2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形 理(含解析)新人教A版

2016 年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题 19 正弦定理和余弦定理 及解三角形 理（含解析）新人教 A 版
【高频考点解读】 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【热点题型】 题型一 正、余弦定理的简单运用

【例 1】 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. (1)若 a＝2 3，b＝ 6，A＝45°，则 c＝________． (2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则 B＝________． 【答案】 (1)3＋ 3 【解析】 2 1 bsin A (1)法一 在△ABC 中，由正弦定理得 sin B＝ ＝ ＝ ，因为 b＜a，所以 B a 2 2 3 ＜A， 所以 B＝30°， C＝180°－A－B＝105°， sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45° cos 60°＋cos 45°sin 60°＝ 6＋ 2 . 4 6× 2 2π (2) 3

6＋ 2 2 3× 4 asin C 故 c＝ ＝ ＝ 3＋3. sin A 2 2

【提分秘籍】 (1)在解有关三角形的题目时， 要有意识地考虑用哪个定理更适合， 或是两个定理都要用， 要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑 用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特
-1-

征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及 角的范围限制． 【举一反三】 (1)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2c ＝2a ＋2b ＋ab，则△ABC 是 ( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
2 2 2

a＋b＋c (2)在△ABC 中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ 3，则 ＝________． sin A＋sin B＋sin C
2 39 【答案】 (1)A (2) 3 【解析】 1 － ab 2 1 a ＋b －c 1 2 2 2 2 2 2 (1)由 2c ＝2a ＋2b ＋ab，得 a ＋b －c ＝－ ab，所以 cos C＝ ＝ ＝－ ＜ 2 2ab 2ab 4
2 2 2

0，所以 90°＜C＜180°，即△ABC 为钝角三角形．

题型二

正、余弦定理的综合运用 6 ，B＝A 3

【例 2】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 a＝3，cos A＝ π ＋ . 2 (1)求 b 的值； (2)求△ABC 的面积． 【解析】 (1)在△ABC 中，由题意知，sin A＝ 1－cos A
2

-2-

＝

3 ， 3

π 因为 B＝A＋ ， 2 6 ? π? 所以 sin B＝sin?A＋ ?＝cos A＝ . 2? 3 ? 6 3× 3 asin B 由正弦定理，得 b＝ ＝ ＝3 2. sin A 3 3 π 3 ? π? (2)由 B＝A＋ ，得 cos B＝cos?A＋ ?＝－sin A＝－ . 2? 2 3 ? 由 A＋B＋C＝π ，得 C＝π －(A＋B)． 所以 sin C＝sin[π －(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 3 ? 6 6 1 3? ×?－ ?＋ × ＝ . 3 ? 3? 3 3 3

1 1 1 因此△ABC 的面积 S＝ absin C＝ ×3×3 2× 2 2 3 ＝ 3 2 . 2

【提分秘籍】 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化； (2)合理运 用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式 等． 【举一反三】 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＋b＋c＝8. 5 (1)若 a＝2，b＝ ，求 cos C 的值； 2 9 2B 2A (2)若 sin Acos ＋sin Bcos ＝2sin C，且△ABC 的面积 S＝ sin C，求 a 和 b 的值． 2 2 2 【解析】

-3-

所以 sin A＋sin B＝3sin C. 由正弦定理可知 a＋b＝3c. 又因为 a＋b＋c＝8，故 a＋b＝6. 1 9 由于 S＝ absin C＝ sin C，所以 ab＝9， 2 2 从而 a －6a＋9＝0， 解得 a＝3，b＝3. 题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用
2

【例 3】 如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向距 A 为( 3－1)海里的 B 处有一艘走 私船，在 A 处北偏西 75°方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追 截走私船．此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注： 6≈2.449)．

【解析】

-4-

则有 10t＝ 6，t＝

6 ≈0.245 小时＝14.7 分钟． 10

故缉私船沿北偏东 60°方向，需 14.7 分钟才能追上走私船． 【提分秘籍】 解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉 及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求 解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求 的解． 【举一反三】 如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰 角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°.已知山 高 BC＝100 m，则山高 MN＝________m.

【答案】 150
-5-

【解析】

【高考风向标】

tan ? ? 【2015 高考上海， 理 14】 在锐角三角形 ?? C 中，

1 D 为边 ? C 上的点， ??? D ， 2

与 ??CD 的面积分别为 2 和 4 ．过 D 作 D? ? ?? 于 ? ， DF ? ?C 于 F ，则

??? ? ??? ? D? ? DF ?
【答案】 ?

．

16 15
1 5 , cos A ? 2 1 , AB ? AC ? sin A ? 2 ? 4 ? AB ? AC ? 12 5 ，又 5 2

【解析】由题意得： sin A ?

1 1 32 AB ? DE ? 2, AC ? DF ? 4 ? AB ? DE ? AC ? DF ? 32 ? DE ? DF ? ,因为 DEAF 四点共圆， 2 2 12 5

因此 D? ? DF ? DE ? DF ? cos(? ? A) ? 【2015 高考广东， 理 11】 设

??? ? ??? ?

32 12 5

? (?

2 5

)??

16 15

的内角

， ， 的对边分别为 ， ， ， 若

，

， 【答案】 ．

，则

.

【解析】因为

且

，所以

或

，又

，所以

，

， 又 故应填入 ．

， 由正弦定理得

即

解得

，

x π 【2015 高考湖北，理 12】函数 f ( x) ? 4cos2 cos( ? x) ? 2sin x? | ln( x ? 1) | 的零点个数 2 2
为 ． 【答案】2
-6-

【解析】

【2015 高考湖北，理 13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测 得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30? 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75? 的方向上，仰角为 30? ，则此山的高度 CD ? m.

【答案】 100 6 【解析】

-7-

【2015 高考重庆， 理 13】 在 ? ABC 中， B= 120 ， AB= 2 ， A 的角平分线 AD= 3 ,则 AC=_______. 【答案】 6

o

【解析】由正弦定理得

AB AD 2 3 ? ，即 ，解得 ? sin ?ADB sin B sin ?ADB sin120?

sin ?ADB ?

2 ， ?ADB ? 45? ，从而 ?BAD ? 15? ? ?DAC ，所以 2

C ? 180? ? 120? ? 30? ? 30? ， AC ? 2 AB cos30? ? 6 .
【2015 高考福建，理 12】若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ，且 AB ? 5, AC ? 8 ，则 BC 等于________． 【答案】7 【解析】由已知得 ?ABC 的面积为

1 AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 ，所以 2

sin A ?

? ? 3 ， A ? (0, ) ，所以 A ? ．由余弦定理得 2 3 2

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 49 ， BC ? 7 ．
【2015 高考新课标 2，理 17】 （本题满分 12 分）

?ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 ?BAC ， ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍．
(Ⅰ) 求

sin ?B ； sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 ， DC ? 【答案】(Ⅰ) 【解析】

2 ，求 BD 和 AC 的长． 2

1 ；(Ⅱ) 1 ． 2

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C 所对的边分别为 a ， b， 【2015 高考浙江， 理 16】 在 ?ABC 中， 内角 A ，B ， 已知 A ? c，

?
4

，

b2 ? a 2 =

1 2 c . 2 （1）求 tan C 的值；
（2）若 ?ABC 的面积为 7，求 b 的值. 【答案】 （1） 2 ； （2） b ? 3 . 【解析】

1 1 1 b2 ? a 2 ? c2 sin 2 B ? ? sin 2 C 2 及正弦定理得 2 2 （1）由 ，
A?

?
4 ，即

∴ ? cos 2 B ? sin C ，又由
2

B?C ?

3? 4 ，得

? cos 2 B ? sin 2C ? 2sin C cos C ，
解得 tan C ? 2 ； （2）由 tan C ? 2 ， C ? (0, ? ) 得

sin C ?

2 5 5 cos C ? 5 ， 5 ，

? 3 10 2 2 sin B ? sin( A ? C ) ? sin( ? C ) sin B ? c? b 4 10 ，由正弦定理得 3 又∵ ，∴ ，
A?
又∵

?

1 bc sin A ? 3 4 ，2 ，∴ bc ? 6 2 ，故 b ? 3 .

【2015 高考安徽，理 16】在 ?ABC 中， A ?

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上， 4

AD ? BD ，求 AD 的长.
【答案】 10 【解析】如图，
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【2015 高考陕西，理 17】 （本小题满分 12 分） ??? C 的内角 ? ， ? ， C 所对的边分别为 a ，

? ? b ， c ．向量 m ? a, 3b 与 n ? ? cos ?,sin ?? 平行．
（I）求 ? ； （II）若 a ?

?

?

7 ， b ? 2 求 ??? C 的面积．

【答案】 （I） 【解析】

? 3 3 ； （II） ． 3 2

（I）因为 m //n ，所以 a sin B 由正弦定理，得 sinAsinB-

? ?

3b cos A = 0 ，

3 sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ，从而 tan A = 3 ，

由于 0 ? A ? ? ，所以

A?

?
3
- 10 -

1 （2014·天津卷）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 b－c＝ a，2sin 4

B＝3sin C，则 cos A 的值为________．
1 【答案】－ 4 【解析】∵2sin B＝3sin C，∴2b＝3c.

a 3 又∵b－c＝ ，∴a＝2c，b＝ c， 4 2 c2＋c2－4c2 b2＋c2－a2 4 1 ∴cos A＝ ＝ ＝－ . 2bc 3 4 2× c×c
2 9

- 11 -

（2014·新课标全国卷Ⅱ）设点 M(x0，1)，若在圆 O：x ＋y ＝1 上存在点 N，使得∠OMN ＝45°，则 x0 的取值范围是________． 【答案】[－1，1] 【解析】在△OMN 中，OM＝ 1＋x0≥1＝ON，所以设∠ONM＝α ，则 45°≤α <135°.根据 正弦定理得 1＋x0 1 2 2 ＝ ，所以 1＋x0＝ 2sin α ∈[1， 2]，所以 0≤x0≤1，即－ sin α sin 45°
2 2

2

2

1≤x0≤1，故符合条件的 x0 的取值范围为[－1，1]． （2014·广东卷）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos C＋ccos

a B＝2b，则 ＝________． b
【答案】2 【解析】

（2014·安徽卷）设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b＝3，c＝1，A＝ 2B. (1)求 a 的值；

? π? (2)求 sin?A＋ ?的值． 4? ?
【解析】 (1)因为 A＝2B，所以 sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得 cos B＝

a ＋c2－b2 sin A a2＋c2－b2 ＝ ，所以由正弦定理可得 a＝2b· . 2ac 2sin B 2ac
因为 b＝3，c＝1，所以 a ＝12，即 a＝2 (2)由余弦定理得 cos A＝
2

2

3.

b2＋c2－a2 9＋1－12 ＝ ＝ 2bc 6
1 2 2 1－ ＝ . 9 3

1 2 － .因为 0<A<π ，所以 sin A＝ 1－cos A＝ 3

π π 2 2 2 ? 1? 2 4－ 2 ? π? 故 sin?A＋ ?＝sin Acos ＋cos Asin ＝ × ＋?－ ?× ＝ . 4 3 4 4 3 2 ? ? 2 6 ? ? π （2014·北京卷）如图 1?2，在△ABC 中，∠B＝ ，AB＝8，点 D 在 BC 边上，且 CD＝2， 3 1 cos∠ADC＝ . 7 (1)求 sin∠BAD；
- 12 -

(2)求 BD，AC 的长．

图 1?2 【解析】

（2014·福建卷）在△ABC 中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 【答案】2 3

3，则△ABC 的面积等于________．

【解析】由 ＝ ，得 sin B＝ sin A sin B

BC

AC

4sin 60° ＝1， 2 3

∴B＝90°，C＝180°－(A＋B)＝30°， 1 1 则 S△ABC＝ ·AC·BCsin C＝ ×4×2 3sin 30°＝2 3，即△ABC 的面积等于 2 3. 2 2 （2014·湖南卷）如图 1?5 所示，在平面四边形 ABCD 中，AD＝1，CD＝2，AC＝ 7.

- 13 -

图 1?5 (1)求 cos∠CAD 的值； (2)若 cos∠BAD＝－ 【解析】 7 21 ，sin∠CBA＝ ，求 BC 的长． 14 6

- 14 -

AC·sin α 故 BC＝ ＝ sin∠CBA

7× 21 6

3 2 ＝3.

（2014·江西卷）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c ＝(a－b) ＋6，

2

2

C＝ ，则△ABC 的面积是(
9 A．3 B. 【答案】C 3 2 3 C. 3 2

π 3

) D．3 3

【解析】由余弦定理得，cos C＝

a2＋b2－c2 2ab－6 1 1 ＝ ＝ ，所以 ab＝6，所以 S△ABC＝ absin 2ab 2ab 2 2

C＝

3 2

3 .

→ → （2014·辽宁卷）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a>c.已知BA·BC 1 ＝2，cos B＝ ，b＝3.求： 3 (1)a 和 c 的值； (2)cos(B－C)的值． 【解析】

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1 7 2 2 4 2 23 所以 cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝ × ＋ × ＝ . 3 9 3 9 27 （2014·全国卷）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3acos C＝2ccos A，tan

A＝ ，求 B.
【解析】由题设和正弦定理得 3sin Acos C＝2sin Ccos A， 故 3tan Acos C＝2sin C. 1 因为 tan A＝ ，所以 cos C＝2sin C， 3 1 所以 tan C＝ . 2 所以 tan B＝tan[180°－(A＋C)] ＝－tan(A＋C) ＝ tan A＋tan C tan Atan C－1

1 3

＝－1， 所以 B＝135°.

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（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a＝2， 且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC 面积的最大值为________． 【答案】 3 【解析】

1 （2014·新课标全国卷Ⅱ）钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB＝1，BC＝ 2，则 AC＝( 2 A．5 B. 5 【答案】B C．2 D．1

)

1 1 1 1 【解析】根据三角形面积公式，得 BA·BC·sin B＝ ，即 ×1× 2×sin B＝ ，得 sin 2 2 2 2

B＝

2 π ，其中 C<A.若 B 为锐角，则 B＝ ，所以 AC＝ 2 4

1＋2－2×1× 2× 3π ，所以 AC＝ 4

2 ＝1＝AB，易知 2

A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以 B 为钝角，即 B＝
1＋2－2×1× 2×?－

? ?

2? ?＝ 5. 2 ?

π → → （2014·山东卷）在△ABC 中，已知AB·AC＝tan A，当 A＝ 时，△ABC 的面积为______． 6 1 【答案】 6 π → → → → 2 【解析】因为 AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝tan A，且 A＝ ，所以|AB|·|AC|＝ ，所以 6 3 1 → 1 2 π 1 → △ABC 的面积 S＝ |AB|·|AC|sin A＝ × ×sin ＝ . 2 2 3 6 6 （2014·陕西卷）△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. (1)若 a，b，c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若 a，b，c 成等比数列，求 cos B 的最小值． 【解析】

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（2014·四川卷）如图 1?3 所示，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别 为 67°，30°，此时气球的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于________m．(用四舍五入 法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80， 3≈1.73)

图 1?3 【答案】60 【解析】过 A 点向地面作垂线，记垂足为 D，则在 Rt△ADB 中，∠ABD＝67°，AD＝46 m， ∴AB＝

AD 46 ＝ ＝50(m)， sin 67° 0.92

在△ABC 中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50 m， 由正弦定理得，BC＝

ABsin 37°
sin 30°

＝60 (m)，

故河流的宽度 BC 约为 60 m. （2014·浙江卷）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a≠b，c＝ 3， cos A－cos B＝ 3sin Acos A－ 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小； 4 (2)若 sin A＝ ，求△ABC 的面积． 5 【解析】
- 18 2 2

1 （2014·重庆卷）已知△ABC 的内角 A，B，C 满足 sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋ ， 2 面积 S 满足 1≤S≤2， 记 a， b，c 分别为 A，B，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>16 2 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 【答案】A 【解析】因为 A＋B＋C＝π ，所以 A＋C＝π －B，C＝π －(A＋B)，所以由已知等式可得 1 1 sin 2A＋sin(π －2B)＝sin[π －2(A＋B)]＋ ，即 sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋ ， 2 2 1 所以 sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋ ， 2 1 所以 2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋ ， 2 1 1 所以 2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝ ，所以 sin Asin Bsin C＝ . 2 8 1 由 1≤S≤2，得 1≤ bcsin A≤2.由正弦定理得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 2 所以 1≤2R ·sin Asin Bsin C≤2，所以 1≤ ≤2，即 2≤R≤2 4 8R sin Asin Bsin C＝R ≥8. 【高考押题】 1 1．在△ABC 中，若 a＝4，b＝3，cos A＝ ，则 B＝( 3 A. π 4 B. π 3 C. π 6 D. ) 2π 3
3 3 2

)

R2

2，所以 bc(b＋c)>abc＝

【答案】 A
- 19 -

【解析】

2．在△ABC 中，A＝60°，AB＝2，且△ABC 的面积为 A. 3 2 B. 3 C．2 3

3 ，则 BC 的长为 ( 2 D．2

)

【答案】 B 1 1 3 3 2 2 2 【解析】 因为 S＝ ×AB×ACsin A＝ ×2× AC＝ ，所以 AC＝1，所以 BC ＝AB ＋AC 2 2 2 2 －2AB·ACcos 60°＝3，所以 BC＝ 3. π π 3．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b＝2，B＝ ，C＝ ，则△ABC 6 4 的面积为 ( ) B. 3＋1 D. 3－1

A．2 3＋2 C．2 3－2 【答案】 B

【解析】 由正弦定理 ＝ 及已知条件，得 c＝2 2， sin B sin C 1 2 3 2 2＋ 6 又 sin A＝sin(B＋C)＝ × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4 1 1 2＋ 6 从而 S△ABC＝ bcsin A＝ ×2×2 2× ＝ 3＋1. 2 2 4 4．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则“a＝2bcos C”是“△ABC 是等腰 三角形”的 ( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

b

c

A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】 A 【解析】

5．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的
- 20 -

高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于

(

)

A．240( 3－1)m C．120( 3－1)m 【答案】 C

B．180( 2－1)m D．30( 3＋1)m

【解析】 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在 Rt△ACD 中，CD＝ ＝ 60 ＝60 3(m)， tan 30°

AD
tan ∠ACD

在 Rt△ABD 中，BD＝ 60(2－ 3) (m)，

AD 60 60 ＝ ＝ ＝ tan ∠ABD tan 75° 2＋ 3

∴BC＝CD－BD＝60 3－60(2－ 3)＝120( 3－1)(m)． 6．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若(a ＋c －b )tan B＝ 3ac，则角 B 的值为________． 【答案】 π 2π 或 3 3
2 2 2

【解析】 由余弦定理，得 sin B＝ 3 π 2π ，∴B＝ 或 . 2 3 3

a2＋c2－b2 3 ＝cos B，结合已知等式得 cos B·tan B＝ ，∴ 2ac 2

7．在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos C＋ccos B＝2b，则 ＝ ________． 【答案】 2

a b

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【解析】 由已知及余弦定理得 b· 2.

a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 a ＋c· ＝2b，化简得 a＝2b，则 ＝ 2ab 2ac b

1 8．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝1，b＝2，cos C＝ ，则 sin B 4 ＝________． 【答案】 【解析】 15 4

9．如图，在平面四边形 ABCD 中，AD＝1，CD＝2，AC＝ 7.

(1)求 cos∠CAD 的值； (2)若 cos∠BAD＝－ sin ∠CBA＝ 【解析】 7 ， 14

21 ，求 BC 的长． 6

- 22 -

10．设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求 a 的值；

? π? (2)求 sin?A＋ ?的值． 4? ?
【解析】 (1)因为 A＝2B，所以 sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.

a2＋c2－b2 由正、余弦定理得 a＝2b· . 2ac
因为 b＝3，c＝1，所以 a ＝12，a＝2 3. (2)由余弦定理得 cos A＝
2

b2＋c2－a2 9＋1－12 1 ＝ ＝－ . 2bc 6 3

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由于 0<A<π ，所以 sin A＝ 1－cos A＝

2

1 2 2 1－ ＝ . 9 3

π π 2 2 2 ? 1? 2 4－ 2 ? π? 故 sin?A＋ ?＝sin Acos ＋cos Asin ＝ × ＋?－ ?× ＝ . 4? 4 4 3 2 ? 3? 2 6 ?

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