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物理竞赛讲义十四振动、波


当振源按简谐振动的规律振动时, 在媒质中所形成的波称为简谐波。 任何复杂形式的机 械波,都是由各种不同频率的简谐波叠加而成的。 简谐波的波动方程和它的解——波函数 在播的传播方向上, 平衡位置为 x 的质点在 t 时刻偏离平衡位置的位移的函数形式—— 波函数 y(x、t) 。对于平面简谐波的波函数,可以表述为下面三种形式:

x y ( x ,t ) ? A cos[? (t ? ) ? ? 0 ] v t x ? A cos[2? ( ? ) ? ? 0 ] T ? x ? A cos[2? (?t ? ) ? ? 0 ]

?

机械波是机械振动在媒质中的传播, 而媒质中的每一个质点都在做受迫振动, 因而对这 些物理量应当分别从波动和振动两个方面去理解。 在坐标系建立后,波函数 y(x、t)描述的是:在播的传播方向上,平衡位置距离坐标 原点为 x 处的媒质质点,在 t 时刻偏离平衡位置的位移。 波(振)幅 A,从波动角度讲,描述机械波的强度,对于横波,是波峰的高度或是 波谷的深度;对于纵波,是从平衡位置到疏部(或密部)中心的距离。从振动角度讲,是 媒质质点做受迫振动的振幅。 在不考虑能量损失的情况下, 平面简谐波的波幅由振源决定。 波长λ ,从波动角度讲,在同一传播方向上,两个相邻的具有相同振动状态(位相 相差 2π )的媒质质点的平衡位置之间的距离,从振动角度讲,媒质中的某一质点在完成 一次全振动时,这个质点的振动状态在波传播方向上传播的距离。当波源相对媒质静止不 动时,波长由媒质和振源的频率决定。 周期 T,从波动角度讲,媒质中的某一质点的振动状态在波传播方向上传播一个波 长的距离所用的时间,从振动角度讲,媒质中的某一质点完成一次全振动所用的时间。 频率ν ,从波动角度讲,单位时间通过媒质中的某一质点的完整波的个数,从振动 角度讲,媒质中的某一质点在单位时间内完成的全振动的个数。 圆频率ω ,从波动角度讲,2π 秒内通过媒质中的某一质点的完整波的个数,从振动 角度讲,媒质中的某一质点在 2π 秒内完成的全振动的个数。 波速 v ,媒质中质点的振动状态在波传播方向上的传播速度,由媒质的情况决定。 位相 ω (t ±x/v)+φ 0 ,在波的传播方向上,平衡位置距离坐标原点为 x 处的媒 质质点,在 t 时刻的振动状态。 φ 0 ,平衡在坐标原点处的媒质质点,在 t=0 时刻的振动状态。 频率和角频率: 作振动的物体在单位时间内完成全振动的次数。 通常用符号 f 或υ 表示, 它是表示振动快慢的物理量。频率的单位是赫兹,符号是 Hz。1Hz=1s 1。常见的秒摆的频率 是 f=0.5Hz。角频率又称圆频率,用符号ω 表示,它是人们在研究质点作匀速圆周运动的射 影的运动规律时,发现质点的射影作的是简谐运动,而且质点圆周运动的角频率是其射影的 简谐运动的频率的 2π 倍, 也就是在 2π s 内质点射影作的简谐运动的次数恰与质点的匀速圆 周运动的角频率相对应,用公式表示为ω =2π f=2π /T。角频率的单位是弧度/秒,单位符号 rad/s。 参考圆: 实验证明做匀速圆周运动的质点在 x 轴上的射影的运动与作简谐运动的振子具 有相同的运动规律。在初等数学阶段,我们常用质点的匀速圆周运动来描述简谐运动,这个 圆叫参考圆。

相位:是描述做简谐运动的物体的运动状态的物理量,也称位相或周相,简称相。当振 动物体的角频率和它的初始位置确定之后,该物体的相就被确定了。物体振动一个周期,它 的位相在 0~2π 范围内变化, 位相的各不同的值表示了振动物体在一个周期内各不同时刻的 运动状态,就是说物体的位相一定,其位移大小、方向,速度的大小、方向,加速度的大小、 方向就都确定了。 初相位:作简谐运动的物体 t=0 时的相位叫做初相。对一个简谐运动来说,初相φ 是一 定的,而相位(ω t+φ )都随时间的变化而变化。根据振动方程 x=Acos(ω t+φ ),最简单的 情况是初期φ =0,当 t=0 时,则 x=A,v=0,说明振动的质点是从一侧的最大位移处开始计 时的。 相差:也称相位差或位相差,通常是在比较两个同频率的振动时引进的物理量。两个角 频率相同的简谐运动相位之差(ω t+φ 02)–(ω t+φ 01)=φ 02–φ 01=△φ 0 它表示了两个简谐运 动的不一致到了什么样的程度,当两个角频率相同的简谐运动的相位差△φ =2nπ 时(n 为整 数),两振动的步调一致,它们总是同时、同向运动,同时达到同一侧位移最大处,同时同 方向地经过平衡位置。也就是说它们是同相位。当两个角频率相同的简谐运动的相位差△φ =(2n+1)π 时(n 整数),表示两个简谐运动的步调相反。它们的振动方向总相反,速度方向也 总是相反,同时到达异侧的位移最大值处,同时经过平衡位置但速度方向相反。也就是他们 是反相位。 当介质的振动方向和振动的传播方向垂直时,这种波叫横波。横波是最简单的波之一。机械 横波只能发生在固体之中。当介质的振动方向与振动的传播方向在同一条直线上时,这种波 叫纵波。空气中声波是纵波。向河水中投入一块石头,可以看到水面有波传播,这种水面波 既不是横波,也不是纵波。水面波是因重力以及表面张力的作用在水表面传播的波。在水面 波传播的过程,水的质点运动比较复杂,一般是沿椭圆轨道作周期性的运动。 各种频率的机械波在一定的介质中传播时,都具有相同的速度。因此频率不同的机械波在同 一介质中传播时波长不同;同频率的机械波在不同的介质中传播时,由于波速不同,波长也 就不同。波长与波速成正比,和波的频率成反比。 图线是波传播的某一时刻各个质点的位置,也是整个波的形态。所以也叫波形图。 几个波源产生的波在同一介质中传播时,无论相遇与否,都保持它们各自的频率、波长、振 动的方向,并按照各自的原来传播方向继续前进,不受其它波的影响(运动的独立性原理)。 在两列波相遇处,介质质点同时参加两个波的振动。在波相遇处质点的位移是各列波单独存 在时在该点所引起振动位移的矢量和,也就是说质点的振动是这些振动的合振动。特别是当 两列频率相同、振动方向相同、有固定相差的波相遇时,会出现特殊的波的干涉现象。 波的衍射和干涉现象是波所特有的性质。有无干涉和衍射是判断波动的重要依据。 波的叠加原理:大量的事实证明,从几个波源产生的波在同一介质中传播时,无论它们是否 相遇,每个波都按照自己的传播方向前进,每个波都独立地保持自己原有的特性。相遇处质 点的位移是各波单独地通过时在该点所引起位移的矢量和,这就是波的叠加原理。 相干波:频率相同,振动方向相同,相位差恒定的两列波叫相干波。相干波在传播过程中, 在空间相遇。在重叠处两列简谐波所引起的质点的简谐运动具有相同的频率,相同的振动方

向。由于各点的相位不同,振幅也不尽相同。 在两相干波的相遇区内,就出现有的地方振动增强,有的地方振动减弱。并且振动加强和振 动减弱的区域彼此互相间隔,这种现象叫波的干涉。振动最强处(即振幅为 2A0 处)叫干涉相 长。振动最弱处(即振幅为 0)叫干涉相消。总之,干涉现象是两列同频率、同振动方向、而 且相位差恒定的波相叠加而产生的。其合振动的振幅不随时间改变,只是在空间位置上周期 性变化的分布。 各种振动着的物体都可以向周围的介质发出弹性波,都是声源。常见的声源如杆,弦,气柱, 膜,板的振动。 声波:机械波之一。各种振动着的物体都是声源。声源的振动迫使跟它毗连的空气层以同样 的周期 T 振动起来。由于空气受到压缩或稀疏时,有弹性力的作用产生,就进而引起附近部 分的空气的振动。这样,声源的振动就由于空气介质的压缩和稀疏以声速向各个方向传播出 去。在气体或液体中声波是纵波,在固体中声波可以是纵波也可以是横波。声波不是声音, 声波进耳后,迫使耳膜的振动,大脑的听觉神经引起的听觉才是声音。频率范围在 20~ 20000Hz 能使人产生听觉,故命名为声波。从物理学来看频率在 20~20000Hz 以外的振动与 这个频率以内的振动没有本质的区别。因此,物理学中把 10 4~20Hz 的在液、固体中传播的 弹性振动叫次声波。例如:地震波,海洋中的海啸,都是次声波。频率高于 20000Hz 且低于 5×108Hz 的弹性振动叫超声波。 蝙蝠发出的就是超声波。 5×108~1012Hz 的声波是特超声波。 声波在介质中的传播速度叫声速。 不同的介质中声速不同。 声速与介质的温度、 分子量有关。 0℃时空气中的声速为 332m/s,氢气中的声速 1263m/s,水中 1450m/s,钢棒中为 5050m/s。 机械波在遇到障碍时会发生反射和衍射现象, 声波在传播过程中遇到障碍物也会发生反射和 衍射现象。当障碍物的尺寸比声波的波长大得多的情况下,衍射现象不显著,声波的反射现 象才会突出地显示出来。回声是声波反射的例子,人耳听到回声的条件是:第一要有声波的 反射。第二从障碍反射回来的声波比发出的声波至少要滞后 0.1s 以上的时间间隔。利用超声 波的定向发射性质,可以探测水中物体,如探测鱼群,潜艇等。也“可以用它来测量海深。 超声波在军事上更有着十分重要的用途。 乐音具有音调、音色、响度三个特性。 音调:音调是听觉分辨声音高低的一种属性。根据音调可以把声音按高低排列成音阶,它反 映了人耳对声音频率的感受,低频率的声音音调低,高频率的声音音调高。但是音调与频率 不成正比,它还与声强和波形有关。音调的单位是:美(mel)。 声强:声传播时也伴随着能量的传播。用单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的 能量(声波的能量流密度)表示。声强的单位是瓦/米 2。声强的大小与声速成正比,与声波的 频率的平方、振幅的平方成正比。超声波的声强大是因为其频率很高,炸弹爆炸的声强大是 因为振幅大。声强变化范围非常大,数量级有时会相差很多,因此改用对数标度。规定强度 I=10 6W/cm2(相当于 103Hz 时, 能够引起听觉的最弱的声强)为测定声强的标准, 引入声强级: L=log(I/I0)作为声强级的量度。声强级的单位是贝尔。 响度:指感觉到的声音的强弱,即听觉判断声音强弱的属性。根据它可以把声音排成由轻到

响的序列。人耳感觉的响度客观上取决于声音的强度。声强相同的声音在 1~4×103Hz 的范 围内听起来最响。在此范围之外,随着频率的降低或升高,响度感觉越来越弱,直到频率降 低到 20Hz 或升高到 20000Hz,人耳便听不到这些频段的声音了。 音色(音品):人们在主观感觉上借以区别同样响度和音调的两个声音的特性。它是一种复杂 的感觉,主要决定于声音的波形,但也同响度和音调有关。乐器等发出的声音不是只有一个 频率的纯音,而是由频率最低的基音和基音整倍数的泛音组成复杂的波形曲线。基音相同的 两个乐音给人的感觉不同是由泛音的多少,泛音的频率,以及泛音振幅的不同,传入耳中声 音的波形不同,使得同样的音调有不同音品。泛音太少声音听起来单调,泛音越多越好听, 基音的高倍数泛音多,声音给人的感觉活泼明快;低倍泛音多,声音给人深沉浑厚的感觉。 噪声:噪声有两种意义:(1)物理上指不规则的,间歇的,随机的声振动。(2)指任何难听的, 不谐和的声或干扰。噪声听起来有嘈杂、刺耳的感觉。噪声环境污染的三个来源之一,危害 极大。 超声波及其应用:声波的范围大于 2×10^4\Hz 的声波叫超声波。高频的超声波方向性好, 因为波长短,衍射不明显,超声波能定向传播。超声波的穿透本领大,在液体、固体中传播 时,衰减很小。在不透明的固体中,超声波能穿透几十米的厚度。超声波碰到杂质或介质分 界面有显著的反射。超声波应用很广泛。利用超声波的机械作用可进行超声焊接、钻孔、除 尘。利用超声的空化作用可用来使油水混合物乳化,使一些在常温常压下不能发生的化学反 应得以进行。利用超声的方向性好可进行超声探测定位。利用超声的穿透和反射性能进行固 体的超声探伤,研究物质的内部结构。还可以利用超声波的生物作用,进行种子处理使农业 增产,也可以进行超声治疗一些人类的疾病。

傅科摆
傅科摆是由法国实验物理学家傅科于 1851 年在巴黎万神殿所做的一个著名实验。 该实验 有力地证明了地球的自转。傅科摆的摆长为 67m,摆锤直径为 0.3 m,质量为 28kg,悬挂在 万神殿屋顶的中央。当摆球摆动时,如地球不转动,摆球的振动面将保持不变,摆球的下端 摆尖画出的线条将位于同一直线。 由于地球的自转, 位于北半球的摆尖下端画出的线段将随 地球的自转而发生变动, 而且在相对于下一次摆尖下端画出的线段的逆时针方向上, 而地面 上的观察者观察到的现象是摆的振动面发生了顺时针旋转。南半球正好相反。 傅科摆每摆动一次,摆尖在直径为 6m 的沙盘边缘线路移动约 3mm,每小时偏转 11020/。 在不同的地点的傅科摆实验,发现摆振动面的旋转周期 T 随傅科摆在地球上的位置不同 而不同, T ? sin ? ,α 为傅科摆所处的纬度。在两极处的旋转周期为 24h。 某轻质弹簧上端固定,下端悬挂一质量为 m 可视为质点的小球,小球平衡时弹簧长度较原 长长 4.9cm,求此振动系统自由振动的周期。 (本题中 g 取 9.8m/s2) 解析:∵ m g ? k?x ∵ T ? 2? ∴ k ? mg ?x ∴ T ? 2?

m k

?x ? 0.14? (s) g

如图所示,一竖直放置、内径处处相同的 U 型玻璃管,管内装有总长度为 L 的水银柱。现 将 U 型管的右臂向上稍稍提起,然后迅速复位,管内左右两部分的液面就会上 下振动起来,试求液面的振动周期。

m 解析: U 型玻璃管的截面积为 S, 设 水银密度为 ρ , 则水银的质量为: ? ? ? LS
若 U 型管的右侧液面下降了 Δ x,U 型管的左侧液面上升 Δ x,两侧水银压强差为:

?p ? ? ? g ? 2?x

回复力为: F ? ?p ? S ? ? ? g ? 2?xS

∴ k ? F ?x ? 2? ? gS

T ? 2? L 2g

若沿地球两极间的地轴钻一个洞,当一物从北极无初速地落入这无底洞时,物体将如何运 动?到达南极的时间是多少? 解析:设地球为密度均匀的圆球体,物体在地球内部所受的地球的引力为:

?4 ? ?4 ? 3 3 ? ? ? x ? ???m ? ? ? R ? ???m Mm ?3 ? ?3 ? F ?G ?G ?x?G 3 ?x 2 3 x R R
∴ F ? ?G ∵ T ? 2?

O

Mm ?x R3

k ?G

Mm R3

故物体以 O 点为平衡位置做简谐振动。 ∴t ?

A O

m x

m R3 R ? 2? ? 2? k GM g

T R ?? 2 g

阴天,面对高高的均匀钢管做成的旗杆,一阵风吹来,旗杆来回摆动。 “旗杆有多高?”同 学们七嘴八舌地猜着。你能写出估测的原理、 实验手段和旗杆高度的计算公式 N 吗? F mg h g 解析:设 x 为杆重心相对竖直平衡位置的位移,则: F ? mg sin ?
0 当 ? ? 5 时, tg? ?

2x h

∴ F ? ?2mg ?

x ? ?kx h
h 2g

k?

2 mg h

θ

故杆做简谐振动。∵ T ? 2?

m k

∴ T ? 2?

t h 如旗杆全振动 n 次历时 t(用秒表测出) ,则: T ? ? 2? n 2g

t2 ? g h? 2? 2 ? n 2

半径为 R 的细圆环,其质量与固定在其上的两个相同小重物相比可忽略不计。在环上与两 O 个小重物等距(如图所示)处钻个小孔 O,将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起 r 来;使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动(象摆一样) ,两小重物 C αα R 的位置关系可以用它们之间的角距离 2α 表示,求此装置的振动周期,摆长 L 为 多少的单摆自由振动时,振动周期和图示的摆相同?

解析:此装置(物理摆)无能量损失地做角振幅θ

m 不大的微小简谐振动时机械能守恒,小

重物经过的是一段半径为 r ? R 2 ?1 ? cos ? ? 的圆弧。 小重物通过平衡位置时速度最大: vm ? ? ? A ? ∵ r ? 2 R sin

2? ?? m ? r T

?
2

? R 2 ?1 ? cos ? ?

∴ vm ?

2? ?? m ? R 2 ?1 ? cos? ? T

此时摆的动能为: Ekm

2 2 2 1 2 4? ?? m ? R ? 2 ?1 ? cos ? ? ? 2 ? mvm ? 2 T2

由机械能守恒: 2mghm ? 2 ?

在平衡位置时两球的重心 C 距 O 点的距离为 L: L ? R ? R cos ? 当振幅最大时,偏角为θ m,重心升高的最大高度为 hm:

1 2 mvm 2

hm ? L ?1 ? cos?m ? ? R ?1 ? cos? ??1 ? cos?m ?
2 4? 2 ?? m ? R 2 ? 2 ?1 ? cos ? ? ∴ 2mg ? R ?1 ? cos? ??1 ? cos?m ? ? T2
2 4? 2 ?? m ? R T2

g ?1 ? cos ? m ? ?

∵ sin

?m
2

?

?2 1 ? cos? m ,当振幅较小时: 1 ? cos? m ? m 2 2
T ? 2? 2R (与摆长为 2R 的单摆的周期相同) g

2 4? 2 ?? m ? R ? ∴ g? 2 T2

2 ?m

如图所示,用一个小重球 A 和一根长为 L 的轻杆组成一个单摆,杆的一端用铰链固定在天 B 花板的 B 点上。 未发生形变时长度可忽略不计的两根相同的理想弹簧, 一端固定在小球 C D L L 上,另一端分别固定在天花板上的 C 点和 D 点,C、D 与 B 的距离均为 L。已知弹簧和 L 杆的运动都在同一竖直平面内进行,求单摆微小振动的周期? A 解析:单摆微小振动时只能以杆长为半径沿圆周运动,两弹簧所成的夹角总为 900。设 C B D 杆偏斜某一微小角度时,弹簧 1 与天花板所成的角为α ,弹簧 2 与天花板所成的角为θ 1。 L 1 αθ 2 弹簧 1 的长度为:2Lcosα ,作用在小球上的作用力为:2KLcosα ,此力在圆周切线上的 分力为:2KLcosα sinα 。同理,弹簧 2 作用在小球上的作用力在圆周切线上的分力为:
2KLcosθ sinθ 。 ∵ α +θ =900

故两弹簧在圆周切线上的分力大小相等、方向相反,合力为零,不影响

单摆的振动周期。 ∴ T ? 2?

L g

等截面的开口 U 形管装有质量为 m 的水,水柱长为 L,受扰动后水在管内振动,求振动的 周期。 解析: E p ? ? ? g ? x ? s

x 1 ? x? ? ? ? g ? x ? s? ? ? ? ? ? g ? s ? x 2 ? ?2? ? g ? s ?x 2 2 2 ? 2?
1 ?2 ? ? g ? s ?x 2 ? 1 k ? x 2 , 2 2

若系统对平衡位置的位移为 x, 系统的势能 Ep 是 x 的二次函数 则系统做简谐振动,其周期为: T ? 2?

m L?s? ? L ? 2? ? 2? k 2? ? ?sg 2g

如图所示,为回音壁示意图。试解释人站在 A 点,对着图中的 M 点发音时,站在对面 N 点 的人确听不到声音,而对着图中的 C 点发音时,站在 D 点的人确可以听 到声音? A M N D C 解析:以 C 点为声源,声波可通过多次反射达到 D 点,以 M 点为声源, 声波不可能通过多次反射达到 N 点。 轻杆(质量不计)长为 L,可饶轴 O 在水平面内转动,杆的另一端有与杆垂直的完全弹性档 板,距杆端 L/2 处穿有一可沿杆滑动的小球,质量为 m。开始时杆的角速度为 ω ,求杆转 动一周所用的时间?不计一切摩擦。 解析:如图所示,设等边三角形的周长为 s: s ? 3 ? 2 ? ∵ v0 ? ? ?

L ctg 30 0 ? 3 3L 2

v0

L 2

∴ t?

s 6 3 ? v0 ?

杆与球的运动中,球做匀速运动(用一带线小球穿在光滑杆上,拉动小球沿三角形轨道 作匀速运动,可使学生加深了解) 1.如图所示,质量为 M 的框架放在水平面上,一轻质弹簧上端固定在框架上,下端固定一 小球。小球上下振动时,框架始终没有离开地面。当框架对地面的压力为 零的瞬间,小球的加速度为:[ D ] M M ?m M ?m m g g A. g B. C.0 D.

m

m

解析:当框架对地面的压力为零的瞬间,整体只受重力的作用,而框架的加速度为零: ∴ Mg ? mg ? ma

a?

M ?m g m

2.有一个单摆挂在小车上,小车在斜面上五摩擦的滑下,如图所示。已知单摆在静止小车 上的振动周期为 T0,求小车沿斜面下滑时的周期。 解:当小车下滑时,单摆同时做两种运动,与小车一同的加速运动和对 小车的简谐振动。在与小车一同的加速运动运动过程中,单摆的下滑分 力 mgsinθ 提供加速度,另一个分力 mgcosθ 的切向分力提供回复力。 θ

利用相似重力法: T ? 2?

T L L ? 2? ? 0 。 / g cos? cos? g

如图所示,在光滑的水平导轨上有一个滚轮 A,质量为 2m,轴上系一根长为 L 的轻绳,绳 的另一端悬挂一质量为 m 的小球 B。今把小球稍拉离平衡位置后同时 A 释放滚轮 A、 小球 B, 不计空气阻力, 则滚轮 A 来回振动的周期为多大? 解析:由于系统水平方向动量守恒,故在 AB 连线上有一点,即系统的 L 重心位置始终不动,故滚轮 A 来回振动的周期等于小球 B 的运动周期。 小球 B 的运动是以系统重心为悬点的简谐振动。 B 由滚轮 A、小球 B 的质量关系得系统重心在离小球 B 点的 2/3 处。 ∴ TA ? TB ? 2?

2L 3g

物师 0503P56 如图所示,在直线 PQ 的垂线 OM 上有 A、B 两个声源,A、B 分别距 O 点 6m 和 1m,两个 声源同时向外发出波长都为 2m 的完全相同的声波,在直线 PQ 上从 M —∞到+∞的范围内听不到声音的小区域共有几个? A 解析: 声源为相干波, 上某点到两波源的波程差为: x ? HA ? HB PQ ? 由于在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边, ∴ ?x ? AB ,而在 PQ 上从—∞到+∞的范围内听不到声音的区域即 为减弱区域。故 ?x 应满足: P B O H Q

?x ?

2n ? 1 ?? 2



2n ? 1 ? ? ? AB 2

n?2

故在原点 O 右侧有两处(n 取 0、1) ,由对称性,在原点 O 左侧也有两处,原点 O 也为 减弱区域,故在直线 PQ 上共有 5 处减弱区域。


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