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《等比数列的前n项和》ppt课件


等比数列 的前n项和

复习:
等差数列 等比数列

定义
通项公式

an?1 ? an ? d
an ? a1 ? (n ? 1)d
an ? am ? ( n ? m )d
m?n ? r ?s

a n ? a1q
(m, n, r

, s ? N * )

a n ?1 ?q an

n ?1
n? m

an ? am q

性质

am ? an ? ar ? as
Sn

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

am an ? ar as

等差数列求和方法回顾:(倒序相加)

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

+ Sn ? an ? an?1 ? an? 2 ? ? ? a2 ? a1
2 Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an ? a1 )
n个相 同的数

n(a1 ? an ) Sn ? 2

国王赏麦的故事

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2
62
62

63
64



2 S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ②
63

②—① ,得

S64 ? ?1 ? 0 ? 0 ? ?? 0 ? 2
中间各 数均为0

64

如何求等比数列的Sn:
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q
2
2 3

n? 2

? a1q

n ?1


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q

n ?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q ) Sn ? a1 ? 0 ? ? ? 0 ? a1q (1 ? q ) S n ? a1 ? a1q
n

? na1 (q ? 1) ? n S n ? ? a1 ? a1q (q ? 1) ? 1? q ?

q ? 1时 :
注意:
1. 当 q ? 1

a1 ? a n q a1 ? a1q Sn ? ? 1? q 1? q
n

时, a1 , q, n, S n

a ; 1 , an , q, S n
的情

2、使用公式求和时,需注意对 q ? 1 和 q ? 1 况加以讨论; 3、推导公式的方法:错项相消法。

等比数列前n项和公式的推导欣赏 (一) 用等比性质推导
因为 所以

当 q = 1 时 Sn = n a1

(二)借助和式的代数特征进行恒等变形
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
? a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 )

? a1 ? q( S n ? an )

当q≠1时,

a1 ? a n q Sn ? 1? q

当q=1时,S n ? na1

公式应用:
例1:求等比数列

1 1 1 , , ,? 2 4 8

的前8项的和。

1 1 1 1 解:由 a1 ? , q ? ? ? , n ? 8 ,得 2 4 2 2

1 1 8 [1 ? ( ) ] 255 2 ? Sn ? 2 1 256 1? 2

例2 已知等比数列 ?an ? , a1 求前8项的和.

? 27, a9 ?

1 243

练习1.
在等比数列{an}中: 1)a1=2,S3=14,则q= 2或-3 ,a3= 8或18 2)a1=-1,a4=216,则q= -6 ,S4= 185
知三求二

练习2.
已知{an }中,an ?1 ? 2an , a2 ? 3, 求S6 .
解: an ?1 ? 2an ? an ?1 ? ? 2,?{an }为等比数列 an

3 ?q ? 2 且a1 ? 2 3 6
(1 ? 2 ) 1? 2

?s6 ? 2

189 ? 2

小结:
等比数列求和公式:

na1 (q ? 1) ? ? n a1 ? a n q S n ? ? a1 ? a1q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
推导方法: 错位相消法


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