g r 2 ,式 中 ω 为旋转角速度,g 为重力加速度(当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天 文望远镜) 。 观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处,保持位置不变,然后使容器停转,待液 面静止后,发现与稳定旋转时相比,看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。 求人眼位 置至稳定旋转水银面最低点的距离。 [来源:www.shulihua.net] 解析:旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦,此抛物凹面镜的焦距为: f ? g (1) 2? 2 由(1)错误!未找到引用源。式,旋转抛物面方程可表示为: z? r2 (2) 4f 停转后液面

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