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有关复合函数单调性的定义和解题方法


有关复合函数单调性的定义和解题方法

一、复合函数的定义 设 y=f(u)的定义域为 A,u=g(x)的值域为 B,若 A?B,则 y 关于 x 函数的 y=f[g(x)] 叫做函数 f 与 g 的复合函数,u 叫中间量. 二、函数的单调区间 1.一次函数 y=kx+b(k≠0). 解 当 k>0 时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间;当 k<0 时,(-

∞,+∞)是这 个函数的单调减区间.

k 2.反比例函数 y= x (k≠0).
解 当 k>0 时, (-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调减区间, 当 k<0 时,(-∞, 0)和(0,+∞)都是这个函数的单调增区间. 2 3.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0).

b b 解 当 a>1 时(-∞,- 2 a )是这个函数的单调减区间,(- 2 a ,+∞)是它的单调 b b 增区间;当 a<1 时(-∞,- 2 a )是这个函数的单调增区间,(- 2 a ,+∞)是它的单调减
区间; 4.指数函数 y=ax(a>0,a≠1). 解 当 a>1 时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间,当 0<a<1 时,(-∞,+∞) 是这个函数的单调减区间. 5.对数函数 y=logax(a>0,a≠1). 解 当 a>1 时,(0,+∞)是这个函数的单调增区间,当 0<a<1 时,(0,+∞)是它的单调 减区间. 三、复合函数单调性相关定理 引理 1 已知函数 y=f[g(x)].若 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d), 又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增 函数. (本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2,使 a<x1<x2<b. 因为 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以 g(x1)<g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1< u2,且 u1,u2∈(c,d). 因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数, 所以 f(u1)<f(u2),即 f [g(x1)] <f [f(x2)] , 故函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数. 引理 2 已知函数 y=f[g(x)].若 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d), 又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函 数. 证明 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2,使 a<x1<x2<b. 因为函数 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以 g(x1)>g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1>u2,且 u1,u2∈(c,d). 因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数, 所以 f(u1)<f(u2),即 f [g(x1)] <f [f(x2)] , 故函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数.

规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当两个函数的单调性不同时,其 复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。

例1

求下列函数的单调区间: 2 y=log4(x -4x+3) 2 解法一:设 y=log4u,u=x -4x+3.由 u>0, 2 u=x -4x+3, 解得原复合函数的定义域为 x<1 或 x>3. 2 当 x∈(-∞,1)时,u=x -4x+3 为减函数,而 y=log4u 为增函数,所以(-∞,1)是复 2 合函数的单调减区间;当 x∈(3,±∞)时,u=x -4x+3 为增函数 y=log4u 为增函数,所以, (3,+∞)是复合函数的单调增区间. 2 解法二:u=x -4x+3=(x-2)2-1, x>3 或 x<1,(复合函数定义域) x<2 (u 减) 解得 x<1.所以 x∈(-∞,1)时,函数 u 单调递减. 2 由于 y=log4u 在定义域内是增函数,所以由引理知:u=(x-2) -1 的单调性与复合函数 的单调性一致, 所以(-∞, 1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增 区间. 2 2 u=x -4x+3=(x-2) -1, x>3 或 x<1,(复合函数定义域) x>2 (u 增) 解得 x>3.所以(3,+∞)是复合函数的单调增区间.

例2

求下列复合函数的单调区间: 2 y=log 1 (2x-x )
3
2

解:

设 y=log 1 u,u=2x-x .由
3

u>0 2 u=2x-x 解得原复合函数的定义域为 0<x<2. 由于 y=log 1 u 在定义域(0,+∞)内是减函数,所以,原复合函数的单调性与二次函数
3

u=2x-x 的单调性正好相反. 2 2 易知 u=2x-x =-(x-1) +1 在 x≤1 时单调增.由

2

0<x<2 (复合函数定义域) x≤1,(u 增) 解得 0<x≤1,所以(0,1]是原复合函数的单调减区间. 2 又 u=-(x-1) +1 在 x≥1 时单调减,由 x<2, (复合函数定义域) x≥1, (u 减) 解得 1≤x<2,所以?1,2)是原复合函数的单调增区间.

例3 解:

求 y= 7 ? 6x ? x 的单调区间.
2

2 设 y= u ,u=7-6x-x ,由 u≥0, 2 u=7-6x-x 解得原复合函数的定义域为-7≤x≤1.

因为 y= u 在定义域[0+∞]内是增函数,所以由引理知,原复合函数的单调性与二次 函数 u=-x2-6x+7 的单调性相同. 2 2 易知 u=-x -6x+7=-(x+3) +16 在 x≤-3 时单调增加。由 -7≤x≤1,(复合函数定义域) x≤-3,(u 增) 解得-7≤x≤-3.所以?-7,3?是复合函数的单调增区间. 2 2 易知 u=-x -6x+7=-(x+3) +16 在 x≥-3 时单调减,由 -7≤x≤1 (复合函数定义域) x≥-3, (u 减) 解得-3≤x≤1,所以[-3,1]是复合函数的单调减区间.

例4

1 2 ( ) x ? 2 x ?1 求 y= 2 的单调区间.

解 :

1 ( )u 设 y= 2 .由

u∈R, 2 u=x -2x-1, 解得原复合函数的定义域为 x∈R.

1 ( )u 2 因为 y= 2 在定义域 R 内为减函数,所以由引理知,二次函数 u=x -2x-1 的单调性
与复合函数的单调性相反. 2 2 易知,u=x -2x-1=(x-1) -2 在 x≤1 时单调减,由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1, (u 减) 解得 x≤1.所以(-∞,1]是复合函数的单调增区间.同理[1,+∞)是复合函数的单调 减区间. 注意:单调区间必须是定义域的子集,当我们求单调区间时,必须先求出原复合函数的定义 域.另外,咱们刚刚学习复合函数的单调性,做这类题目时,一定要按要求做,不要跳步. 练习 求下列复合函数的单调区间. 2 1.y=log3(x -2x);(答:(-∞,0)是单调减区间,(2,+∞)是单调增区间.)

1 2 2.y=log 2 (x -3x+2);(答:(-∞,1)是单调增区间,(2,+∞)是单调减区间.) 5 5 2 3.y= ? x ? 5x ? 6 ,(答: [2, 2 是单调增区间, ] [ 2 ,3]是单调减区间.)
4.y= 0.7 ;(答:(-∞,0),(0,+∞)均为单调增区间.注意,单调区间之间不可以取 并集.) 5.y= 2
3? x 2
1 x

;(答(-∞,0)为单调增区间,(0,+∞)为单调减区间)

1 ( ) x ?3 6.y= 3 ,(答(-∞,+∞)为单调减区间.)
7.y= 3 8.y=
log
2x

;(答:(0,+∞)为单调减区间.)

log
4

1

?
2

(4 x ? x 2 )

;(答:(0,2)为单调减区间,(2,4)为单调增区间.)

9.y= x ? 6x ;(答:(0,3)为单调减区间,(3,6)为单调增区间.) 10.y= 7
2 x? x2

;(答(-∞,1)为单调增区间,(1,+∞)为单调减区间.)


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