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北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏题 数学文


2013 年高三数学查漏补缺题

1.函数 y ? c o s( 4 x ? A.
π 8



2013 年 5 月

?
3

)

图象的两条相邻对称轴间的距离为 B.
π 4

C.

/>π 2

D. π

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? e x B. y ? sin 2 x C. y ? ? x 3 D. y ? lo g 1 x
2

3.若向量 a , b 满足 | a |? | b |? 2 ,且 a ? b ? b ? b ? 6 ,则向量 a , b 的夹角为 A.30° B.45°
π 11 )

C.60°
f , f ( ? 1) , ( ?

D.90°
π 3 ) π

4. 已 知 函 数 f ( x ) ? x sin x , 则 f ( A. f ( ? ) ? f ( ? 1) ? f (
3 π π 11 π 3 ) )

的 大 小 关 系 为
π 11 )

B. f ( ? 1) ? f ( ? ) ? f (
3

C. f (

π 11

) ? f ( ? 1) ? f ( ?

D. f ( ? ) ? f (
3

π

π 11

) ? f ( ? 1)

5.某空间几何体三视图如右图所示,则该几何体的表面积为_____, 体积为_____________.

6 6 5
主视图 左视图

5

6.设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 ? / / ? , ? / /? , 则 ? / /? ③ 若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? 其中所有真命题的序号是_____
?x ? 2y ? 0 ? 7.设不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ?y ? 0 ?

②若 ? ? ? , m / / ? ,则 m ? ?
俯视图

④若 m / / n ,

n ??

,则 m / / ?

表示的平面区域为 D,若直线 2 x ? y ? b 上存在区域 D 上的点,

则 b 的取值范围是_____.
?0 ? x ? 2, ? 8.已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 , ?3x ? 2 y ? 4 ? 0 ?

所表示的平面区域为 W ,则 W 的面积是_____;

2 2 设点 P ( x , y ) ? W ,当 x ? y 最小时,点 P 坐标为_____.

第 1 页 共 11 页

9.设等比数列 { a n } 的公比为 q ,前 n 项和为 S n .则“ | q | ? 1 ”是“ S 4 ? 2 S 2 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 10.设函数 f ( x ) ? sin ( 2 x ? A. [0 , )
2
x a
2 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
π 6 )?m

在区间 [0 , ] 上有两个零点,则 m 的取值范围是(
2

π



1

B. ( 0 , ]
2
? y b
2 2

1

C. [ ,1)
2
2 2

1

D. ( ,1]
2

1

11.已知椭圆 G :

? 1 (a ? b ? 0)

的离心率为

.⊙ M 过椭圆 G 的一个顶点和一个 ) D. 1 6

焦点,圆心 M 在此椭圆上,则满足条件的点 M 的个数是( A. 4 B. 8 C. 1 2

12.如果直线 y ? k x ? 2 总不经过点 (c o s ? , sin ? ) ,其中 ? ? R ,那么 k 的取值范围是_____. ... 13.如图所示,正方体 A B C D ? A ? B ?C ?D ? 的棱长为 1, E、F 分别是棱 A A ? 、 C C ? 的中点, 过直线 E、F 的平面分别与棱 B B ? 、 D D ? 交于 M、N, 设 BM= x, x ? [0,1] ,给出以下四个命题:
D' C'

①平面 MENF ? 平面 B D D ?B ? ;
A'

N B' F

②四边形 MENF 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数;
E

③四边形 MENF 面积 S ? g ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; ④四棱锥 C ? ? M E N F 的体积 V ? h ( x ) 为常函数; 以上命题中正确命题的个数( A.1 B.2
1 4
2
A

D

M

C

B

) C.3
x ? 1 相切于点 P

D.4 . 若 P 的横坐标为整数,那么 a 2 ? b 2 的

14.直线 y ? a x ? b 与抛物线 y ? 最小值为

? 2 ? 1, ? 15.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? ? 2 ? ? n ? ( a ? 1) n , ?
n

n ? 4, n ? 5.

若 a 5 是 { a n } 中的最大值,则实

数 a 的取值范围是_____.

第 2 页 共 11 页

解答题部分: 1. 已知函数 f ( x ) ? c o s 2 x ? 2 3 sin x c o s x ? sin 2 x (I)求 f ( x ) 的最小正周期和值域; (II)在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,若 f ( ) ? 2 且 a 2 ? b c ,试判断
2 A

?ABC

的形状.

2.如图,在直角坐标系 x O y 中,点 P 是单位圆上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y ?
?M O P ? ?
3x ( x ? 0)

交于点 Q ,与 x 轴交于点 M .记

,且 ? ? ( ?
1 3

π π , ) 2 2



M

(Ⅰ)若 s in ? ?

,求 c os ? P O Q ;

(Ⅱ)求 ? O P Q 面积的最大值.

3. 已知函数 f ( x ) ? c o s 2 x ? a sin ( x ? ﹙Ⅰ﹚求 a 的值.

π 2

)?1

,且 f ( ) ? 1 ?
4

π

2

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0 , π ] 上的最大和最小值.

4. 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ? k n ? b ,其前 n 项和为 S n . (I) 若 S 2 ? 4 , S 3 ? 9 ,求 k , b 的值; (Ⅱ) 若 k ? ? 2 , 且 S 5 ? 0 ,求 b 的取值范围.

5. 数 列 ? a n ? 的 各 项 都 是 正 数 , 前 n 项 和 为 S n , 且 对 任 意 n ? N ? , 都 有
a 1 ? a 2? a ? ? ? a n ? S n 3
3 3 3 3

.

2

(Ⅰ)求 a 2 的值; (Ⅱ)求证: a n2 ? 2 S n ? a n ; (Ⅲ)求数列 ? a n ? 的通项公式.
第 3 页 共 11 页

6. 已知正三角形 A C E 与平行四边形 A B C D 所在的平面互相垂直. 又 ? A C D ? 9 0 ? ,且 C D ? 点. 求证: C F ? D E
2 , AC ? 2

E B O F A

,点 O , F 分别为 A C , A D 的中
D

C

7. 如图, 四棱锥 P ? A B C D 中,P A ⊥底面 A B C D ,P C ⊥ A D . 底 面 A B C D 为梯形,A B / / D C ,A B ? B C . P A ? A B ? B C , E 在 点

P

E

棱 P B 上,且 P E ? 2 E B . (Ⅰ)求证:平面 P A B ⊥平面 P C B ; (Ⅱ)求证: P D ∥平面 E A C
D

A

B

C

8. 设 x 1 、 x 2 ( x 1 ? x 2 ) 是函数 f ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? a 2 x ( a ? 0 ) 的两个极值点. (I)若 x 1 ? ? 1, x 2 ? 2 ,求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 | x 1 | ? | x 2 |? 2 2 ,求 b 的最大值.

9. 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 ( a ? 1) x ? 2 a ln x ? 5 . (Ⅰ)若 a ? ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

10. 已知椭圆 C :

x

2

?

y b

2 2

? 1( 0 ? b ? 2 )

4

的左、右焦点分别为 F1 , F 2 ,且经过点 ( ? 2 ,1) ,

又 P , Q 是椭圆 C 上的两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 P Q 过 F1 ,且 P F1 ? 2 Q F1 ,求 P Q .

11. 已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的离心率为

6 3

,短轴长为 2 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 P ( 0, 2 ) ,过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点,直线 P A 交椭圆 C 于点
Q

,求△ A B Q 面积的最大值.
第 4 页 共 11 页

2013 年最后阶段高三数学复习参考资料

题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 B 6 ①③ 11 C 2 C 7
[0, 8]


3 C 8
5, ( 12 24 , ) 13 39

2013 年 5 月
4 A 9 C 14 1 5
3 3π , 3 0 π

10 C 15
a ? 53 5

12
(? 3, 3)

13 B

解答题部分: 1. 解:﹙Ⅰ﹚ f ( x ) ? c o s 2 x ? 2 3 sin x c o s x ? sin 2 x
? 3 sin 2 x ? c os 2 x

? 2 sin ( 2 x ?

?
6

)

所以 T ? ? , f ( x ) ? [ ? 2, 2 ] ﹙Ⅱ﹚由 f ( ) ? 2 ,有 f ( ) ? 2 sin ( A ?
2 2 A A

?
6

)? 2



所以 sin ( A ?

?
6

) ? 1.

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

.

由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 b c c os A 及 a 2 ? b c ,所以 ( b ? c ) 2 ? 0 . 所以 b
? c,

所以 B ? C ?

?
3

.

所以 ? A B C 为等边三角形.

2. 解:依题意 ? M O Q ? 因为 s in ? ?
1 3

π 3

,所以 ? P O Q ? ? M O Q ? ? M O P ?
π π , ) 2 2

π 3

??



,且 ? ? ( ?
π 3

,所以 c o s ? ?
π 3 c o s ? ? sin

2 3 π 3

2


2 2 ? 6 3

所以 c o s ? P O Q ? c o s(

? ? ) ? cos

sin ? ?



(Ⅱ)由三角函数定义,得 P (c os ? , sin ? ) ,从而 Q (c o s ? , 3 c o s ? )

第 5 页 共 11 页

所以 S ? P O Q ?
?

1 2 1 2

| c o s ? ||
2

3 c o s ? ? sin ? | 1 1 ? c o s 2? 1 | ? sin 2 ? | 2 2 2

|

3 c o s ? ? sin ? c o s ? |?

?

1 2

|

3 2

?

3 c o s 2? 2

?

1 2

sin 2 ? |?

1 2

|

3 2

? sin (

π 3

? 2? ) |

?

1 2

|

3 2

? 1 |?

3 4

?

1 2
π 12

π π 因为 ? ? ( ? , ) 2 2

,所以当 ? ? ?
3 4

时,等号成立,
1 2

所以 ? O P Q 面积的最大值为

?

.

3.解: (I) a ? ? 2 (Ⅱ)因为 f ( x ) ? c os 2 x ? a c os x ? 1 ? 2 c os 2 x ? 2 c os x 设 t ? c o s x , 因为 x ? [0, π ], 所以 t ? [ ? 1,1] 所以有 y ? 2 t 2 ? 2 t , t ? [ ? 1,1] 由二次函数的性质知道, y ? 2 t 2 ? 2 t 的对称轴为 t ? ? 所以当 t ? ?
1 2 1 2

,即 t ? c o s x ? ?

1 2

,x ?

2π 3

时,函数取得最小值 ?

1 2

当 t ? 1 ,即 t ? c os x ? 1 , x ? 0 时,函数取得最大小值 4

4.解: (I)因为 a n ? k n ? b , 所以 a n ? a n ? 1 ? k 所以 { a n } 是公差为 k 的等差数列, 又 S 2 ? 4 , S 3 ? 9 ,所以 ?
? 2 a1 ? k ? 4 ? 3a1 ? 3k ? 9

,解得 ?

?k ? 2 ? a1 ? 3

,所以 ?

?k ? 2 ?b ? ?1

(Ⅱ)因为 k

? ? 2 , 且 S 5 ? 5 a 3 ? 5( 3 k ? b ) ? 5( ? 6 ? b )

所以 ? 6 ? b ? 0 ,得到 b ? 6

5.证明: (I)在已知式中,当 n ? 1 时, a 13 ? a 12
第 6 页 共 11 页

因为 a 1 ? 0 ,所以 a 1 ? 1 , 所以 1 ? a 23 ? (1 ? a 2 ) 2 ,解得 a 2 ? 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, a 13 ? a 23 ? a 33 ? ? ? a n3 ? S n2
a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? S n ?1
3 3 3 3 2



② ①

当 n ? 2 时, a 13 ? a 23 ? a 33 ? ? ? a n3 ? S n2
a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? S n ?1
3 3 3 3 2



①-②得, a n3 ? a n ( 2 a 1 ? 2 a 2 ? ? ? 2 a n ? 1 ? a n ) 因为 a n ? 0 所以 a n2 ? 2 a 1 ? 2 a 2 ? ? ? 2 a n - 1 ? a n , 因为 a 1 ? 1 适合上式

即 a n2 ? 2 S n- a n

所以 a n2 ? 2 S n- a n (n∈N+) (Ⅲ)由(I)知 a n2 ? 2 S n -a n ( n ? N ? ) ③ 当 n ? 2 时, a n2 ? 1 ? 2 S n ? 1 ? a n ? 1 ④

③-④得 a n2 - a n2 -1 ? 2 ( S n -S n -1 ) -a n ? a n -1 ? 2 a n -a n ? a n -1 ? a n ? a n -1 因为
a n ? a n -1 ? 0

,所以 a n -a n -1 ? 1

所以数列 ? a n ? 是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 a n ? n

6. 证明:因为在正三角形 A C E 中, O 为 A C 中点, 所以 E O ? A C 又平面 A C E ? 平面 A B C D ,且平面 A C E ? 平面 A B C D ? A C , 所以 E O ? 平面 A B C D ,所以 E O ? C F 在 R t ? A C D 中, ta n ? F C O ?
2 2 , ta n ? O D C ? 2 2

所以可以得到 ? F C O ? ? O D C ,所以 ? F C D ? ? O D C ? 9 0 ? , 即 C F ? D O ,又 D O ? O E ? O 所以 C F ? 平面 D O E ,所以 C F ? D E

第 7 页 共 11 页

7.证明: (Ⅰ)因为 P A ⊥底面 ABCD, 所以 P A ? B C . 又 AB ? BC , PA ? AB ? A , 所以 B C ⊥平面 P A B . 又 B C ? 平面 P C B , 所以平面 P A B ⊥平面 P C B . (Ⅱ)因为 P A ⊥底面 A B C D ,所以 P A ? A D 又 P C ? A D ,且 P A ? P C ? P 所以 A D ? 平面 P A C ,所以 A C ? A D .
P

在 梯 形 A B C D , 由 A B ? B C, A B ? B C , 得 中
?BAC ?

?
4

N H

, 所以 ? D C A ? ? B A C ?
?
4

E

A

B M C


D

又 A C ? A D ,故 ? D A C 为等腰直角三角形. 所以 D C ?
2 AC ? 2

?

2 AB ? 2 AB

?


DC AB ? 2.

连接 B D ,交 A C 于点 M ,则 在 ? B P D 中, 所以 P D / / E M
PE EB ? DM MB ? 2

DM MB

?



又 P D ? 平面 E A C , E M ? 平面 E A C , 所以 P D ∥平面 E A C .

8.解(I)因为 f ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? a 2 x ( a ? 0 ) ,所以 f ?( x ) ? 3 a x 2 ? 2 b x ? a 2 ( a ? 0 )
? f ?( ? 1) ? 0 ? f ?( 2 ) ? 0
? 3a ? 2 b ? a ?
2

依题意有 ?

,所以 ?

? 0
2

?1 2 a ? 4 b ? a ?

? 0

(a ? 0) .

解得 ?

?a ? 6 ?b ? ?9

,所以 f ( x ) ? 6 x 3 ? 9 x 2 ? 3 6 x . .

(Ⅱ)因为 f ?( x ) ? 3 a x 2 ? 2 b x ? a 2 ( a ? 0 ) ,

第 8 页 共 11 页

依题意, x 1 , x 2 是方程 f ?( x ) ? 0 的两个根,且 | x 1 | ? | x 2 |? 2 2 , 所以 ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 2 x 1 x 2 ? 2 | x 1 x 2 |? 8 . 所以 ( ?
2b 3a ) ? 2 ? (?
2

a 3

)?2|?
a≤6

a 3

|? 8

,所以 b 2 ? 3 a 2 ( 6 ? a ) .

因为 b 2 ≥ 0 ,所以 0 ?

.

设 p ( a ) ? 3 a 2 ( 6 ? a ) ,则 p ?( a ) ? ? 9 a 2 ? 3 6 a . 由 p ?( a ) ? 0 得 0 ? a ? 4 ,由 p ?( a ) ? 0 得 a ? 4 . 即函数 p ( a ) 在区间 ( 0 , 4 ] 上是增函数,在区间 [4 , 6 ] 上是减函数, 所以当 a ? 4 时, p ( a ) 有极大值为 96,所以 p ( a ) 在 ( 0 , 6 ] 上的最大值是 96, 所以 b 的最大值为 4 6 .

9. 解: (Ⅰ)因为 a ? ? 1 , 所以 f ( x ) ? x 2 ? 2 ln x ? 5 , f '( x ) ? 2 x ? 令 f '( x ) ? 0 ,即 2 x ?
2 x ? 0

2 x

.

.

因为 函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ? ? ) , 所以 x ? 1 . 因为 当 0 ? x ? 1 时, f '( x ) ? 0 ;当 x > 1 时, f '( x ) ? 0 , 所以 函数 f ( x ) 在 x ? 1 时取得极小值 6. (Ⅱ)由题意可得 f '( x ) ? 2 x ?
2a x ? 2 ( a ? 1) ? 2 ( x ? 1)( x ? a ) x

.

由于函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ? ? ) , 所以 当 0 < a < 1 时,令 f '( x ) ? 0 ,解得 0 < x < a 或 x > 1 ; 令 f '( x ) ? 0 ,解得 a < x < 1 ; 当 a ? 0 时,令 f '( x ) ? 0 ,解得 x > 1 ;令 f '( x ) ? 0 ,解得 0 < x < 1 ; 当 a > 1 时,令 f '( x ) ? 0 ,解得 0 < x < 1 或 x > a ;令 f '( x) ?0 ,解得 1 < x < a ; 当 a = 1 时, f '( x ) ? 0 . 所以 当 0 < a < 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , a ) , (1, +
第 9 页 共 11 页

),

单调递减区间是 ( a ,1) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (1, +
) ,单调递减区间是 (0,1) ; ) ,单调递减区间是 (1, a ) ;

当 a > 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0,1) , ( a , + 当 a = 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, +
)

10. 解: (Ⅰ)因为 点 ( ? 2 ,1) 在椭圆 C : 所以 所以
2 4 1 b
2

x

2

?

y b

2 2

? 1 上,

4
? ? 1 b
2

?1

.

1 2

.
x
2

所以 椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)因为 F1 ( ? 2 , 0 ) .

?

y

2

?1.

4

2

设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,得
x1 ? 2 y 1 ? 4
2 2

, x 22 ? 2 y 22 ? 4 .

因为直线 P Q 过 F1 ,且 P F1 = 2 Q F1 , 所以 P F1 ? 2 F1Q . 所以 ( ? 2 ? x 1 , ? y 1 ) ? 2 ( 2 ? x 2 , y 2 ) . 所以 ?
? y1 ? ? 2 y 2 , ? ? x1 ? ? 3 2 ? 2 x 2 . ?
2 2

????

????

所以 1 8 + 1 2 2 x 2 + 4 x 2 + 8 y 2 = 4 . 所以 1 2 2 x 2 = - 3 0 . 所以 x 2 ? ?
5 2 4
( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2 2

.
x2 ? 4
2

所以 P Q ?

? 3

2 x2 ? 8 2

?

9 4

.

第 10 页 共 11 页

11. 解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

?1.

3

(Ⅱ)设直线 A Q 的方程为 y ? k x ? 2 ,代入椭圆方程得 (1 ? 3 k 2 ) x 2 ? 1 2 k x ? 9 ? 0 , 由 ? ? 1 4 4 k 2 ? 3 6 (1 ? 3 k 2 ) ? 0 ,得 k 2 ? 1 , 所以 x A ? x Q ? ?
12k 1 ? 3k
2

, x A xQ ?

9 1 ? 3k
2



因为 O 是 A B 的中点, 所以 S ? A B Q ? 2 S ? A O Q ? 2 S ? P O Q ? S ? p o a ? 2 ? 由 ( x A ? xQ ) 2 ? ( x A ? xQ ) 2 ? 4 x A xQ ? ( ? 设 k 2 ? 1 ? t(t ? 0) , 则 ( x A ? xQ ) 2 ?
36t ( 3t ? 4 )
2

1 2

? 2 ? x A ? xQ ? 2 x A ? xQ

. ,

12k 1 ? 3k
2

) ?
2

36 1 ? 3k
2

?

3 6 ( k ? 1)
2

1 ? 3k

2

? 9t ?

36 16 t ? 24

? 2

36 9t ? 16 t ? 24

?

3 4



当且仅当 9 t ?

16 t

,t ?

4 3

时等号成立,此时△ A B Q 面积取最大值,最大值为 3 .

第 11 页 共 11 页


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