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7.2 空间几何体的表面积和体积ppt


第2讲

空间几何体的表面积和体积

【考纲下载】
了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式 (不要求记议公式)

1.表面积(侧面积)公式 柱体、锥体、台体的侧面积,就是 侧面展开图的面积 , 表面积是 侧面积与底面积之和 .

(1)若圆柱、圆锥的底面半径为r,母线长为l,则其表面积


S柱= 2πr2+2πrl ,

S锥= πr2+πrl (2)若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,母线长为l, 则圆台的表面积 (3)球的半径为R,则表面积S= 4πR2 .

2.体积公式 (1)柱体的底面积为S,高为h,则柱体的体积为 Sh
(2)锥体的底面积为S,高为h,则锥体的体积为

.

Sh . (S′+ +S)h.

(3)棱台的上、下底面面积为S′、S,高为h,则体积为 (4)球的半径为R,则体积为 πR3 .

1.一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是 这个长方体的对角线是( A.2 B.3 ) C.6 D.

解析:设长方体的长、宽、高为a、b、c 则ab= ,bc= ,ac= ,解得:a= ,b=1,c=

∴长方体的对角线长为: l= 答案:D

2. 表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆, 则该圆锥的底面直径为( A.1 B.2 ) C. D.

解析:设圆锥的底面半径为R,母线长为l,



解得:R=1,∴2R=2.

答案:B

3.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角 形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的表面积为( )

解析:
几何体如右图,有三个面为等腰直角三角形,一个侧面为正三角形,所以

答案:A

上海)若等腰直角三角形的直角边长为2, 4.(2009· 则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是________.

解析:

如右图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体.

V=

S· h= πR2· h= π×22×2=

.

答案:

1. 求棱柱、棱锥、棱台的表面积就是根据条件求它们的侧面积和底

面积的和;
2.求棱柱、棱锥、棱台的体积时,根据体积公式,需要具备已知底 面积和高两个重要条件,底面积一般可由底面边长或半径求出.

宁夏、海南)一个棱锥的三视图如右图,则该棱锥的全面积 【例1】 (2009· (单位:cm2)为( A.48+12 B.48+24 )

C.36+12
D.36+24 思维点拨:根据三视图分析三棱锥的各个面的三角形的形状.

解析:由三视图可得:
底面为等腰直角三角形,腰长为6,面积为18;垂直于底面的面为等腰三角 形,面积为 ×6 ×4=12 ;其余两个面为全等的三角形,每个三角形

的面积都为 ×6×5=15. 所以全面积为48+12 答案:A .

已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可 变式1: 得这个几何体的体积是________.

解析:
依题意,此几何体为如图的四棱锥P—ABCD,且底面ABCD为边长为 20 cm的正方形,侧面PCD垂直底面ABCD,△PCD的高为20 cm, 故这个几何体的体积为 答案: cm3 ×20×20×20= cm3.

高考中对该部分的考查常以几何体的三视图为条件,来求表面积和体积,
解题时要将图形还原为空间几何体,根据面积和体积公式求解. (2009·浙江绍兴第一次质检)若某几何体的三视图(单位:cm)如 【例2】 右图所示,则此几何体的侧面积等于( A.12π cm2 C.24π cm2 B.15π cm2 D.30π cm2 )

思维点拨:由三视图知此几何体为圆锥. 解析:由三视图可知,该几何体是底面半径为3 cm, 母线长为5 cm的圆锥,其侧面积为πrl=π×3×5=15π cm2. 答案:B

(2009· 深圳第一次调研)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 变式2:
可得该几何体的表面积是( A.32π C.12π D.8π ) B.16π

解析:由三视图可知,该几何体是半径为2的半球体, 其表面积为S=S半球+S底面=3πr2=12π. 答案:C

1. 高考中对该部分的考查也常以三视图为条件,求组合体的表面积和 体积,求表面积时应注意重合部分的处理. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真

分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并
作出合适的截面图.

(2009·山东)一空间几何体的三视图如图所示, 【例3】
则该几何体的体积为( )

A.2π+2 C.2π+

B.4π+2 D.4π+

解析:这个空间几何体的下半部分是一个底面半径为1、高为2的圆 柱,上半部分是一个底面边长为 积为π×12×2 + ×( )2× =2π+ . 、高为 的正四棱锥,故其体

答案:C

变式3: 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是________. 解析:由三视图可知,该几何体是由一个球和圆柱组合而成的几何体, 球的直径为2,圆柱的底面直径为2,高为3,则S球=4πR2=4π, S圆柱=2πrh+2πr2=2π×1×3+2π=8π, ∴几何体的表面积为S=4π+8π=12π. 答案:12π

【方法探究】
1.解决表面展开图及有关问题的基本思路是空间问题平面化,抓住展开前后 的不变量是解题的关键. 2.紧扣三视图的绘制规则,“长对正、高平齐、宽相等”,理解三视图与简 单组合体、三视图与直观图的互化.转化与化归思想是解题过程的“导航仪”.

【高考真题】
(2009· 辽宁)设某几何体的三视图如右图(尺寸的长度单位为m).

则该几何体的体积为________ m3.

【规范解答】
解析:这个空间几何体是一个三棱锥,这个三棱锥的高为2,底面是 一个一条边长为4、这条边上的高为3的等腰三角形,

故其体积V= × ×4×3×2=4.
答案:4

【探究与研究】

本题的特点是三棱锥的形状不是很“标准”,这个三棱锥的顶点在底 面上的正投影在底面的一条边上,且在这条边的一个四等分点上,由 这个三棱锥的三视图想象这个三棱锥的特点是有一定难度的.本题考 查考生对空间几何体三视图的理解深度,考查考生的空间想象能力、 运算求解能力.

这个空间几何体的直观图如右图所示.这个 空间几何体也可以以B为顶点、以△PAC为底面计算其体 积.根据直观图这个三棱锥的所有棱长都是固定的数值,四个面只有两 个面的面积可以直接计算,侧面PAB,PBC的面积还要通过其他计算才 能求出,如果本题是求这个空间几何体的表面积,在计算上就要相对复 杂一点(这个计算读者可自行研究).

三视图是新课标中新增加的内容,对考生要求较低,一般不会直接考查作 图,但经常会与立体几何中有关的计算问题融合在一起,如面积、体积的 计算,从而考查考生的空间想象能力,因此我们应对常见的简单几何体的 三视图有所理解,并能够进行识别和判断.

【方法探究】
由三视图还原空间几何体的实际形状,我们一般先从正视图和俯视图考虑, 再结合侧视图进行综合分析.如本题中从正视图可以看出这个空间几何体的 正面有三条可见轮廓线,可能是三棱锥,再结合俯视图可以看出这个空间几 何体的底面是三角形,故可以断定这个空间几何体是三棱锥.三棱锥有三条 侧棱,但在俯视图中,我们只看到了三条侧棱中其中一条的轮廓线,说明另 外两条的轮廓线与三棱锥底面的边重合,这也说明这两条侧棱所在的侧面与 三棱锥的底面垂直,最后结合侧视图可以得出这个与底面垂直的侧面是位于 最“后面”的面,其形状就是正视图的外轮廓线组成的三角形,这样就分析 清楚了这个三棱锥的结构特点,画出直观图后,就可以解决题目中所提出的 问题了.


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