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2016吉林铁道职业技术学院单招数学模拟试题及答案


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2016 吉林铁道职业技术学院单招数学模拟试题及答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的

1、 数 f ( x) ?

x ?1 的定义域是 x
B、 ? x x ? ?1或x ? 0? D、 ? x x ? ?1 ? x ? 0?

A、 ? x x ? ?1或x ? 0? C、 ? x ? 1 ? x ? 0?

2、在等差数列 ?an ? 中, a3 =9, a9 =3,则 a12 = A、-3 B、0 C、3 D、6

3、已知实数 x 、 y 满足 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,则 x ? y 的最小值为 A、 2 ? 1 B、 ? 2 ?1 C、 2 ? 1 D、 ? 2 ? 1

4、下面给出四个命题: ①直线 l 与平面 a 内两直线都垂直,则 l ? a 。②经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于 直线 b ③过平面 a 外两点,有且只有一个平面与 a 垂直。④直线 l 同时垂直于平面 a 、

? ,则 a ∥ ? 。其中正确的命题个数为
A、3 D、0 B、2 C、1

3 5、二项式 ( x ?

1 n ) 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为 2 x2

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A、10 D、5 6、函数 f ( x) ? ln( x ? x2 ) 的单调递增区间为 A、 ? ? ?, ? 2 B、3 C、7

1? ?

B、(-0,1)

C、 ? 0, ? 2

1? ?

D、 ? ,1?

?1 ?2

7、将长为 15 的木棒截成长为整数的三段,使它们构成一个三角形的三边,则得到的 不同三角形的个数为 A、8 B、7 C、6 D、5

8.在(0, 2? )内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围为

A、[

? 3?
4 , 4

]

B、[

? 5?
4 , 4

]

C、[

5? 7? , ] 4 4

D、[

? ? , ] 4 2
??? ?

9.设平面内有△ABC 及点 O,若满足关系式: (OB ? OC) ? OB ? OC ? 2OA ? 0 ,那么 △ABC 一定是 A、直角三角形 B、等腰直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

10.在正四棱锥 S-ABCD 中,侧面与底面所成角为 球半径 r 的比值为

? ,则它的外接球的半径 R 与内径 3

A、5

B、

3 2

C、10

D、

5 2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题在横线上。

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11、 tan a ?

1 ,则 sin a cos a ? 。 2

12、函数 y ? 1 ? x ? 1 的反函数为。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2 ??? ? ??? ? 左顶点和上顶点,而 F 是椭圆 C 的右焦点,若 AB ? BF ? O ,则椭
13、如图,已知 A、B 两点分别是椭圆 C: 圆 C 的离心率 e=.

?y ? x ? 14、如果变量 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为。 ?y ?1 ?
15.已知圆 C: x2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,一动直线 l 过 A (-1,O)与圆 C 相交于 P、Q 两点, M 是 PQ 中点,l 与直线 x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N,则 AM ?AN ? 。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 16.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? a sin x cos x ? cos2 x ,且 f ( ) ? 1

?

4

(1)求常数 a 的值及 f ( x) 的最小值;

(2)当 x ? [0, ] 时,求 f ( x) 的单调增区间。

?

2

17.(本小题满分 12 分)

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如图,在棱长为 l 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 CC1 中点。 (1)求二面角 A1-BD-M 的大小; (2)求四面体 A1-BDM 的体积;

18.(本小题满分 12 分) 一袋中放着写有 1 号至 5 号的 5 张纸牌,A、B 两人按 A、B、A、B,…的次序轮流从 袋中不放回 的取出 1 张纸牌,规定先取到 5 号纸牌者获胜。 ... (1)求 B 第一欠取牌就获胜的概率; (2)求 B 获胜的概率。

19.(本小题满分 12 分) 设数列 an 的前 n 项和 sn ? (?1)n (2n2 ? 4n ? 1) ?1, n ? N ? 。 (1)求数列 an 的通项公式 an ;

(?1) n (2)记 bn ? ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn an

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20.(本小题满分 13 分)

过双曲线 C: x 2 ?

y2 ? 1 的右顶点 A 作两条斜率分别为 k1、k2 的直线 AM、AN 交双曲 m2

线 C 于 M、N 两点,其 k1、k2 满足关系式 k1·k2=-m2 且 k1+k2 ? 0,k1 ? k2 (1) 求直线 MN 的斜率; (2) 当 m2= 2 ? 3 时,若 ?MAN ? 600 ,求直线 MA、NA 的方程;

21.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? x4 ? 2ax2 , g ( x) ? 1 。 (1)求证:函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象恒有公共点; (2)当 x ? (0,1] 时,若函数 f ( x) 图象上任一点处切线斜率均小于 1,求实数 a 的取值 范围; (3)当 x ? [0,1] 时,关于 x 的不等式 f ?( x) ? g ( x) 的解集为空集,求所有满足条件的 实数 a 的值。

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参考答案
一.选择题 题号 答案 二.填空题 1 A 2 B 3 B 4 C 5 D 6 C 7 C 8 A 9 C 10 D

11、

2 12、 y ? x2 ? 2 x( x ? 1) 5

13、

5 ?1 14、3 15、5 2

三、解答题

16.(1)∵ f ( ) ? 1 ,∴ sin 2

?

?
4

4

? a sin

?
4

cos

?
4

? cos 2

?
4

?1

∴a ? 2 ∴ f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

?
4

)

当 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

, k ? z ,即 x ? k? ?

?
8

,k ? z时

sin(2 x ? ) 取最小值-1,从而 f ( x) 取最小值 ? 2 。…………………………(6 分) 4
(2)令 2k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

即 k? ?

?

3 ? x ? k? ? ? ; k ? z 8 8

又 x ? [0, ] ,∴ f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递增……(12 分)

?

2

3 8

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17.解:(1)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 l,取 BD 中点为 O,连结 OM, OA1。

∵BM=DM=

5 ,A1B=A1D= 2 2

从而 AO ? BD, MO ? BD 1 ∴ ?AOM 为=两角 A1—BD—M 的平面角 1

在 ? AOM 中, OM ? 1

BM 2 ? OB 2 ?

3 2

A1O ? A1B 2 ? OB 2 ?

6 2
3 2

而 A1M ?

A1C12 ? C1M 2 ?

从而由色股定理可知: ?AOM ? 900 …………………………………………(6 分) 1 (2)由(1)可知 AO ? 面 BDM,从而四面体 A1 -BDM 体积 1

1 1 1 3 6 1 V ? ? S? BDM ? A1O ? ( ? 2 ? ) ? ? …………………………………(12 分) 3 3 2 2 2 4
18.解(1)B 第一次取牌获胜的概率为: P ?

4 1 1 ? ? ……………………………(6 分) 5 4 5

(2)B 第二次取牌获胜的概率为: P ?

4 3 2 1 ? ? ? 5 4 3 2

∴B 获胜的概率为: P ?

4 1 4 3 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ……………………(12 分) 5 4 5 4 3 2 5

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19.解:(1)数列 ?an ? 的前 n 项之和 sn ? (?1)n (2n2 ? 4n ? 1) ?1 在 n=1 时, a1 ? s1 ? (?1)1 (2 ? 4 ? 1) ?1 ? ?8 在 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1

? (?1)n (2n2 ? 4n ? 1) ? (?1)n?1[2(n ?1)2 ? 4(n ?1) ? 1] ? (?1)n ? 4n(n ? 1)
而 n=1 时, a1 ? ?8 满足 an ? (?1)n 4n(n ? 1) 故所求数列 ?an ? 通项 an ? (?1)n 4n(n ? 1) …(7 分)

(2)∵ bn ?

(?1)n 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 4n (1 ? )? ) ……(12 分) 4 n ?1 n ?1

因此数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

20.解:(1)C: x 2 ?

y2 ? 1 的右顶点 A 坐标为(1,0) m2

设 MA 直线方程为 y ? k1 ( x ? 1) ,代入 m2 x2 ? y 2 ? m2 ? 0 中,整理得

(m2 ? k1 ) x2 ? 2k12 x ? (k12 ? m2 ) ? 0)
k12 ? m2 由韦达定理可知 xm ? xA ? 2 ,而 xA ? 1 ,又 k1k2 ? ?m2 2 k1 ? m
∴ xm ?

k12 ? m2 k12 ? k1k2 k1 ? k2 ? ? k12 ? m2 k12 ? k1k2 k1 ? k2
k1 ? k2 ?2k1k2 ? 1) ? k1 ? k2 k1 ? k2

于是 ym ? k1 ( xm ? 1) ? k1 (

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由同理可知 yn ?

?2k1k2 ,于是有 ym ? yn k1 ? k2

∴MN∥ x 抽,从而 MN 直线率 kMN=0.………………………………………………(6 分) (2)∵ ?MAN ? 600 ,说明 AM 到 AN 的角为 60 0 或 AN 到 AM 的角为 60 0 。



k2 ? k1 k ?k ? 3 或 1 2 ? 3 ,又 k1k2 ? ?(3 ? 3) , k1 ? k2 1 ? k1k2 1 ? k1k2
? ?k2 ? k1 ? ?3 ? 3 ? ?k1k2 ? ?(2 ? 3)
? ? ? k1 ? 1 ?k ? 2 ? 3 或? 1 ? ? ? k 2 ? ?1 ? k2 ? ?(2 ? 3)

从而 ?

则求得 ?

因此 MA,NA 的直线的方程为 y ? x ? 1 , y ? ?(2 ? 3)( x ?1) 或为 y ? (2 ? 3)( x ?1) , y ? ?( x ? 1) ……(13 分) 21.解:(1)即证 x4 ? 2ax2 ?1 ? 0 的实根。 也就是方程 t 4 ? 2at ? 1 ? 0 有非负实数根。 而 ? ? 4a 2 ? 1 ? 0

t1t2 ? ?1 ? 0 ∴方程 t 4 ? 2at ? 1 ? 0 恒有正根
∴ f ( x) 与 g ( x) 图象恒有公共点……(4 分) (2)由题设知 x ? (0,1] 时

4 xa ? 4 x3 ? 1 恒成立
4 xa ? 4 x3 ? 1 恒成立

而 f ( x) ? 4 x3 ? 4ax ,∴当 0 ? x ? 1 时

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即 a ? x2 ?

1 4x 1 在 (0,1] 上单调增 4x

而 h( x ) ? x 2 ?

∴ a ? h(1) ?

3 4 3 4

∴ a 的取值范围为 ( , ??) ……(8 分)

(3)由题设知 当 x ? [0,1] 时, 4 x 3 ? 4ax ? 1 恒成立 记 F ( x) ? 4 x3 ? 4ax 若 a ? 0 则 F (1) ? 4(1 ? a) ? 4 不满足条件

故 a ? 0 而 F ?( x) ? 12 x 2 ? 4a ? 12( x ?

a a )( x ? ) 3 3

① 当

a a a ? 1 即 0 ? a ? 3 时, F ( x) 在 [0, ] 上递减,在 [ ,1] 上递增, 3 3 3

? a 3 F ( x) min ? F ( ) ? ?1 ? a ? ? ? 3 4 于是 ? ? F ( x) ? max ?F (0), F (1)? ? max ?0.4 ? 4a? ? 1 ? a ? 3 max ? ? 4
∴ a?

3 4

② 当

a ? 1 即 a ? 3 时, F ( x) 在[0,1]上递减,于是 3

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5 ? ? F ( x) min ? F (1) ? 4 ? 4a ? ?1 ? a ? 4 ? ? ? F ( x) max ? F (0) ? 0 ? 1
矛盾

综上所述: a ?

3 ……………………………………………………………………(14 分) 4


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