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独立重复试验与二项分布(2)1


课题:独立重复试验与二项分布 (第二课时)
教学目标: 了解 n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 教学重点: 了解 n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 教学过程 一、复习引入: 1. 已知事件 B 发生条件下事件 A 发生的概率称为事件 A 关于事件 B 的条件概率,记作
P(A | B) .

2. 对任意事件 A 和 B ,若 P ( B ) ? 0 ,则“在事件 B 发生的条件下 A 的条件概率”,记作 P(A | B),定义为
P ( A | B )= P A B) ( P B) (

3. 事件 B 发生与否对事件 A 发生的概率没有影响,即
P ( A | B ) ? P ( A) .

称 A 与 B 独立 4 独立重复试验的定义: 指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 5.独立重复试验的概率公式: 一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次独立重复试验中这个
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事件恰好发生 k 次的概率 Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k

n?k



它是 ? (1 ? P ) ? P ? 展开式的第 k ? 1 项
n

二、讲解新课: 例 1.十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少?停几次概率最大? 解:依题意,从低层到顶层停不少于 3 次,应包括停 3 次,停 4 次,停 5 次,??,直到停 9次 ∴从低层到顶层停不少于 3 次的概率
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3 1 3 1 6 4 1 4 1 5 5 1 5 1 4 9 1 9 P ? C9 ( ) ( ) ? C9 ( ) ( ) ? C9 ( ) ( ) ? ? ? C9 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 9 1 9 1 9 233 3 4 5 9 9 0 1 2 9 ? ( C 9 ? C 9 ? C 9 ? ? ? C 9 )( ) ? ? 2 ? ( C 9 ? C 9 ? C 9 ) ? ( ) ? ( 2 ? 4 6 )( ) ? ? ? 2 2 2 256

设从低层到顶层停 k 次,则其概率为 C 9 ( ) ( )
k

k

1

k

1

9?k

k ∴当 k ? 4 或 k ? 5 时, C 9 最大,即 C 9 ( ) 最大,
9

2 1

2

k 1 9 ? C9 ( ) , 2

答:从低层到顶层停不少于 3 次的概率为

2 233
256

,停 4 次或 5 次概率最大.

例 2.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛) . (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率. 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为
1 2

,乙获胜的概率为

1 2



记事件 A =“甲打完 3 局才能取胜” ,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . ①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜
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∴甲打完 3 局取胜的概率为 P ( A ) ? C 3 ( ) ?
3 3

1

1 8



2

②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜1负
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∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P ( B ) ? C 3 ? ( ) ?
2 2

1

1 2

?

1 2

?

3 16



2

③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2胜2负
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∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P ( C ) ? C 4 ? ( ) ? ( ) ?
2 2 2

1

1

1 2

?

3 16



2

2

(2)事件 D =“按比赛规则甲获胜”,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D ) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ? 答:按比赛规则甲获胜的概率为
1 2 1 8 ? 3 16 ? 3 16 ? 1 2





例 3.一批玉米种子,其发芽率是 0.8.(1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒 发芽的概率大于 9 8 % ?(2)若每穴种 3 粒,求恰好两粒发芽的概率. lg 2 ? 0 .3 0 1 0 ) ( 解:记事件 A =“种一粒种子,发芽” ,则 P ( A ) ? 0.8 , P ( A ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 , (1)设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 9 8 % . ∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B =“每穴至少有一粒发芽” 则 ,
P ( B ) ? Pn (0 ) ? C n 0 .8 (1 ? 0 .8) ? 0 .2 .
0 0 n n

∴ P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ? 0.2 .
n

由题意,令 P ( B ) ? 98% ,所以 0 .2 ? 0 .0 2 ,两边取常用对数得,
n

n lg 0 .2 ? lg 0 .0 2 .即 n (lg 2 ? 1) ? lg 2 ? 2 ,

∴n ?

lg 2 ? 2 lg 2 ? 1

?

1 .6 9 9 0 0 .6 9 9 0

? 2 .4 3 ,且 n ? N ,所以取 n ? 3 .

答:每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 9 8 % . (2)∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验, ∴每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 P ? C 3 ? 0.8 ? 0.2 ? ? 0.384 ,
2 2

答:每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 0.384 课堂小节:本节课学习了 n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 课堂练习:第 66 页练习 课后作业:第 68 页习题 B:1,2
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