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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.2.2等差数列的性质导学案(含解析)新人教版必修5


第二章 第二节 等差数列第二课时
2.理解等差数列的性质。 (重点) 3.掌握等差数列的性质及其应用。 (难点)

等差数列性质(导学案)

目标定位:1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律。

等差数列性质的应用

[例 1] (1)已知{an}为等差数列,a3+a4+a5+a6+a7=450.求 a2+a8 的值. (2)(2012·江西高考)设数列{an},{bn}都是等差数列.若 a1+b1=7,a3+b3=21,则

a5+b5=________.
(1)[解] ∵a3+a4+a5+a6+a7=450, 由等差数列的性质知:a3+a7=a4+a6=2a5. ∴5a5=450.∴a5=90. ∴a2+a8=2a5=180. (2)[解析] 法一:设数列{an},{bn}的公差分别为 d1,d2,因为 a3+b3=(a1+2d1)+(b1 +2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以 d1+d2=7,所以 a5+b5=(a3+b3)+ 2(d1+d2)=21+2×7=35. 法二:∵数列{an},{bn}都是等差数列, ∴数列{an+bn}也构成等差数列, ∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5) ∴2×21=7+a5+b5 ∴a5+b5=35. [答案] 35 [类题通法] 1.利用通项公式时,如果只有一个等式条件,可通过消元把所有的量用同一个量表示. 2.本题的求解主要用到了等差数列的以下性质: 若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 对于此性质,应注意:必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,a15≠a7 +a8,但 a6+a9=a7+a8;a1+a21≠a22,但 a1+a21=2a11.

[活学活用] 1.(1)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则 a75=________. (2)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7=( A.14 C.28 解析:法一:因为{an}为等差数列, 所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列,其公差为 d,a15 为首项,则 a60 为其第四项, 所以 a60=a15+3d,得 d=4. 所以 a75=a60+d? a75=24. 法二:因为 a15=a1+14d,a60=a1+59d, 所以?
?a1+14d=8, ? ?a1+59d=20, ?

)

B.21 D.35

64 ? ?a =15, 解得? 4 ?d=15. ?
1

64 4 故 a75=a1+74d= +74× =24. 15 15 (2)∵a3+a4+a5=12, ∴3a4=12,则 a4=4, 又 a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故 a1+a2+?+a7=7a4=28.故选 C. 答案:(1)24 (2)C 灵活设元求解等差数列 [例 2] (1)三个数成等差数列,其和为 9,前两项之积为后一项的 6 倍,求这三个数. (2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为 2,首末两项的积为-8,求这四个数. [解] (1)设这三个数依次为 a-d,a,a+d,
? ??a-d?+a+?a+d?=9, 则? ??a-d?a=6?a+d?, ?

解得?

?a=3, ? ? ?d=-1.

∴这三个数为 4,3,2. (2)法一:设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为 2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,

即 a=1,a -9d =-8, ∴d =1,∴d=1 或 d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 法二:若设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d(公差为 d), 依题意,2a+3d=2,且 a(a+3d)=-8, 3 把 a=1- d 代入 a(a+3d)=-8, 2 3 3 9 2 得(1- d)(1+ d)=-8,即 1- d =-8, 2 2 4 化简得 d =4,所以 d=2 或-2. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0,所以 d=2,
2 2

2

2

a=-2.
故所求的四个数为-2,0,2,4. [类题通法] 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:a-d,a+d,公 差为 2d; (2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:a-d,a,a+d,公差为 d; (3)四个数成等差数列且知其和,常设成 a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为 2d. [活学活用] 2.已知成等差数列的四个数,四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这 个等差数列. 解:设这四个数依次为 a-3d,a-d,a+d,a+3d. 由题设知
? ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ? ??a-d??a+d?=40, ?

13 ? ?a= 2 , 解得? 3 ? ?d=2,

13 ? ?a= 2 , 或? 3 ? ?d=-2.

∴这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 等差数列的实际应用 [例 3] 某公司经销一种数码产品,第 1 年获利 200 万元,从第 2 年起由于市场竞争等 方面的原因,利润每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不

调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? [解] 由题意可知,设第 1 年获利为 a1,第 n 年获利为 an,则 an-an-1=-20,(n≥2,

n∈N*),每年获利构成等差数列{an},且首项 a1=200,公差 d=-20,
所以 an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20) =-20n+220. 若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损, 由 an=-20n+220<0,解得 n>11, 即从第 12 年起,该公司经销这一产品将亏损. [类题通法] 1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若 这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决. 2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量. [活学活用] 3. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数 列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为( A.1 升 C. 47 升 44 B. D. 67 升 66 37 升 33 )

解析:选 B
?a1+a2+a3+a4=3, ? ? ? ?a7+a8+a9=4,

设 所 构 成 的 等 差 数 列 {an} 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 则 有

?4a1+6d=3, ? 即? ?3a1+21d=4. ?

13 ? ?a =22, 解得? 7 d= , ? ? 66
1

67 则 a5=a1+4d= , 66

67 故第 5 节的容积为 升. 66

[随堂即时演练] 1.已知等差数列{an},则使数列{bn}一定为等差数列的是( A.bn=-an B.bn=an
2

)

C.bn= an

D.bn=

1

an

解析:选 A ∵数列{an}是等差数列,∴an+1-an=d(常数). 对于 A:bn+1-bn=an-an+1=-d,正确;对于 B 不一定正确,如数列{an}={n},则 bn 1 2 2 =an=n ,显然不是等差数列;对于 C、D: an及 不一定有意义,故选 A.

an

2.(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 C.20 B.16 D.24

)

解析:选 B 因为数列{an}是等差数列,所以 a2+a10=a4+a8=16. 3.已知数列{an}中,a5=10,a12=31,则其公差 d=________. 解析:d= 答案:3 4.在等差数列{an}中,已知 a2+2a8+a14=120,则 2a9-a10 的值为________. 解析:∵a2+a14=2a8, ∴a2+2a8+a14=4a8=120, ∴a8=30. ∴2a9-a10=(a8+a10)-a10=a8=30. 答案:30 5.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 解:∵a1+a7=2a4, ∴a1+a4+a7=3a4=15.∴a4=5. 又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9, 即(a4-2d)(a4+2d)=9,亦即(5-2d)(5+2d)=9, 解得 d=±2. 若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3; 若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.

a12-a5 31-10
12-5 = 7

=3.


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