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第2课时--等差数列与等比数列的基本运算


一.课题:等差数列与等比数列的基本运算 二.教学目标:掌握等差数列和等比数列的定义,通项公式和前 n 项和的公式,并能利用这些知识 解决有关问题,培养学生的化归能力. 三.教学重点:对等差数列和等比数列的判断,通项公式和前 n 项和的公式的应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列的概念 通项公式 2.等比数列的概念 其通项公式 3.等差中项和等比中项的概念 4.证明

数列 {an } 为等差数列 (1)定义法:即证当 n ? 2 时, an ? an?1 ? d , (2)等差中项:即证明 2an ? an?1 ? an?1 5.证明数列 {an } 为等比数列 ,等比数列前 n 项和公式 . . ,等差数列前 n 项和公式 .

6. 等差数列的最值. (二)主要方法: 1.涉及等差(比)数列的基本概念的问题,常用基本量 a1 , d (q) 来处理; 2.使用等比数列前 n 项和公式时,必须弄清公比 q 是否可能等于 1 还是必不等于 1,如果不能确定 则需要讨论; 3.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为 a ? d , a, a ? d ;若偶数个成等差数列且和 为定值时,可设中间两项为 a ? d , a ? d ,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.若干个数 个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似. 4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求. (三)例题分析: 例 1.(1)设数列 {an } 是递增等差数列,前三项的和为 12 ,前三项的积为 48 ,则它的首项为 2 . (2)已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 13 ? . a2 ? a4 ? a10 16

例 2. 有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 且第一个数与第四个数的和是 16 , 第二个数与第三个书的和是 12 ,求这四个数.

? (a ? d ) 2 (a ? d ) 2 ? 16 ?a ? d ? 解:设这四个数为: a ? d , a, a ? d , ,则 ? a a ?2a ? d ? 12 ?
第三章 数列——第 20 课时:等差数列、等比数列的基本运算

解得: ?

? a ? 4 ?a ? 9 或? ,所以所求的四个数为: ?4, 4,12,36 ;或 15,9,3,1 . ?d ? 8 ?d ? ?6

例 3.由正数组成的等比数列 {an } ,若前 2n 项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 11 倍,第 3 项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍,求数列 {an } 的通项公式. 解:当 q ? 1 时,得 2na1 ? 11na1 不成立,∴ q ? 1 ,

? a1 (1 ? q 2 n ) 11a1q (1 ? q 2 n ) ? ① ? 1 ? q2 ∴ ? 1? q ? a q 2 ? a q 3 ? 11a q ? a q 3 ② ? 1 1 1 1 1 由①得 q ? ,代入②得 a1 ? 10 , 10 1 n?2 ∴ an ? ( ) . 10 说明:用等比数列前 n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为 1. 例 4.已知等差数列 110,116,122,? , (1)在区间 [450, 600] 上,该数列有多少项?并求它们的和; (2)在区间 [450, 600] 上,该数列有多少项能被 5 整除?并求它们的和. 解: an ? 110 ? 6(n ?1) ? 6n ? 104 ,
(1)由 450 ? 6 n ? 104 ? 600 ,得 58 ? n ? 82 ,又 n ? N ,
*

1 (a58 ? a82 ) ? 25 ? 13100 . 2 (2)∵ an ? 110 ? 6(n ?1) ,∴要使 an 能被 5 整除,只要 n ? 1 能被 5 整除,即 n ? 1 ? 5k , ∴ n ? 5k ? 1 ,∴ 58 ? 5k ? 1 ? 82 ,∴ 12 ? k ? 16 ,∴在区间 [450, 600] 上该数列中能被 5 整除的 5(a61 ? a81 ) ? 2650 . 项共有 5 项即第 61,66,71,76,81 项,其和 S ? 2 1 例 5.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? S n ?1 ? 2S n ? S n ?1 ? 0(n ? 2), a1 ? . 2
∴ 该数列在 [450, 600] 上有 25 项, 其和 S n ? 求证:数列 {

1 } 为等差数列. Sn

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