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2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形 理(含解析)新人教A版


2016 年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题 19 正弦定理和余弦定理 及解三角形 理(含解析)新人教 A 版
【高频考点解读】 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题; 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【热点题型】 题型一 正、余弦定理的简单运用

【例 1】 在△ABC 中,角

A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 a=2 3,b= 6,A=45°,则 c=________. (2)若(a+b+c)(a-b+c)=ac,则 B=________. 【答案】 (1)3+ 3 【解析】 2 1 bsin A (1)法一 在△ABC 中,由正弦定理得 sin B= = = ,因为 b<a,所以 B a 2 2 3 <A, 所以 B=30°, C=180°-A-B=105°, sin C=sin 105°=sin(45°+60°)=sin 45° cos 60°+cos 45°sin 60°= 6+ 2 . 4 6× 2 2π (2) 3

6+ 2 2 3× 4 asin C 故 c= = = 3+3. sin A 2 2

【提分秘籍】 (1)在解有关三角形的题目时, 要有意识地考虑用哪个定理更适合, 或是两个定理都要用, 要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑 用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特
-1-

征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及 角的范围限制. 【举一反三】 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c =2a +2b +ab,则△ABC 是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
2 2 2

a+b+c (2)在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC= 3,则 =________. sin A+sin B+sin C
2 39 【答案】 (1)A (2) 3 【解析】 1 - ab 2 1 a +b -c 1 2 2 2 2 2 2 (1)由 2c =2a +2b +ab,得 a +b -c =- ab,所以 cos C= = =- < 2 2ab 2ab 4
2 2 2

0,所以 90°<C<180°,即△ABC 为钝角三角形.

题型二

正、余弦定理的综合运用 6 ,B=A 3

【例 2】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 a=3,cos A= π + . 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 【解析】 (1)在△ABC 中,由题意知,sin A= 1-cos A
2

-2-



3 , 3

π 因为 B=A+ , 2 6 ? π? 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= . 2? 3 ? 6 3× 3 asin B 由正弦定理,得 b= = =3 2. sin A 3 3 π 3 ? π? (2)由 B=A+ ,得 cos B=cos?A+ ?=-sin A=- . 2? 2 3 ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B). 所以 sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B= 3 ? 6 6 1 3? ×?- ?+ × = . 3 ? 3? 3 3 3

1 1 1 因此△ABC 的面积 S= absin C= ×3×3 2× 2 2 3 = 3 2 . 2

【提分秘籍】 有关三角形面积问题的求解方法:(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化; (2)合理运 用三角函数公式,如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式 等. 【举一反三】 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c=8. 5 (1)若 a=2,b= ,求 cos C 的值; 2 9 2B 2A (2)若 sin Acos +sin Bcos =2sin C,且△ABC 的面积 S= sin C,求 a 和 b 的值. 2 2 2 【解析】

-3-

所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c. 又因为 a+b+c=8,故 a+b=6. 1 9 由于 S= absin C= sin C,所以 ab=9, 2 2 从而 a -6a+9=0, 解得 a=3,b=3. 题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用
2

【例 3】 如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向距 A 为( 3-1)海里的 B 处有一艘走 私船,在 A 处北偏西 75°方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追 截走私船.此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间(注: 6≈2.449).

【解析】

-4-

则有 10t= 6,t=

6 ≈0.245 小时=14.7 分钟. 10

故缉私船沿北偏东 60°方向,需 14.7 分钟才能追上走私船. 【提分秘籍】 解三角形应用题的两种情形:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一 个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉 及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求 解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求 的解. 【举一反三】 如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的仰 角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山 高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

【答案】 150
-5-

【解析】

【高考风向标】

tan ? ? 【2015 高考上海, 理 14】 在锐角三角形 ?? C 中,

1 D 为边 ? C 上的点, ??? D , 2

与 ??CD 的面积分别为 2 和 4 .过 D 作 D? ? ?? 于 ? , DF ? ?C 于 F ,则

??? ? ??? ? D? ? DF ?
【答案】 ?



16 15
1 5 , cos A ? 2 1 , AB ? AC ? sin A ? 2 ? 4 ? AB ? AC ? 12 5 ,又 5 2

【解析】由题意得: sin A ?

1 1 32 AB ? DE ? 2, AC ? DF ? 4 ? AB ? DE ? AC ? DF ? 32 ? DE ? DF ? ,因为 DEAF 四点共圆, 2 2 12 5

因此 D? ? DF ? DE ? DF ? cos(? ? A) ? 【2015 高考广东, 理 11】 设

??? ? ??? ?

32 12 5

? (?

2 5

)??

16 15

的内角

, , 的对边分别为 , , , 若



, 【答案】 .

,则

.

【解析】因为



,所以



,又

,所以



, 又 故应填入 .

, 由正弦定理得



解得



x π 【2015 高考湖北,理 12】函数 f ( x) ? 4cos2 cos( ? x) ? 2sin x? | ln( x ? 1) | 的零点个数 2 2
为 . 【答案】2
-6-

【解析】

【2015 高考湖北,理 13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测 得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30? 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75? 的方向上,仰角为 30? ,则此山的高度 CD ? m.

【答案】 100 6 【解析】

-7-

【2015 高考重庆, 理 13】 在 ? ABC 中, B= 120 , AB= 2 , A 的角平分线 AD= 3 ,则 AC=_______. 【答案】 6

o

【解析】由正弦定理得

AB AD 2 3 ? ,即 ,解得 ? sin ?ADB sin B sin ?ADB sin120?

sin ?ADB ?

2 , ?ADB ? 45? ,从而 ?BAD ? 15? ? ?DAC ,所以 2

C ? 180? ? 120? ? 30? ? 30? , AC ? 2 AB cos30? ? 6 .
【2015 高考福建,理 12】若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于________. 【答案】7 【解析】由已知得 ?ABC 的面积为

1 AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 ,所以 2

sin A ?

? ? 3 , A ? (0, ) ,所以 A ? .由余弦定理得 2 3 2

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 49 , BC ? 7 .
【2015 高考新课标 2,理 17】 (本题满分 12 分)

?ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC , ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍.
(Ⅰ) 求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ? 【答案】(Ⅰ) 【解析】

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

1 ;(Ⅱ) 1 . 2

-8-

C 所对的边分别为 a , b, 【2015 高考浙江, 理 16】 在 ?ABC 中, 内角 A ,B , 已知 A ? c,

?
4



b2 ? a 2 =

1 2 c . 2 (1)求 tan C 的值;
(2)若 ?ABC 的面积为 7,求 b 的值. 【答案】 (1) 2 ; (2) b ? 3 . 【解析】

1 1 1 b2 ? a 2 ? c2 sin 2 B ? ? sin 2 C 2 及正弦定理得 2 2 (1)由 ,
A?

?
4 ,即

∴ ? cos 2 B ? sin C ,又由
2

B?C ?

3? 4 ,得

? cos 2 B ? sin 2C ? 2sin C cos C ,
解得 tan C ? 2 ; (2)由 tan C ? 2 , C ? (0, ? ) 得

sin C ?

2 5 5 cos C ? 5 , 5 ,

? 3 10 2 2 sin B ? sin( A ? C ) ? sin( ? C ) sin B ? c? b 4 10 ,由正弦定理得 3 又∵ ,∴ ,
A?
又∵

?

1 bc sin A ? 3 4 ,2 ,∴ bc ? 6 2 ,故 b ? 3 .

【2015 高考安徽,理 16】在 ?ABC 中, A ?

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上, 4

AD ? BD ,求 AD 的长.
【答案】 10 【解析】如图,
-9-

【2015 高考陕西,理 17】 (本小题满分 12 分) ??? C 的内角 ? , ? , C 所对的边分别为 a ,

? ? b , c .向量 m ? a, 3b 与 n ? ? cos ?,sin ?? 平行.
(I)求 ? ; (II)若 a ?

?

?

7 , b ? 2 求 ??? C 的面积.

【答案】 (I) 【解析】

? 3 3 ; (II) . 3 2

(I)因为 m //n ,所以 a sin B 由正弦定理,得 sinAsinB-

? ?

3b cos A = 0 ,

3 sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 ,

由于 0 ? A ? ? ,所以

A?

?
3
- 10 -

1 (2014·天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin 4

B=3sin C,则 cos A 的值为________.
1 【答案】- 4 【解析】∵2sin B=3sin C,∴2b=3c.

a 3 又∵b-c= ,∴a=2c,b= c, 4 2 c2+c2-4c2 b2+c2-a2 4 1 ∴cos A= = =- . 2bc 3 4 2× c×c
2 9

- 11 -

(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点 M(x0,1),若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN =45°,则 x0 的取值范围是________. 【答案】[-1,1] 【解析】在△OMN 中,OM= 1+x0≥1=ON,所以设∠ONM=α ,则 45°≤α <135°.根据 正弦定理得 1+x0 1 2 2 = ,所以 1+x0= 2sin α ∈[1, 2],所以 0≤x0≤1,即- sin α sin 45°
2 2

2

2

1≤x0≤1,故符合条件的 x0 的取值范围为[-1,1]. (2014·广东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos

a B=2b,则 =________. b
【答案】2 【解析】

(2014·安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A= 2B. (1)求 a 的值;

? π? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ?
【解析】 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由余弦定理得 cos B=

a +c2-b2 sin A a2+c2-b2 = ,所以由正弦定理可得 a=2b· . 2ac 2sin B 2ac
因为 b=3,c=1,所以 a =12,即 a=2 (2)由余弦定理得 cos A=
2

2

3.

b2+c2-a2 9+1-12 = = 2bc 6
1 2 2 1- = . 9 3

1 2 - .因为 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos A= 3

π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 ? π? 故 sin?A+ ?=sin Acos +cos Asin = × +?- ?× = . 4 3 4 4 3 2 ? ? 2 6 ? ? π (2014·北京卷)如图 1?2,在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2, 3 1 cos∠ADC= . 7 (1)求 sin∠BAD;
- 12 -

(2)求 BD,AC 的长.

图 1?2 【解析】

(2014·福建卷)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 【答案】2 3

3,则△ABC 的面积等于________.

【解析】由 = ,得 sin B= sin A sin B

BC

AC

4sin 60° =1, 2 3

∴B=90°,C=180°-(A+B)=30°, 1 1 则 S△ABC= ·AC·BCsin C= ×4×2 3sin 30°=2 3,即△ABC 的面积等于 2 3. 2 2 (2014·湖南卷)如图 1?5 所示,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7.

- 13 -

图 1?5 (1)求 cos∠CAD 的值; (2)若 cos∠BAD=- 【解析】 7 21 ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

- 14 -

AC·sin α 故 BC= = sin∠CBA

7× 21 6

3 2 =3.

(2014·江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) +6,

2

2

C= ,则△ABC 的面积是(
9 A.3 B. 【答案】C 3 2 3 C. 3 2

π 3

) D.3 3

【解析】由余弦定理得,cos C=

a2+b2-c2 2ab-6 1 1 = = ,所以 ab=6,所以 S△ABC= absin 2ab 2ab 2 2

C=

3 2

3 .

→ → (2014·辽宁卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA·BC 1 =2,cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 【解析】

- 15 -

1 7 2 2 4 2 23 所以 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= × + × = . 3 9 3 9 27 (2014·全国卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan

A= ,求 B.
【解析】由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A, 故 3tan Acos C=2sin C. 1 因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C, 3 1 所以 tan C= . 2 所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) = tan A+tan C tan Atan C-1

1 3

=-1, 所以 B=135°.

- 16 -

(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2, 且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 【答案】 3 【解析】

1 (2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 B. 5 【答案】B C.2 D.1

)

1 1 1 1 【解析】根据三角形面积公式,得 BA·BC·sin B= ,即 ×1× 2×sin B= ,得 sin 2 2 2 2

B=

2 π ,其中 C<A.若 B 为锐角,则 B= ,所以 AC= 2 4

1+2-2×1× 2× 3π ,所以 AC= 4

2 =1=AB,易知 2

A 为直角,此时△ABC 为直角三角形,所以 B 为钝角,即 B=
1+2-2×1× 2×?-

? ?

2? ?= 5. 2 ?

π → → (2014·山东卷)在△ABC 中,已知AB·AC=tan A,当 A= 时,△ABC 的面积为______. 6 1 【答案】 6 π → → → → 2 【解析】因为 AB·AC=|AB|·|AC|cos A=tan A,且 A= ,所以|AB|·|AC|= ,所以 6 3 1 → 1 2 π 1 → △ABC 的面积 S= |AB|·|AC|sin A= × ×sin = . 2 2 3 6 6 (2014·陕西卷)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 【解析】

- 17 -

(2014·四川卷)如图 1?3 所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别 为 67°,30°,此时气球的高度是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入 法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3≈1.73)

图 1?3 【答案】60 【解析】过 A 点向地面作垂线,记垂足为 D,则在 Rt△ADB 中,∠ABD=67°,AD=46 m, ∴AB=

AD 46 = =50(m), sin 67° 0.92

在△ABC 中,∠ACB=30°,∠BAC=67°-30°=37°,AB=50 m, 由正弦定理得,BC=

ABsin 37°
sin 30°

=60 (m),

故河流的宽度 BC 约为 60 m. (2014·浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 3, cos A-cos B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sin A= ,求△ABC 的面积. 5 【解析】
- 18 2 2

1 (2014·重庆卷)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ , 2 面积 S 满足 1≤S≤2, 记 a, b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 2 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 【答案】A 【解析】因为 A+B+C=π ,所以 A+C=π -B,C=π -(A+B),所以由已知等式可得 1 1 sin 2A+sin(π -2B)=sin[π -2(A+B)]+ ,即 sin 2A+sin 2B=sin 2(A+B)+ , 2 2 1 所以 sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=sin 2(A+B)+ , 2 1 所以 2 sin(A+B)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A+B)+ , 2 1 1 所以 2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]= ,所以 sin Asin Bsin C= . 2 8 1 由 1≤S≤2,得 1≤ bcsin A≤2.由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 2 所以 1≤2R ·sin Asin Bsin C≤2,所以 1≤ ≤2,即 2≤R≤2 4 8R sin Asin Bsin C=R ≥8. 【高考押题】 1 1.在△ABC 中,若 a=4,b=3,cos A= ,则 B=( 3 A. π 4 B. π 3 C. π 6 D. ) 2π 3
3 3 2

)

R2

2,所以 bc(b+c)>abc=

【答案】 A
- 19 -

【解析】

2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 A. 3 2 B. 3 C.2 3

3 ,则 BC 的长为 ( 2 D.2

)

【答案】 B 1 1 3 3 2 2 2 【解析】 因为 S= ×AB×ACsin A= ×2× AC= ,所以 AC=1,所以 BC =AB +AC 2 2 2 2 -2AB·ACcos 60°=3,所以 BC= 3. π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 6 4 的面积为 ( ) B. 3+1 D. 3-1

A.2 3+2 C.2 3-2 【答案】 B

【解析】 由正弦定理 = 及已知条件,得 c=2 2, sin B sin C 1 2 3 2 2+ 6 又 sin A=sin(B+C)= × + × = . 2 2 2 2 4 1 1 2+ 6 从而 S△ABC= bcsin A= ×2×2 2× = 3+1. 2 2 4 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则“a=2bcos C”是“△ABC 是等腰 三角形”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

b

c

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】 A 【解析】

5.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的
- 20 -

高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于

(

)

A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m 【答案】 C

B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m

【解析】 如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60 m,在 Rt△ACD 中,CD= = 60 =60 3(m), tan 30°

AD
tan ∠ACD

在 Rt△ABD 中,BD= 60(2- 3) (m),

AD 60 60 = = = tan ∠ABD tan 75° 2+ 3

∴BC=CD-BD=60 3-60(2- 3)=120( 3-1)(m). 6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a +c -b )tan B= 3ac,则角 B 的值为________. 【答案】 π 2π 或 3 3
2 2 2

【解析】 由余弦定理,得 sin B= 3 π 2π ,∴B= 或 . 2 3 3

a2+c2-b2 3 =cos B,结合已知等式得 cos B·tan B= ,∴ 2ac 2

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则 = ________. 【答案】 2

a b

- 21 -

【解析】 由已知及余弦定理得 b· 2.

a2+b2-c2 a2+c2-b2 a +c· =2b,化简得 a=2b,则 = 2ab 2ac b

1 8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=2,cos C= ,则 sin B 4 =________. 【答案】 【解析】 15 4

9.如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7.

(1)求 cos∠CAD 的值; (2)若 cos∠BAD=- sin ∠CBA= 【解析】 7 , 14

21 ,求 BC 的长. 6

- 22 -

10.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值;

? π? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ?
【解析】 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.

a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac
因为 b=3,c=1,所以 a =12,a=2 3. (2)由余弦定理得 cos A=
2

b2+c2-a2 9+1-12 1 = =- . 2bc 6 3

- 23 -

由于 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos A=

2

1 2 2 1- = . 9 3

π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 ? π? 故 sin?A+ ?=sin Acos +cos Asin = × +?- ?× = . 4? 4 4 3 2 ? 3? 2 6 ?

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