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高中数学必修四 角度制 三角函数关系及诱导公式讲解



定 正弦



表达式
sin A ? cos A ? a c b c

取值范围





sin A ?

?A的对边 斜边

0 ? sin A ? 1
(∠A 为锐角)

sin A ? cos B cos A ? sin B
sin 2 A ? cos2 A ? 1
tan A ? cot B cot A ? tan B

余弦

?A的邻边 cos A ? 斜边

0 ? cos A ? 1
(∠A 为锐角)

正切

?A的对边 tan A ? ?A的邻边
?A的邻边 cot A ? ?A的对边

tan A ?

a b
b a

tan A ? 0
(∠A 为锐角)

tan A ?

余切

cot A ?

cot A ? 0
(∠A 为锐角)

1 (倒数) cot A

tan A ? cot A ? 1

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

sin A ? cos B

由?A ? ?B ? 90? 得?B ? 90? ? ?A

cos A ? sin B

sin A ? cos(90? ? A) cos A ? sin(90? ? A)

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A ? cot B cot A ? tan B

由?A ? ?B ? 90? 得?B ? 90? ? ?A
0° 0 1 90° 1 0

tan A ? cot( 90? ? A)
cot A ? tan(90? ? A)

5.特殊角的三角函数值: 30° 45° 60°
sin ?

180° 0 -1 0

270° -1 0

15°
6? 2 4 6? 2 4

75°
6? 2 4 6? 2 4

1 2

2 2 2 2

3 2
1 2

cos?
tan ?

3 2

3 3

1 1

3
3 3

0 0

2- 3 0 2+ 3

2+ 3 2- 3

cot ?

3

6、正弦、余弦的增减性: 当 0°≤ ? ≤90°时,sin ? 随 ? 的增大而增大,cos ? 随 ? 的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当 0°< ? <90°时,tan ? 随 ? 的增大而增大,cot ? 随 ? 的增大而减小。

8、

一、 任意角的三角函数的定义:



,它与原点的距离是 ? 是 任 意 一 个 角 , P ( x, y ) 是 ? 的 终 边 上 的 任 意 一 点 ( 异 于 原 点 )
r ? x2 ? y 2 ? 0 , 那么 sin ? ?

y x y r x , cos ? ? , tan ? ? , ? x ? 0 ? , sec ? ? ? x ? 0? , cot ? ? ( y ? 0) , r r x x y

csc ? ?

r ? y ? 0? 。 三 角 函 数 值 只 与 角 的 大 小 有 关 , 而 与 终 边 上 点 P 的 位 置 无 关 。 y
三角函数 f ( x) ? sinx
f ( x) ? cosx f ( x) ? tanx f ( x) ? cotx f ( x) ? secx f ( x) ? cscx

二、三角函数的定义域:

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

定义域

值域

周期

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

三、三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M, 则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影. 由三角函数的定义知, 点 P 的坐标为(cos_α, sin_α),即 P(cos_α,sin_α),其中 cos α=OM,sin α=MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单 位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α=AT.我们把有向线段 OM、 MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起 点在 x 轴上)” 、 余弦线 OM “躺在 x 轴上(起点是原点)” 、 正切线 AT “站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )” . 三 角 函 数 线 注意事项 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线

? 比较 x ? (0, ) , sin x , tan x , x 的大小关系: 2 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
四、一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

- + o x + 正切、余切

两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP| =r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时, 利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式. 方法总结: 利

三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角,第一类是象 限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一 致,不可混用.

(3) ? 与 ? 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四确定”. 2 ? 若 ? 是第一象限,则 是第一、三象限角; 2 ? 若 ? 是第二象限,则 是第一、三象限角; 2 ? 若 ? 是第三象限角,则 是第二、四象限; 2 ? 若 ? 是第四象限角,则 是第二、四象限。 2 五. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ?,1 ? cot 2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, sin ? cos ? , cot ? ? (3)商数关系: tan ? ? cos ? sin ?
变形公式:

同角三角函数的基本关系式理解 (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 用于相同角正弦和余弦之间的互相转化,开方时要注意由角的 象限确定正负,必要时需要讨论。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的 取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号 (2)
sin ? ? tan ? 用于弦和切互化 cos ?

(3)巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度: (3,4,5) ; (6,8,10) ; (5,12,13) ; (8, 15,17) ; (4)求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准 有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值)最后确 定角的大小。 (5)理解下列关系:



y
2 sinx 1 cosx cosx

16. 几个重要结论 : (1)
y

(2)

y

3 sinx 4 cosx cosx 1 sinx 2

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

x

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

sinx 3

4

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

k 六、三角函数诱导公式(1) ( ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) , 2 符号看象限(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角). 诱导公式的应用是求任意角的三角函数 值,其一般步骤:①负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;②转化为锐角三角函数(“去负 — — 脱 周 — — 化 锐 ” ) (2)根据角 ? 所在的象限,得出 0 ~ 2? 间的角——如果适合已知条件的角在第二限;则它是

? ? ?1 ;如果在第三或第四象限,则它是 ? ? ?1 或 2? ? ?1 ;
2K ? ± ? ,- ? , 三角函数
作用:“去负——脱周——化锐”,是对三角函数式进行角变换的基本思路.即

? 3? ±? ,? ±? , ± ? 的三角函数 2 2

奇变偶不变,符号看象限

?的

利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负;利用三 角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三 角函数——脱周;利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.

记忆口诀: 把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 奇变偶不变,符号看象限。
2

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? ,

cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . cos ?? ? ? ? ? ? cos? ,
, cos s ?? ? ?? ? ? c o? , cos os ? ?? ? ? c ? . tan n ?? ? ?? ? t a ? . tan n ?? ? ?? ? ? t a ? . tan ?n ? ?? ? ? ? t a

口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ?
-?

?

?? ? . cos in ? ?? ? ? s ? ?2 ? ?? ? . cos in ? ?? ? ? ? s ? ?2 ?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

? ??
sin ? -cos ?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?
-sin ? cos ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?
2

??

sin cos

-sin ? cos ?

cos ? sin ?

七、同角三角函数的关系与诱导公式的运用: ①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。 注意:用平方关系,有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以 讨论。 ②求任意角的三角函数值。 步骤:
任意负角的 三角函数 公式三、一 任意正角的 三角函数 公式一 0o~360o 角的 三角函数 公式二、 四、五、 六、七、 八、九

求值

0o~90o 角的 三角函数

③已知三角函数值求角:注意:所得的解不是唯一的,而是有无数多个. 步骤:①确定角 ? 所在的象限; ②如函数值为正,先求出对应的锐角 ?1 ;如函数值为负,先求出与其绝对值对 应的锐角 ?1 ; ③根据角 ? 所在的象限,得出 0 ~ 2? 间的角——如果适合已知条件的角在第二限, 则它是 ? ? ?1 ;如果在第三或第四象限,则它是 ? ? ?1 或 2? ? ?1 ; ④如果要求适合条件的所有角,再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有 角的集合。 考向一 角的集合表示及象限角的判定 【例 1】?(1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 7 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与3角的终边相同的角; α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α、2所在的象限. [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断. 解 π (1)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3

∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为
? ? ? π ?α?α= +kπ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

6π θ 2π 2kπ (2)∵θ= 7 +2kπ(k∈Z),∴3= 7 + 3 (k∈Z). 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 + 3 <2π?-7≤k< 7 ,k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 , 21 , 21 . (3)∵α 是第二象限角, ∴k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k∈Z. ∴2k· 360° +180° <2α<2k· 360° +360° ,k∈Z. ∴2α 是第三、第四象限角或角的终边在 y 轴非正半轴上. α ∵k· 180° +45° <2<k· 180° +90° ,k∈Z, α 当 k=2m(m∈Z)时,m· 360° +45° <2<m· 360° +90° ; 当 k=2m+1(m∈Z)时, α m· 360° +225° <2<m· 360° +270° ; α ∴2为第一或第三象限角. (1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个, 它们之间相差 360°的整数倍. (2) 角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为 ? ? π ?x?x=2kπ - 2 ? ? ? ,k∈Z? ? , 也 可 以 表 示 为 ? ? 3π ,k∈Z ?x?x=2kπ + 2 ? ? ? ? ? .

? (3) ? 与 ? 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 ? 是第二象限角,则 是 2 2
第_____象限角 【训练 1】 角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( A.α=-β B.α=180° +β C.α=k· 360° +β(k∈Z) D.α=k· 360° ± 180° +β(k∈Z) 解析 对于角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则 α-β=k· 360° ± 180° (k∈Z). ).

∴α=k· 360° ± 180° +β(k∈Z). 答案 D 考向二 三角函数的定义

2 【例 2】?已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m,试判断角 θ 所在的象限, 并求 cos θ 和 tan θ 的值. [审题视点] 根据三角函数定义求 m,再求 cos θ 和 tan θ. 解 由题意得,r= 3+m2,∴ m 2 2= 4 m,∵m≠0, 3+m

∴m=± 5, 故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 ∴cos θ=r = =- 4 , 2 2 y 5 15 tan θ=x= =- 3 . - 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ=r = =- 4 ,tan=x= = 3 . 2 2 - 3 任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关,而与角 α 终边上点 P 的位置无关.若 角 α 已经给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是确定的. 【训练 2】 (2011· 课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在 直线 y=2x 上,则 cos 2θ=( 4 A.-5 解析 3 B.-5 3 C.5 ). 4 D.5

5 取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,可得 cos θ=± 5 ,故 cos 2θ=

3 2cos2θ-1=-5. 答案 B 考向三 弧度制的应用

【例 3】?已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.

[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角 α 的值; (2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓形的面积. 解 (1)由⊙O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形,

π ∴α=∠AOB=60° =3. π (2)由(1)可知 α=3,r=10, π 10π ∴弧长 l=α· r=3?10= 3 , 1 1 10π 50π ∴S 扇形=2lr=2? 3 ?10= 3 , 1 10 3 1 10 3 50 3 而 S△AOB=2· AB· 2 =2?10? 2 = 2 , ?π 3? ∴S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. ?3 2 ? 弧度制下的扇形的弧长与面积公式, 比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多, 用起来也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? 解 设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40,

1 1 ?20? S=2lr=2r(40-2r)=r(20-r)≤? 2 ?2=100. ? ? 当且仅当 r=20-r,即 r=10 时,Smax=100. ∴当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大,即半径为 10,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大. 考向四 三角函数线及其应用

【例 4】?在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: 3 (1)sin α≥ 2 ; 1 (2)cos α≤-2.

3 1 [审题视点] 作出满足 sin α= 2 ,cos α=-2的角的终边,然后根据已知条件确定角 α 终边的范 围. 解

3 (1)作直线 y= 2 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)

即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ? π 2 ?α?2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z 3 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

1 (2)作直线 x=-2交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部 分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ? 2 ?α?2kπ+ π 3 ? ? ? ? ? 4 ≤α≤2kπ+3π,k∈Z?. ? ?

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式. 【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; 解 (2)y=lg(3-4sin2x).

1 (1)∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2.

由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).

π π? ? ∴定义域为?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ? (2)∵3-4sin2x>0, 3 ∴sin2x<4, 3 3 ∴- 2 <sin x< 2 . 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),

π π? ? ∴定义域为?kπ-3,kπ+3?(k∈Z). ? ?

规范解答 7——如何利用三角函数的定义求三角函数值 【问题研究】 三角函数的定义: 设 α 是任意角, 其终边上任一点 P(不与原点重合)的坐标为(x,

y x y y),它到原点的距离是 r(r= x2+y2>0),则 sin α = 、cos α = 、tan α = 分别是 α 的 r r x
正弦、余弦、正切,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,这样的函数称为三角函 数,这里 x,y 的符号由 α 终边所在象限确定,r 的符号始终为正,应用定义法解题时,要注意 符号,防止出现错误.三角函数的定义在解决问题中应用广泛,并且有时可以简化解题过程. 【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要根据定义正确地求得 x,y,r 的值; 然后对于含参数问题要注意分类讨论. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011?龙岩月考)已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cos α = 3 x,求 sin α 、tan α 的值. 6 只要确定了 r 的值即可确定角 α 经过的点 P 的坐标,即确定角 α 所在的象限,并可 以根据三角函数的定义求出所要求的值. [解答示范] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴P 到原点的距离 r= x2+2,(2 分) 3 又 cos α= 6 x, ∴cos α= x 3 = x, 6 x +2
2

∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3.(6 分) 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 6 5 由三角函数定义,有 sin α=- 6 ,tan α=- 5 ;(9 分) 当 x=- 10时,P 点坐标为(- 10,- 2), 6 5 ∴sin α=- 6 ,tan α= 5 .(12 分)

当角的终边经过的点不固定时,需要进行分类讨论,特别是当角的终边在过坐标原点 的一条直线上时,在根据三角函数定义求解三角函数值时,就要把这条直线看做两条射线,分 别求解,实际上这时求的是两个角的三角函数值,这两个角相差 2kπ+π(k∈Z),当求出了一种 情况后也可以根据诱导公式求另一种情况. 4 【试一试】 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α+cos α+5tan α. [尝试解答] 3 =-4, 4 3 4 4 ? 3? 故 sin α+cos α+5tan α=-5+5+5??-4? ? ? 2 =-5; 取直线 3x+4y=0 上的点 P2(-4,3), 3 4 3 则 sin α=5,cos α=-5,tan α=-4. 4 3 4 4 ? 3? 4 故 sin α+cos α+5tan α=5-5+5??-4?=-5. ? ? 4 2 4 综上,sin α+cos α+5tan α 的值为-5或-5. 3 4 取直线 3x+4y=0 上的点 P1(4,-3),则|OP1|=5,则 sin α=-5,cos α=5,tan α


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