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含绝对值不等式解法教案


教学案例
§1.4 含绝对值的不等式解法
学校:织金二中 组别:数学组 姓名:田茂松

教学目标:
(一)知识目标(认知目标) 1、理解并会求 x ? a ? 或 x ? a ? ? a ? 0 ? 的解集; 2、掌握 ax ? b ? c与 ax ? b ? c (二)能力目标 1、通过不等式的求解,加强学生的运算能力; 2、培养学生数形结合、整体代换、等价转化等的思想. (三)情感目标 1、感悟形与数不同的数学形态间的和谐同一美; 2、培养学生学习数学的兴趣,增加学习的信心.

? a ? 0, c ? 0 ? 的解法.

教学重点: x ? a ? 或 x ? a ? ? a ? 0 ? 与 ax ? b ? c与 ax ? b ? c ? a ? 0, c ? 0 ?
型不等式的解法.

教学难点:含绝对值不等式变换的等价性问题的技巧. 教学方法:探究研讨法,讲练结合法等. 教学准备(教具):直尺,彩色粉笔,小黑板. 课 型:新授课.

教学过程
(一)复习回顾 绝对值是怎么定义的呢?(通过抽问回答补充的方式) 绝对值定义,一个数 a 的绝对值表示数轴上一点 a 到原点的距离.

0

a
0

x

a?0

a
结合数轴即可知道,

x a?0

a ? ? a, a?0, ? ? ?a, a?0.
(二)创设情景 大家先看这样一个数学问题:已知 M ? x, y ? 为一次函数 y ? 2x ? 3 上一点,若 该点到 x 轴的距离不大于 5,求点 M 的横坐标 x 的取值范围.(师生讨论) 这个问题我们可以用数形结合的方法来解决.我们先作函数 y ? 2x ? 3 的图像, 由图像易知其上一点 M 到 x 轴的距离为点 M 纵坐标 y 的绝对值,依题意得 将 y ? 2x ? 3 代入得

y ? 15 ,

2 x ? 3 ? 5 ,只要解出此不等式,即可求出点 M 的横坐标 x 的

取值范围.那我们又怎么来解决这类含绝对值的不等式呢?这就是本节我们要讨论的 问题,大家先翻开书看书的第 14 页到第 15 页. (三)讲授新课 1、不等式

x ? a ? 或 x ? a ? ? a ? 0 ? 的解法
x ? 5与 x ? 5 .由绝对值的定义可知,它表示到原点

先来看一个特殊的例子,

距离为 5 的点,结合数轴,我们可以知道方程的解是 x ? 5或x ? ?5 .

我们再来看相应的不等式 易知,

x ? 5与 x ? 5.由绝对值的几何意义,结合数轴表示

x ? 5 表示数轴上到原点距离小于 5 的点的集合,在数轴上表示如下

我们用前面学习的集合来表示它的解,则应表示为: 同样,

? x ?5 ? x ? 5? .

x ? 5 表示到原点距离大于 5 的集合,在数轴上的表示为

用集合表示为

? x x ? 5 或 x ? ?5? .
x ? a ? a ? 0 ? 表示到

根据上面的思路,结合数轴,我们可以得到一般的情况,

原点的距离小于 a 的点,它的解集为 ? x

?a ? x ? a? ? a ? 0 ? ,数轴表示为

不等式

x ? a? a? 0 ? 表 示 到 原 点 的 距 离 大 于 a 的 点 , 不 等 式 的 解 集 为
x? ? a? a? ? ,数轴表示如下 0

?x x? a或

?

注:在这里,如果不等式的不等号是“小于” ,则解集里用“且”连接,即我们 在本章第 3 节里学习的“交” ;如果不等式的不等号是“大于”时,解集里应用“或” 连接,即我们学习的“并”.结合数轴,大家可以这样记忆: “大于分两边,小于居中 间” ;其次就是我们把结果要写成集合的形式. 大家思考一下,如果把上面的不等号分别变为 ?”或“?” ,不等式的解集又 “ 该是什么呢?其实只需把上面不等式的解集中的不等号“ ? ”与“ ? ”分别改为 就行了. “?”或“?” 练习 1:第 17 页的练习的第 1 题的(1)(2)小题. 、 答案: (1) ??5 ? x ? 5? ; (2) ? x ? 10 或 x ? ?10? . 2、不等式

ax ? b ? c与 ax ? b ? c ? a ? 0, c ? 0 ? 的解法

ax ? c也可以看成 ax ? b ? c的形式,这里b ? 0 .在小学学习方程和比的时候,
诸如

2x ? 3 ? 7 ,是将 2 x ? 3 看为整体,解出 2x ? 3 ? 14 ,再解出 x ,我们称这种方 2

法为“整体代换”方法.同样在这里,我们也可以运用这种思想,将 ax ? b 看成一 个整体,即令


y ? ax ? b , 则 y

?

a x? b, 不 等 式 就 等 价 于 y ? c ,

y ? c ? c ? 0 ? 这就是我们刚刚学习了的不等式,我们就容易得出它们的解集分别

为 ? y ?c ? y ? c? 与? y y ? c 或 y ? ?c? ? c ? 0 ? ,我们再将 y ? ax ? b 代进去即可 求 得 原 不 等 式 的 解 集 . 同 前 面 讨 论 的 一 样 , 我 们 也 可 以 得 出

a x b? 与c ?

a?x ?? a ? c c ? ?0 b 0, 的解集.现在我们来看以下一些例子.

例 1 解不等式 2 x ? 3 ? 5 .

分析: 这个不等式就是我们刚刚讲的

ax ? b ? c ? a ? 0, c ? 0 ? 的类型含绝对值

不等式.这里 a ? 2, b ? 3, c ? 5 , 我们把 2 x ? 3 看成一个整体, 则原不等式可变形为

?5 ? 2x ? 3 ? 5 ,根据不等式的相关知识,很容易就能得到原不等式的解集,现在我
们把步骤写一下. 解:由原不等式可得 ?5 ? 2 x ? 3 ? 5 , 整理可得

?4 ? x ? 1

所以原不等式的解集为

? x ?4 ? x ? 1? .

也就是说,当 点M的横坐标x 的取值在 -4到1 这个范围内时,纵坐标 y 的绝对值 不大于 5,即函数 y ? 2x ? 3 的图像上的点到 x 轴的距离不大于 5. 说明:大家在以后的解题过程中一定要记住,我们常把结果表示成集合的形式, 在计算的过程中也要注意计算的准确性. 例 2 解不等式 分析 1:是

?2 x ? 5 ? 7 .

ax ? b ? c ? a ? 0, c ? 0 ? 的类型.这里 a ? ?2, b ? 5, c ? 7 ,同样

把 ?2 x ? 5 看成一个整体, 则原不等式可变形为 ?2x ? 5 ? 7或-2 x ? 5 ? ?7 , 即可得 到原不等式的解集.现在大家想想这个题还有其他解法吗? 分析 2:绝对值有这样一个性质: 即

?a ? a .对这个题,我们可以用这个性质,

?2 x ? 5 ? 2 x ? 5 ,这样我们将 x 前面的系数由负数变为正数,这样计算比原来

的计算更为简便,也可以避免计算上的失误,步骤大家自己下去写一下.答案是

?x 1 ? x ? 6? .
大家在解这种类型的题时,可以运用绝对值的性质 负数变为正数,这样可以减小计算量. 练习 2:第 16 页的练习题的 2 题(请几位同学上来演练一下,其他同学在下面 自己做一下. 对学生的演练进行评价,正确的加以鼓励,错误的指出原因) 答案为

?a ? a 将 x 前面的系数由

(1) (3)

?x | x ? 5 ?x | x ? 5
?

或 或

? 3 1? x ? ?13? ; (2) ? x | ? ? x ? ? ; 4 4 ? ? ? 1 ? x ? ?1? ; (4) ? x | ? x ? 1? ; 3 ? ? ?

? ? 2 (5) ? x | ? ? x ? 2? ; (6) 5

?x | x ? 2



x ? ?6?.

(四)课时小结 两种类型不等式的解法,即

x ? a ? 或 x ? a ? ? a ? 0 ? 与 ax ? b ? c与

ax ? b ? c ? a ? 0, c ? 0 ? 的 解 法 , 大家 在 以后的 解 题 过 程中 结 合数轴 要 理 解
x ? a ? 或 x ? a ? ? a ? 0 ? 的解集.在解 ax ? b ? c与 ax ? b ? c (a ? 0,
c ? 0) 类型的不等式时,如果 x 的系数是负数,可以可以运用绝对值的性质 ?a ? a
将 x 前面的系数由负数变为正数.大家下去完成这个表格

a?0
x ?a

a?0

a?0

?x ?a ? x ? a?

x ?a
(五)课后作业 1、16 页

?x x ? a 或 x ? ?a?

1.(1)、(3); 2.(2)、(4); 4;

2、思考:本节课我们是运用数形结合的思想来将含绝对值的不等式转化为不含 绝对值的不等式来求解, 大家思考一下我们能不能用分类讨论的方法来转化呢?即能 不能将

x 分为x ? 0与x ? 0 两种情况来讨论.

板书设计

§1.4 含绝对值不等式的解法
(讲授新课) 1 . |x|<a 与 |x|>a(a>0) 的 解 法 (讲授新课) 1.| ax+b|<c 与 |ax+b|>c(c>0) 的解法 例1 (复习知识) 绝对值的意义 作业

例2


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